Оптимальное управление Оптимальное управление представляет собой определенный

Оптимальное управление • Оптимальное управление представляет собой определенный раздел теории экстремальных задач (теории оптимизации), посвященный исследованию и решению вопросов максимизации и минимизации функционалов на множествах функций специального вида. • Оптимальное управление тесно связано с выбором наиболее выгодных (оптимальных) режимов управления сложными объектами, которые описываются при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 1

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид Здесь – искомая числовая функция аргумента , определенная на некотором числовом промежутке , а – заданная числовая функция двух переменных. Обычно функцию считают непрерывной на некоторой плоской области. 2

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Дифференциальные уравнения первого порядка. Решением дифференциального уравнения называют такую дифференцируемую на интервале функцию , которая при подставке в уравнение (12. 1) обращает его в тождество, т. е. При этом график функции кривой. именуют интегральной 3

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Дифференциальные уравнения первого порядка Пусть заданы два числа Задачу отыскание решения начальному условию и такие, что. уравнения , удовлетворяющего называют задачей Коши. Геометрически задача Коши состоит в нахождении интегральной кривой уравнения , проходящей через заданную точку 4

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Дифференциальные уравнения первого порядка Возможны следующие три случая: • Через точку проходит единственная интегральная кривая; • Через точку проходит по крайней мере две интегральные кривые; • Через точку не проходит ни одной интегральной кривой. При выполнении определенных (не слишком «жестких» ) требований к функции решение задачи Коши на некотором интервале (где положительное число достаточно малό) всегда существует и определяется однозначно (т. е. является единственным). 5

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Дифференциальные уравнения первого порядка Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка Непосредственной проверкой легко убедиться, что, например, функция является решением задачи Коши для этого уравнения с начальным условием 6

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Дифференциальные уравнения первого порядка Допустим, что область обладает тем свойством, что в каждой точке этой области задача Коши для уравнения имеет единственное решение (т. е. через каждую точку этой области проходит, причем в точности одна интегральная кривая). Однопараметрическое семейство функций где – параметр, называется общим решением уравнения в области , если для любой точки выполняются следующие два условия: 1) уравнение относительно имеет единственное решение ; 2) функция является решением задачи Коши для дифференциального уравнения с начальным условием 7

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Дифференциальные уравнения первого порядка Пример. Пусть имеется дифференциальное уравнение Проверить, что семейство функций где - произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения на всей плоскости, т. е. при 8

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Дифференциальные уравнения первого порядка Проинтегрировать дифференциальное уравнение означает найти его решение (или общее решение). Способ интегрирования в сильной степени зависит от конкретного вида правой части уравнения, т. е. от функции. В стандартном курсе дифференциальных уравнений изучаются способы интегрирования следующих классов дифференциальных уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, однородные уравнения. При этом каждый класс характеризуется специфическими для него приемами интегрирования, 9

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Системы из двух дифференциальных уравнений Нормальная система из двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид здесь - искомые функции аргумента , , - заданные функции трех аргументов определенные на некоторой трехмерной области. Если эти функции не зависят от аргумента , то систему называют автономной. 10

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Системы из двух дифференциальных уравнений Решением данной системы на интервале называют пару функций , , определенных и дифференцируемых на данном интервале и обращающих уравнения системы в тождества по , т. е. Для всех . 11

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Системы из двух дифференциальных уравнений 12

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Системы из двух дифференциальных уравнений 13

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Системы из двух дифференциальных уравнений 14

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Системы из двух дифференциальных уравнений 15

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Общая система дифференциальных уравнений 16

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Функционал и задача его оптимизации 17

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Функционал и задача его оптимизации 18

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Функционал и задача его оптимизации 19

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Функционал и задача его оптимизации 20

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Функционал и задача его оптимизации 21

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Функционал и задача его оптимизации 22

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Функционал и задача его оптимизации 23

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа 24

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа 25

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа 26

Необходимые сведения их теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Проверочная работа 27

Модель Солоу Далее будет рассматриваться модель экономического роста, предложенная лауреатом Нобелевской премии Р. Солоу. Эта модель, основу которой составляет дифференциальное уравнение первого порядка, играет важную роль в неоклассической теории экономического роста. С ее помощью можно получить ряд полезных экономических выводов. 28

Модель Солоу Предположения Основные предположения модели 1. Модель Солоу является односекторной моделью экономического роста. 2. Экономическая система рассматривается как единое целое, производящая один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. 3. Рынки сбыта работают бесперебойно. 4. Производственные факторы (капитал и труд) существенно не понижаются и не повышаются при изменении цен, технология не подвержена никаким изменениям. 5. В целом, модель достаточно адекватно отражает важнейшие макроэкономические аспекты процесса воспроизводства. 6. Экспорт-импорт в явном виде здесь не учитывается. 29