ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В

ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ

ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ 1. 2. 3. 4. 5. 6. ЭКЗАМЕН КУРСОВАЯ РАБОТА ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ЛИТЕРАТУРА: Сивухин Д. В. Общий курс Физики. Оптика. М. : Наука. 1985. Константинова А. Ф. , Гречушников Б. Н. , Бокуть Б. В. , Валяшко Е. Г. Оптические свойства кристаллов. Минск. 1995. Борн М. , Вольф Э. Основы оптики. М. : Наука. 1973. Сиротин Ю. И. , Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. М. : Наука. 1975. Ярив А. , Юх П. Оптические волны в кристаллах М. : Мир. 1987. Лабораторный практикум. Оптические явления в кристаллах. МИСи. С. 2007 г. (Гераськин В. В. )

ПРИОБРЕТАЕМЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ • навыки: • – описания поляризации света различными методами; • - использовать тензорный аппарат для описания и расчета оптических свойств анизотропных сред; • – проведения оптических измерений; • - проводить расчеты с помощью оптических поверхностей и делать выводы об изменении параметров света, прошедшего через двупреломляющие кристаллы • умения: • - анализировать изменение интенсивности света, прошедшего через поляризационно-оптические системы; • - анализировать поляризацию света при прохождении его через кристаллические оптические анизотропные элементы; • - рассчитывать интенсивность, направление и поляризацию света при отражении и преломлении его двупреломляющими кристаллами.

Цель обучения Научить использовать закономерности распространения света в кристаллах для описания различных оптических явлений с целью использования их при разработке элементов оптических устройств. Разделы курса: 1. Световые волны в прозрачных кристаллах ; 2. Интерференция света в кристаллах ; 3. Влияние внешних воздействий на оптические свойства кристаллов.

Раздел 1 Световые волны в прозрачных кристаллах Лекция 1 Система уравнений Максвелла Распространение электромагнитного излучения оптического диапазона определяется уравнениями Максвелла (приближение сплошной среды и рассмотрение величин усредненных по физически малым объемам). Закон электромагнитной индукции Фарадея Векторы: Е – напр. эл. поля; В – магн. инд. Физический смысл Е и В определяется средней силой Лоренца, действующей на движущийся со скорость V точечный заряд q

Введя векторы электрической индукции D и напряженности магнитного поля Н (через плотности электрического Р и магнитного М дипольных моментов) получаем еще два уравнения системы, учитывающие наличие в среде зарядов и токов. ρ – объемная плотность зарядов Закон Био, Савара, Лапласа Второе слагаемое описывает связь плотности тока J с напряженностью магнитного поля Н в данной точке. Первое слагаемое учитывает ток смещения

Соотношения: и соответствуют модельным представлениям о силовых линиях электрического поля, начинающихся на положительных зарядах и заканчивающихся на отрицательных, тогда как линии магнитного поля замкнуты и охватывают породившие их токи. В природе нет магнитных зарядов (монополей). В проводящей среде перемещение зарядов происходит под действием полей Е и В (сила Лоренца). Поэтому J есть функция Е и В, но полагая скорость зарядов малой (v/C<<1) можно ограничится зависимостью J только от Е Нахождение вида функций D(E, B) и H(E, B) требует учета микроскопического строения среды является сложной задачей. Если считать Е и Н малыми по сравнению внутрикристаллическими полями и использовать разложение векторов D и В в ряд и ограничится только линейными членами, то получаем три уравнения связи:

Так как спонтанная поляризация и намагниченность среды предполагаются отсутствующими, в последних выражениях не учитываются нулевые члены разложения. Матрицы ε, α, β, μ и σ тензоры второго ранга. Магнитное поле по своей симметрии является аксиальным и описывается псевдовекторами Н и В, компоненты которых меняют знак при переходе системы координат от правой к левой, поэтому α и β псевдотензоры. Физический смысл уравнений 6 и 7 определяется из выражений для плотностей электрического и магнитного моментов среды: Где χ и η – тензоры электрической и магнитной восприимчивости (определяют вклад E в P и H в M), выражающиеся через ε и μ ( I – единичный тензор). Псевдотензоры α и β характеризуют «перекрестные» магнитоэлектрические эффекты (возникновение поляризации (Р) под действием магнитного поля (Н) и намагниченности (М) под действием электрического поля (Е)

Для сильных полей (лазерные источники) необходимо учитывать и другие члены разложения. Например, (пренебрегая магнитными свойствами)полагают В = Н, а материальное уравнение для электрической индукции уже учитывает и нелинейные явления: Дифференциальная форма закона сохранения энергии электромагнитного поля в среде, где EJ – мощность, выделяемая полем в единице объема: Второй член–скорость изменения электромагнитной энергии в ед. объема среды вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова-Пойтинга) Умов – для волновых движений 1874 г. , Пойтинг – для электромагнитных волн 1884 г.

Граничные условия Исходные уравнения электродинамики справедливы и для произвольных неоднородных сред. Поэтому необходимы соотношения, определяющие поведение векторов D, В, Е и Н при переходе через разделяющие поверхности. Эти соотношения получают из уравнений Максвелла путем предельного перехода от среды I к среде II (q – нормаль к поверхности раздела). Тангенциальные составляющие векторов напряженностей электромагнитного поля Е и Н остаются непрерывными при переходе через границу раздела двух сред. Нормальные компоненты векторов электрической и магнитной индукций D и В остаются непрерывными при переходе через границу раздела двух сред.

Система уравнений является полной, т. е. из нее можно получить все свойства электромагнитного поля ! Элементы решения системы. Для плоских волн Е и Н зависят только от одной координаты ψ = nr (n – ед. вектор направления, r – радиус вектор пространства) и от времени. Е и Н имеют в заданный момент времени постоянные значения во всех точках плоскости перпендикулярных n. Для любой компоненты полей Е и Н таких волн будем иметь уравнение: Решение методом разделения Переменных В общем случае получаем где ω – частота монохроматической волны, δ – фазовая постоянная

Так как физический смысл имеют только вещественные поля: Скорость перемещения поверхности равных фаз, т. е. фазовая скорость волны: Показатель преломления n - отношение скорости волны в вакууме к фазовой: Волновое число k: Вектор рефракции m = n·n Волновой вектор k: Подставляя выражение для f в уравнения Максвелла получаем: Используя вектор рефракции получаем:

Электромагнитные волны – поперечны. Фаза волны Напряженность эл. поля Е равна отношению силы d. F эл. поля, действующей на точечный пробный эл. заряд d. Q к этому заряду E=d. F/d. Q [НКл]. На практике [В/м] – напряженность однородного эл. поля, создаваемого разностью потенциалов 1 В, между точками на расстоянии 1 м. Вектор электрической индукции D [Кл/м 2] – отношение потока эл. смещения dΨ через элементарную поверхность к площади d. S этой поверхности D = dΨ/(d. S·k) k – ед. вектор сонаправленный с D. Напряженность магнитного поля Н [А/м] – циркуляция вектора Н по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром. Вектор магнитной индукции В [(Н/Кл)/(м/с)] = Тл. Тесла – магнитная индукция поля, в котором на заряженную частицу в 1 Кл, движущуюся перпендикулярно линиям индукции со скоростью 1 м/с, действует сила в 1 Н.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ =1 и диэлектрическая проницаемость - скаляр. Для немагнитных кристаллов Для плоских монохроматических волн уравнения Максвелла имеют вид: E = -[m. H] , H = [m. E] , m. E = m. H = 0 ( m - вектор рефракции m = nn ) Исключая H , находим показатель преломления E = -[m[m. E]] Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая, что m. E (m 2 - )E = 0 не нулевое решение при условии: m 2 = и n = Таким образом n не зависит от направления, а поляризация может быть любой. Вектор Умова-Пойтинга совпадает с волновой нормалью. . =0

Лекция 2 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНЫХ КРИСТАЛЛАХ H = [m. E] и m. H = 0 как в кубических кристаллах Di = ij. Ej D и H n и m, т. е. волны остаются поперечными , E , n и D лежат в одной плоскости H , но E не n Уравнения Вектор потока энергии Умова-Пойтинга S его направление E и H, но не совпадает с n в отличие от кубических кристаллов. С учетом того, что H = [m. E] получим: т. е. S лежит в плоскости векторов n и E . . .

Для плоской световой волны соотношение между векторами m, E и D mx[m. E]=-D nnx. H=-D nnx. E=H Исключаем Н n 2 nx[n. E]=-D и Раскрывая двойное векторное произведение, получаем: E - nх(n. E)=(1/n 2)D (*) Слева компонента Е, лежащая в плоскости волнового фронта, т. е. компонента //D. С учетом Di=εij. Ej или Ek=ηkm. Dm В координатной системе тензора ηij уравнение (*) есть: (ηij – ninj ηjk)Dj = (1/n 2)Dk (**) Имеем систему из 3 -х уравнений относительно Dk , нетривиальное решение – равенство 0 определителя системы при некотором n.

Выберем систему координат так, чтобы Х 3 n, а Х 1 и Х 2 лежат в волнового плоскости фронта n(0, 0, n 3) и (*) принимает вид ( 11 - n-2)D 1 + 12 D 2 = 0 12 D 1 + ( 22 - n-2)D 2 = 0 Собственные значения двумерного тензора 11 12 могут быть найдены из условия: 12 22 11 -n-2 12 = 0 12 22 -n-2 т. е. это решение векового уравнения тензора ij - ij = получаем: 11 + 22 __________ 0 n-21, 2 = ( 11 - 22)2 + (2 12)2 2 Т. о. в направлении m (n) распространяются две волны с n 1 и n 2 со скоростями V 1=C/n 1 и V 2=C/n 2 Каждому собственному значению n-2 соответствует собственный вектор D

Например, для волны с n 1 определяем D 1 из [ 11 - (n 1)-2]D 11 + 12 D 12 = 0 12 D 11 + [ 22 - (n 2)]-2 D 12 = 0 Если Х 1 и Х 2 выбраны так, что 12 = 0 и 11 22 ___ то D 1 Х 1, т. к. только D 11 0 и n 1 = 1/ 11, ___ а D 2 Х 2 и n 2 = 1/ 22 Т. о. для нахождения n 1 и n 2 и направлений D 1 и D 2 двух волн, распространяющихся вдоль m(n) необходимо, привести к главным осям двумерный тензор для плоскости Х 1 Х 2 , совпадающей с плоскостью волнового фронта. Тензор ij (и обратный ему ij) является вещественным и положительным , его можно привести к диагональному виду с главными значениями ( 1, 2 и 2) они положительны и больше 1.

Симметрия накладывает ограничения на вид тензора ij Кубическая сингония – кристаллы оптически изотропны - 1= 2= 3= Средняя категория – 1 = 2 3, Низшая категория – кристаллы ромбические, моноклинные и триклинные 1 2 3 Характеристическая поверхность тензора ij эллипсоид Коши - оптическая индикатриса Центральное сечение n в общем случае - эллипс Полуоси эллипса направления колебаний D 1 и D 2 , а их длины равны - n 1 и n 2. Направление круговому сечению - оптическая ось (бинормаль) в этом направлении n 1 = n 2 и двупреломление отсутствует.

Т. к. Н лежит в плоскости волнового фронта , а Е не лежит то вектор Умова-Пойтинга S =(1/ 4 )[EH] не совпадает с n, а лежит в плоскости D и E т. к. распространяются две волны с D 1 и D 2 , то им соответствуют два луча с S 1 и S 2. Углы между D и E Принцип двойственности (дуальности). Введем единичный вектор луча s p = s/s s = ms = nns =ncosα и вектор лучевой рефракции s – показатель преломления по лучу m = nn и тогда mp = 1

В общем имеем две системы (эквивалентные) уравнений: D = E , D = [m. H] , H = [m. E] , mp = 1 E = D , E = [p. H] , H = [p. D] , mp = 1 Аналог индикатрисы для лучей - лучевой эллипсоид ( эллипсоид Френеля) - характеристическая поверхность тензора диэлектрической проницаемости ij 1 X 12 + 2 X 22 + 3 X 32 = n 12 X 12 + n 22 X 22 + n 32 X 32 = 1 Центральное сечение, s – эллипс, полуоси направления колебаний E 1 и E 2 , а длины лучевые показатели преломления s 1 и s 2. Сечения бирадиалям круговые, а вектор E имеет любые направления колебаний перпендикулярные к бирадиали. Двуполостная поверхность показателей преломления откладываются два вектора рефракций m 1 и m 2 (поверхность нормалей или поверхность волновых векторов).

Если mа - радиус-вектор какой-нибудь точки поверхности волновых векторов нормальных рефракций , Ра - соответствующий вектор лучевой рефракции, то уравнение касательной плоскости к поверхности рефракций в точке А есть: Pa(m - ma) = 0 , а т. к. Pama = 1 , то и Pa m = 1 Следовательно длина перпендикуляра к касательной плоскости есть 1/ра Аналогично, длина перпендикуляра к плоскости, касательной к поверхности лучевых рефракций, есть 1/ma.

Лекция 3 Оптически одноосные кристаллы Кристаллы средней категории е = = 3 = ne 2 , 1 = 2 = = o = no 2 Оптическая индикатриса - эллипсоид вращения n = ne – no – двупреломление кристалла (+ и – кристаллы). В общем случае две волны: обыкновенная с n 1 = no = и необыкновенная с n 2 =n'e, зависящим от угла вектора m к оси Х 3 Если двупреломление мало n = ne - no , то можно n 2 -n 1 (ne-no)sin 2.

Для построения поверхности показателей преломления (волновых векторов или нормальных рефракций) решаем уравнение: В системе координат, построенной на собственных векторах ij это уравнение (после умножения на N 12 N 22 N 32) - уравнение Френеля. (определяет показатель преломления как функцию единичного вектора волновой нормали). Уравнение Френеля для одноосных кристаллов имеет вид: (n 2 -N 02){n 2[N 02(n 12+n 22)+Ne 2 n 32]+N 02 Ne 2} = 0 Из него получаем уравнение поверхности показателей преломления: (x 12+x 22+x 32 -N 02)х х[N 02(x 12+x 22)+Ne 2 х32 -N 02 Ne 2] = 0

Которое распадается на сферу и эллипсоид вращения. Центральное сечение индикатрисы n в общем случае эллипс Одна полуось n 1=no=const всегда радиус сечения Х 3 (ось высшего порядка) другая n 2 (в пределах no÷ne) D – совпадают с направлением полуосей эллипса сечения, Ео – совершает колебания плоскости n и оптической осью, Ее – совершает колебания в главной плоскости. Если - угол между n и оптической осью, а – угол между лучом и оптической осью, то для необыкновенного луча: tg = (εo/εe)tg При o = е , т. е. в направлении oптической оси = . Для О-волны вектор Умова-Пойтинга всегда совпадает с n, Для е-волны вектор Умова-Пойтинга совпадает с n при = = 90 о.

ОПТИЧЕСКИ ДВУОСНЫЕ КРИСТАЛЛЫ Кристаллы низшей категории η 1≠η 2≠η 3 ; n 1=√η 1 ; n 2=√ η 2 ; n 3=√η 3 ; Ng ; Nm ; Np Оптическая индикатриса – трехосный эллипсоид. Имеются два круговых сечения перпендикулярно им две оптические оси, острый угол между бинормалями 2 V -угол оптических осей (плоскость оптических осей - плоскость, определяемая полуосями Ng и Np ). Обе волны необыкновенные. S=(1/4π)[EH] и Н расположен в плоскости волнового фронта, а Е – не лежит в этой плоскости, то S не совпадает с n, а лежит в плоскости векторов D и Е. Сечение оптической индикатрисы в общем случае эллипс и в направлении n две волны с D 1 и D 2 , а им соответствует два луча с S 1 и S 2 составляющие с n, Так как углы α и β и они равны углам между D и Е :

Скорости распространения световой энергии в направлении лучей u 1 =v 1/cosα u 2 = v 2/cosβ вводится величина обратная n q = 1/(ncos α) Уравнение Френеля двуосного кристалла (x 12+x 22+x 32)(Np 2 x 12+Nm 2 x 22+Ng 2 x 32)-Np(Nm 2+Ng 2)x 12 -Nm 2(Np 2+Ng 2)x 12 -Ng 2(Np 2+Nm 2)x 32 +Np 2 Nm 2 Ng 2=0 Анализ этой поверхности 4 -ого порядка в общем виде сложен, рассмотрим сечения этой поверхности координатными плоскостями Х 3=Z=0 (x 12+x 22 - Ng 2)(Np 2 x 12+Nm 2 x 22 - Np 2 Nm 2)=0 Сечение состоит из окружности и эллипса (эллипс внутри окружности)

Х 1=Х=0 (x 22+x 32 - Np 2)(Nm 2 x 22+Ng 2 x 32 - Ng 2 Nm 2)=0 Сечение состоит из окружности и эллипса (окружность внутри эллипса)

Х 2=Y=0 (x 12+x 32 - Nm 2)(Np 2 x 12+Ng 2 x 32 - Ng 2 Np 2)=0 Сечение состоит из окружности и эллипса (окружность и эллипс пересекаются)

Бирадиали – вдоль которых одинаковы групповые скорости, а бинормали – фазовые скорости волн. Бирадиали перпендикулярны круговым сечениям эллипсоида Френеля, бинормали – оптической индикатрисы. Чтобы построить волновую нормаль, сопряженную данному лучу, проводим плоскость, к поверхности волны в точке выхода луча, и опускаем на эту плоскость перпендикуляр. Отношение длин этих отрезков равно отношению лучевой и нормальной (т. е. групповой и фазовой) скоростей. Проведя нормали m, сопряженные каждому лучу S, можно построить поверхность нормальных скоростей. Если поверхность лучевых скоростей является эллипсоидом, то поверхность нормальных скоростей оказывается овалоидом.

Сечение поверхности лучей и поверхности нормалей оптически двуосного кристалла плоскостью Х 2=0. Четыре точки пересечения эллипса с кругом определяют направления бирадиалей RR. Проведя общую касательную к эллипсу и кругу и опустив на нее перпендикуляр m, находим точки пересечения овала с кругом, которые определяют направления бинормалей. Различие направлений бинормалей и бирадиалей мало, но определяет явление конической рефракции.

Внутренняя коническая рефракция В плоском сечении каждой бинормали соответствуют два сопряженных луча. Вообще плоскость РР касается двойной поверхности по окружности , а значит , одному направлению бинормали отвечает множество сопряженных лучей, образующих в кристаллической пластинке полый конус, а на выходе – полый цилиндр. Т. е. не два луча, поляризованных взаимно перпендикулярно, а бесконечное множество лучей, поляризованный линейно, в различных азимутах (вращение темной полоски при вращении анализатора). Падающий луч проходит через тонкое отверстие в экране и вступает в толстую кристаллическую пластинку, вырезанную перпендикулярно к одной из оптических осей. Внутри кристалла луч разлагается на множество лучей , образующих коническую поверхность. Из пластинки лучи идут по образующей цилиндра и дают на экране изображение светлого кольца. На чертеже показаны направления колебаний в различных точках кольца.

Внешняя коническая рефракция Сечение волновой поверхности , в которой лежит бирадиаль (плоскость Х 2=0). Каждому направлению бирадиали соответствует бесконечное множество волновых векторов, направления которых заполняют целый конус (треугольник АОВ – сечение этого конуса).

Внешняя коническая рефракция Конический пучок света падает в точке кристаллическую пластинку, вырезанную нормально к одной из бирадиалей кристалла. Свет выходит из пластинки через маленькое отверстие в экране, расположенное на нормали в пластинке. Лучи из пластинки выходят по образующей конуса и дают на экране светлое кольцо, расширяющееся при удалении экрана от пластинки.

Лекция 4 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН Т. к. выражения для всех векторов эл. магн. поля одинаковы, рассмотрим лишь изменение Е в компонентах по осям. где: а 1 , а 2 и а 3 – вещественные положительные числа; Δ 1 , Δ 2 и Δ 3 – фазовые постоянные. Вещественные части Е, которые только и имеют физический смысл, обозначим: Эти уравнения есть параметрические уравнения кривой в пространстве (параметр – φ)

Конец вектора Е (вещественная часть) описывает кривую в плоскости перпендикулярной n, которая и определяет в общем случае поляризацию световой волны. Если ось Z параллельна волновой нормали, то δ = 0, и исключив параметр φ, получим: Т. к. α и β ограничены по величине то это уравнение эллипса, т. е. в общем случае световая волна поляризована эллиптически и, в частности, циркулярно и линейно. Параметры поляризации: Форма – b/a = tgγ (b и a полуоси эллипса); Азимут - χ (угол между большой полуосью эллипса и осью Х)

Параметры эллипса поляризации 1. Азимут χ – угол между большой осью эллипса и положительным направлением оси Х. Определяет ориентацию эллипса в его плоскости. 2. Эллиптичность е – характеризует форму эллипса e = b/a 3. Направление обхода эллипса поляризации. Этот параметр имеет только одно из двух дискретных значений. Поляризация правая – эллипс обходится по часовой стрелке при наблюдении против направления n (наблюдатель смотрит навстречу пучку света), или левая – обход против часовой стрелки. Математически приписывают эллиптичности е положительные и отрицательные значения и таким образом Угол эллиптичности γ (b/a = ±tgγ) и таким образом

4. Амплитуда А эллиптического колебания. Ее квадрат пропорционален плотности энергии волны в точке наблюдения поля. 5. Абсолютная фаза δ определяет угол между начальным положением электрического вектора в момент времени t = 0 и большой осью эллипса. Возможные значения абсолютной фазы δ ограничены областью

Параметры поляризации определяются выражениями: Если ввести: то и еще

Конец вектора Е при возрастании фазы φ может описывать эллипс в двух различных направлениях (в зависимости от разности фаз Δ) по и против часовой стрелки. Правая, если при наблюдении навстречу световой волне вектор Е обращается при возрастании φ по часовой стрелке (т. е. при sinΔ > 0 – правая волна). При линейной поляризации sinΔ = 0 , Δ = mπ (m = ± 1 , ± 2, …) , (α/a 1 ± β/a 2)2 = 0, т. е. эллипс поляризации вырождается в прямую. Е изменяется параллельно диагонали прямоугольника a 1 - a 2 , это направление колебаний. При циркулярной (круговой) поляризации эллипс вырождается в окружность cosΔ = 0 , Δ = mπ/2 (m = 0, ± 1 , ± 2, …). Компоненты Ex и Ey образуют вектор Джонса – 1941 год, его удобно использовать при сложении или разложении когерентных эллиптических колебаний, т. к. вектор суммы равен сумме векторов.

Сфера Пуанкаре – 1892 г. Эллиптическое колебание с параметрами γ и χ изображается на сфере точкой с координатами 2γ (широта) и 2χ (долгота). Радиус сферы обычно 1 или равен интенсивности света I. На экваторе изображаются линейно поляризованные волны (γ = 0 , b = 0). Точки полюсов – циркулярно поляризованные волны с противоположным направлением обхода (γ = ± π/4 , a = b). Если радиус сферы равен 1 то:

Метод Стокса – 1852 г. Вектор Стокса {I, M, C, S} параметры которого характеризуют интенсивность (I) и поляризацию пучка света М – параметр преимущественной горизонтальной поляризации ; С – параметр преимущественной поляризации под углом 45 о ; S - параметр преимущественной правоциркулярной поляризации. Если свет полностью не поляризован то M = C = S = 0. Если свет полностью поляризован то I = M 2 + C 2 + S 2 при этом M , C и S соответствуют величинам X , Y и Z сферы Пуанкаре. < > - усреднение во времени. Параметры поляризации равны:

Вектор Стокса позволяет описать и частично поляризованное излучение. Физический смысл параметров Стокса можно понять из следующих рассуждений Если иметь набор светофильтров Fi пропускающих половину падающего на него неполяризованного света и при этом: Фильтр F 1 – одинаков для всех поляризаций, т. е. изотропен; Фильтр F 2 – непрозрачен для света с вертикальным направлением колебаний; Фильтр F 3 – полностью поглощает свет с колебаниями под углом 45 о; Фильтр F 4 – не пропускает левоциркулярный свет. Если интенсивности прошедшего через светофильтры света равны Vi , то: I = V 1 ; M = V 2 – V 1 ; C = V 3 – V 1 ; S = V 4 – V 1 Эллипсы поляризации световых пучков с M, C, S и - M, - C, - S имеют одинаковую форму, скрещены и обходятся в противоположных направлениях (на сфере Пуанкаре расположены на одном диаметре с противоположных сторон). Такие колебания называют взаимно ортогональными.

Частично эллиптически поляризованное излучение можно представить суммой двух независимых лучей, один из которых эллиптически поляризован с параметрами M, C, S и интенсивностью p. I, а другой полностью деполяризован с параметрами (1 – р), 0, 0. 0. Это излучение можно представить и в виде суммы двух эллиптических колебаний. Для частично линейно поляризованного света р – есть степень его поляризации.

Вектор Джонса – 1941 год описывает полностью поляризованный луч с максимальной краткостью. Если однородная монохроматическая электромагнитная волна распространяется вдоль оси Z (правая ортогональная тройка) , то: а 1 и а 2 – амплитуды линейных простых гармонических колебаний компонент поля вдоль осей X и Y (x и y – ед. векторы), Δx и Δy – фазы этих колебаний. При рассмотрении поляризации волны и ее изменений не требуется полное (1) 1. Если уже выбраны x и y, то нет нужды сохранять их в математическом выражении, описывающем волну и ( для восстановления информации надо умножить уравнения на x и y ).

2. Компоненты монохроматического поля во всех точках пространства изменяются синусоидально во времени с одинаковой частотой, поэтому такую временную информацию также можно опустить (для восстановления информации надо умножить на exp(iωt) и взять действительную часть произведения т. е. E(z, t) = Re[E(z)exp(iωt)] ) 3. Можно исключить информацию о пространственной структуре волны путем перехода к описанию поля в какой либо плоскости (например, Z = 0) (для восстановления пространственной структуры поля нужно умножить на exp(-ikz)

Т. о. вектор Е(0) – вектор Джонса есть компактное представление отдельной плоской волны. О которой известно, что она является монохроматической, однородной и поперечной. Зная Е(0) мы можем восстановить временную и пространственную структуру волны, т. е. вектор Джонса содержит полную информацию об амплитудах и фазах компонент поля и, следовательно, о поляризации волны. Интенсивность светового пучка пропорциональна сумме квадратов амплитуд отдельных компонент I = |a 1|2+|a 2|2 Всякий полный вектор можно преобразовать к стандартной нормированной форме, умножая его на некоторый скаляр (обычно комплексный), в результате чего интенсивность приводится к единице, а вектор – к простейшей форме. Наиболее удобная форма записи:

Раздел 2 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА В КРИСТАЛЛАХ Лекция 5 Для немагнитных кристаллов = 1 и - скаляр. Для плоских монохроматических волн уравнения Максвелла имеют вид: E = -[m. H] , H = [m. E] , m. E = m. H = 0 ( m - вектор рефракции m = nn ) Исключая H , находим показатель преломления E = -[m[m. E]] Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая, что m. E = 0 (m 2 - )E = 0 не нулевое решение при условии: m 2 = и n = Таким образом n не зависит от направления, а поляризация может быть любой. Вектор Умова-Пойтинга совпадает с волновой нормалью. .

Падение плоской волны на границу раздела двух сред с n и n 1 Из условия непрерывности тангенциальных составляющих полей на плоской границе раздела (они содержат множитель exp[iω(mr/C-t)] ) следует: 1. Равенство частот падающей, отраженной и преломленной волн. 2. На границе при условии rq = 0 должны выполняться соотношения: ( q - вектор нормали к границе раздела сред) r(m - m') = 0 и r(m - m 1) = 0 • Если плоскость раздела z = 0 , то: • xmx + ymy = xm 1 x + ym 1 y • для любых x и y, и отсюда получаем: • xmx = xm 1 x и ymy = ym 1 y • и таким образом nsin = n 1 sin 1 З-н преломления В. Снеллиуса 1620 г. и закон отражения . • nsin = n 1 sin , = . • и - углы падения и отражения • 1 – угол преломления

Геометрически эти законы означают, что концы векторов рефракций m и m 1 лежат на прямой параллельной q , а сами векторы m, m и m 1 расположены в плоскости падения, в векторной форме: [mq] = [m 1 q] = a (*) а, перпендикулярен к плоскости падения, после умножения векторно на q mi = b + i q (**) где b = [qa] , i = miq Эти два соотношения – законы преломления и отражения в форме, предложенной Ф. И. Федоровым. Векторное произведение вектора рефракции на вектор нормали к поверхности раздела, дает вектор, постоянный для всех волн – падающей, отраженной и преломленной.

Формулы О. Ж. Френеля - 1823 г. (Ковариантный метод Федорова) Векторы Е, Е′ и Е 1 разложим на составляющие по перпендикуляру к плоскости падения a (s - составл. ) и в плоскости падения (p - составл. ) E=Aa+B[na] ; E′=A′a+B′[n′a] ; E 1=A 1 a+B 1[n 1 a] (***) a = [mq] , n, n′ и n 1 - орты рефракций m, m′ и m 1 (волновые нормали) Из граничных условий: [E + E′ - E 1, q] = 0 ; [H + H′ - H 1, q] = 0 ; (B + B′ - B 1)q = 0 т. к. = 1 то B = H и получаем: (H + H′ - H 1)q = 0 , а значит H + H′ - H 1 = 0 Это соотношение можно записать (с помощью уравнений Максвелла) [m. E] + [m′ E′ ] - [m 1 E 1] = 0 Умножая на m′ и m 1 и используя (***) получаем скалярные уравнения, которые определяют амплитуды A′ и A 1 через A

A A’ -A 1 = = a[m'm 1] a[m 1 m] a[mm'] т. к. все mi лежат в одной плоскости следует: A + A' - A 1 = 0 Am + A'm' - A 1 m 1 = 0. Аналогично для В Bnq+B'n'q-B 1 n 1 q = 0 и Bn+B'n'-B 1 n 1 = 0 и и B/A B'/A' B 1/A 1 = = nn 1 n' n 1 n 1 [mimk] = ( k - i)a , ' = - и = ncos , 1 = n 1 cos 1 , nsin = n 1 sin 1 , nn 1 = cos( - 1) , n'n 1 = cos( + 1) Учитывая что,

Формулы Френеля - 1 sin( - 1) A' = · A ; + 1 sin( + 1) 2 1 2 cos sin 1 A 1 = · A = · A ; + 1 sin( + 1) n 12 - n 2 1 tg( - 1) B' = · B = · B ; n 12 + n 2 1 tg( + 1) 2 nn 1 2 cos sin 1 B 1 = · B = · B ; n 12 + n 2 1 sin( + 1)cos( - 1)

Угол полной поляризации - угол Брюстера Д. Брюстер (англ) - 1815 г. После отражения и преломления волны остаются линейно поляризованными , но векторы Е, Е' и Е 1 в общем случае не лежат в одной плоскости (кроме случаев, когда Е лежит в плоскости падения (А = 0), либо ей (В = 0). При n'n 1 = 0 отраженная волна будет полностью поляризована, как это следует из: B/A B'/A' B 1/A 1 = = nn 1 n'n 1 n 1 n 1 с колебаниями плоскости падения. Угол при этом условии (угол Брюстера): n' n 1 cos( + 1) = 0 ; + 1 = /2 ; sin 1 = cos = sin /(n 01) ; tg = n 01 = n 1/n - относительный показатель преломления

Если свет падает из менее плотной среды в более плотную, то обе составляющие преломленной волны p u s оказываются в фазе с составляющими падающей. В отраженной волне s испытывает скачок фазы на 180°, в то время как р -составляющая испытывает такой скачок только при угле падения, меньшем угла Брюстера. При большем угле падения рсоставляющие падающей и отраженной волн совпадают по фазе. В случае нормального падения (φ = φ1 = 0) формулы Френеля напрямую становятся неприменимыми. Рассмотрение этого случая нужно провести воспользовавшись предельным переходом при φ→ 0. Из граничных условий в силу Eq = E'q = Е 1 q = 0 Уравнение E + E' - Е 1 = 0 имеем: [m. E] + [m′ E′ ] - [m 1 E 1] = 0 n. Е + n'Е' - n 1 Е 1 = 0 дает: и значит:

Интенсивность волн при отражении на границе изотропных диэлектриков. Количество энергии падающей на площадку в 1 см 2 поверхности раздела в единицу времени равно (Е означает вещественную часть) аналогично для отраж. и преломл. волн. Е - полные векторы поля с фазовым множителем еiφ. Взяв среднее по времени значения получим: По закону сохранения энергии нормальная составляющая вектора плотности потока энергии непрерывна на поверхности раздела сред: (SS + S'S – S 1 S)q = 0 В силу линейной независимости составляющих разложения, получаем: (SS + S'S – S 1 S)q = 0 и (SР + S'Р – S 1 Р)q = 0.

Коэффициенты отражения (R) и пропускания (Т) равны: (аналогично и для сост. Р). Например: И R+T=1 В выражении для RP знаменатель при (φ + φ1) = π/2 равен бесконечности и RP = 0 , это угол Брюстера. При нормальном падении:

Отраженный и преломленный лучи остаются линейно поляризованными, если падающий свет был линейно поляризованным. Но направление колебаний в отраженном луче изменяется относительно направления колебаний в падающем. Если вторая среда оптически более плотная n 1>n то условие sinφ

Преломление света одноосными кристаллами K - плоскость раздела q - нормаль к ней П - плоскость падения Г - главная плоскость C - направление оптической оси - угол падения θ - угол между C и q ρ - угол между плоскостями П и Г введем обозначения: для векторов рефракций m i = b + i q , i = m i q , X= 0 (m 0[ac])(me[ac]) , Y=n 2 m 0[ac]( 02 bc- ea 2 qc) , Z = 02 (ac)2 , U = 0 n 2 0(ac)2

V = 0 n 0(ac) (bc) ; W = 0 n a 2(ac) (qc) = ( + 0)(X+Y)+( + e)(Z+U) _________ 0 = 0 -n 2 sin 2 ; e = n 22 -n 2 sin 2 a = [mq] ; A 0 = a 2[A( e- )+A'( e+ )]/{( 0 - e)m 0[ac]} b = [qa] ; Ae = a 2[A 0( 0 - )+A'( 0+ )]/[ 0( 0 - e)ac] A'=(1/ ){A[( - 0)(X+Y)+( - e)(Z+U)]+2 B( 0 - e)(V-W)} B'=(1/ ){B[( + 0)(X-Y)+( + e)(Z-U)]+2 A( 0 - e)(V+W)} Из граничных условий- все волновые векторы лежат в плоскости падения и их тангенциальные составляющие вдоль границы раздела равны другу, и возможно применение графического метода.

Частный случай для оптически одноосного отрицательного кристалла. Отраженный луч не показан ksin = k 1 esin 1 e = k 20 sin 10 ; k 1 e const. Оптическая ось кристалла С горизонтальна и лежит в плоскости падения. В случае если падающая волна поляризована и Е плоскости падения (В = 0) , то отраженная и преломленные волны поляризованы также, а преломленная только о - волна. Если А = 0, то отраженная и преломленная волны поляризованы также в плоскости падения и распространяется только е-волна.

Частный случай для оптически одноосного отрицательного кристалла. Отраженный луч не показан ksin = k 1 esin 1 e = k 20 sin 10 ; k 1 e const. Оптическая ось кристалла С вертикальна и лежит в плоскости падения. В случае если падающая волна поляризована и Е плоскости падения (В = 0) , то отраженная и преломленные волны поляризованы также, а преломленная только о - волна. Если А = 0, то отраженная и преломленная волны поляризованы также в плоскости падения и распространяется только е-волна.

Частный случай для оптически одноосного отрицательного кристалла. Отраженный луч не показан ksin = k 1 esin 1 e = k 20 sin 10 ; k 1 e const. Оптическая ось кристалла С горизонтальна и перпендикулярна плоскости падения. В случае если падающая волна поляризована и Е плоскости падения (В = 0) , то отраженная и преломленные волны поляризованы также, а преломленная только о - волна. Если А = 0, то отраженная и преломленная волны поляризованы также в плоскости падения и распространяется только е-волна.

Лекция 6 Прохождение света через параллельную пластинку Волна в кристалле многократно отражается на первой и второй гранях пластинки, образуя ряды плоских волн. Разность фаз равна: Амплитуда отраженной волны Амплитуда прошедшей волны

Представленные выражения одинаковы для р- и s- компонент. Коэффициенты отражения и пропускания для р- компонент:

Величины |rp|2 и |tp|2 определяют соотношения интенсивности отраженного и прошедшего света к интенсивности падающего света и, следовательно, отражательную и пропускательную способности пластинки: Если вектор Е падающей волны с амплитудой Ао образует с плоскостью падения угол α, то: A = Aosinα , B = Aocosα Тогда: R = Rpcos 2α + Rssin 2α Если N = N 2, то r 01 = -r 12 и отражательная и пропускательная способности поверхностей: Ro = r 012 = r 122 = r 2 , To = t 01 t 12 Окончательно получаем: Формулы Эйри (1833 г. )

При нормальном падении света на пластинку При N 2 d = λ/4 , 3λ/4 … отражательная способность пластинки достигает минимальной величины Если показатели преломления окружающей среды с обеих сторон пластинки одинаковы N = N 2 то: Просветление оптики

Прохождение света через систему поляризатор – кристалл - анализатор ПП и АА плоскости колебаний пропускаемых поляризатором и анализатором, S 1 и S 2 плоскости колебаний двух лучей, распространяющихся в кристалле (направление полуосей сечения оптической индикатрисы) Ео – амплитуда колебаний луча, вышедшего из поляризатора. Разность фаз двух лучей, вышедших из кристаллической пластинки:

Прохождение света через систему поляризатор – кристалл - анализатор Амплитуды лучей, вышедших из кристалла: Е' = Еоcosα и Е'' = Еоsin α Амплитуды колебаний двух лучей, вышедших из анализатора: Е 1 = Е'cosβ = Еоcosαcosβ E 2 = Е''sinβ = Еоsinαsinβ Амплитуда результирующего колебания: I = E 2 = E 12 + E 22 + 2 E 1 E 2 cosδ В параллельном луче света: I = Iocos 2 - Iosin 2αsin 2βsin 2(δ/2) В скрещенных поляризаторах ( = 90 о) I = Iosin 2αsin 2(δ/2) Если α = 45 о I = Iosin 2(δ/2)

Исследование кристаллов в сходящемся свете Оптически одноосные кристаллы Если свет вдоль оптической оси

Коноскопические фигуры в сходящемся свете

Раздел 3 Оптическая активность кристаллов Лекция 7 Пространственная дисперсия: вектор поляризации P(r, t) определяется не только значением вектора E в точке r, но и E в окрестности этой точки. Пространственную дисперсию можно трактовать как зависимость P не только от E, но и от пространственных производных. Ограничиваясь первыми членами разложения, получим: Если тензор β отличен от нуля, проявляется пространственная дисперсия первого порядка; такие кристаллы называются оптически активными.

Если рассматривать зависимость E от индукции D; тогда: Так как для монохроматической волны с волновым вектором k производная d. D/dr = i. Dk , то: Выражение в скобках играет роль измененного тензора диэлектрической непроницаемости. Добавка к тензору η, линейно зависящая от k, мнимая. Поскольку k обратно пропорционален длине волны λ (k = (2π/ λ)т, добавка тоже обратно пропорциональна λ. Единственная характеристика бесконечного кристалла, имеющая размерность длины, размер элементарной ячейки а и величина добавки порядка а/ λ. При частотах когда кристалл прозрачен, тензор η эрмитов, т. е. его вещественная часть симметрична, а мнимая антисимметрична.

Таким образом тензор антисимметричен по первым двум индексам: ijk = - jik Можно ввести псевдотензор гирации Gij дуальный тензору , с точностью до скалярного множителя λ/2π : и тогда: δijk – символ Леви-Чивита

Для правой системы координат, Х 3 вдоль N, а оси Х 1 и Х 2 совпадают с полуосями эллипса центрального сечения оптической индикатрисы можно получить: n 01 и n 02 – показатели преломления в направлении N в предположении, что пространственная дисперсия отсутствует, Gm – свойство в направлении N. Gm = Gijmimj Если свет вдоль оптической оси оптически одноосного кристалла то Gm = G 33 n 01 = n 02 = no и так как G 33 мало, то n = no ± G 33/2 no и Δn = G 33/no Угол поворота плоскости поляризации света: φ = (πd/λ)Δn Удельный угол поворота плоскости поляризации света: ρ = (π/λ)Δn = (πG 33)/(λno)

При падении плоско-поляризованной волны на оптически активный кристалл вдоль оптической оси распространяются два циркулярно-поляризованных луча с противоположными направлениями вращения. Угол поворота плоскости поляризации равен половине разности фаз между двумя циркулярно-поляризованными компонентами. Скорости распространения этих волн различны. Расположение векторов Е при выходе из кристалла ОА' и ОВ' их результирующий вектор ОС' колеблется в плоскости с углом φ с вертикалью. α - кварц, для λ = 0. 589 мкм Δn = 7. 10· 10 -5 Пластинка толщиной 1 мм. φ = (π· 10 -3· 7. 10· 10 -5)/(0. 589· 10 -6) φ = 0. 379 рад = 21. 7 угл. град.

Если N не вдоль оптической оси, то вращение плоскости поляризации налагается на двулучепреломление. Волновые поверхности α – кварца (положительный одноосный кристалл ne = 1. 553 , no = 1. 544) и их искажение за счет вращения плоскости поляризации. Таким образом вдоль оптической оси распространяются две не плоско- , а циркулярно-поляризованных волны. Отношение ne/no = 1. 006. Искажение – расстояние по оптической оси равно 5· 10 -5 длины радиуса.

При произвольном распространении света в кристалле две волны оказываются эллиптически-поляризованными. Эллипсы поляризации имеют одинаковую форму, развернуты на 90 о, их полуоси параллельны полуосям эллипса сечения оптической индикатрисы если бы активность отсутствовала. Изменение эллиптичности k в зависимости от направления волновой нормали в правом кварце для обыкновенной и необыкновенной волн. Для обыкновенной волны. Для необыкновенной волны.

В кварце вдоль оптической оси k = 1 , но при отклонении от нее быстро падает, а в направлении 56 о 10’ становится равной 0, затем снова увеличивается (знак вращения плоскости поляризации для обоих эллипсов изменяется на обратный). Эллиптичность собственных волн в зависимости от угла θ Зависимость в области больших углов θ

Лекция 8 Электрогирация. Внешнее электрическое поле влияет на естественную оптическую активность и может создавать вынужденную активность Разложение по степеням Е псевдотензора гирации: G 0 ij – псевдотензор гирации в отсутствие Е; Aijk – псевдотензор 3 -ранга, симметричный по двум индексам (Aijk = Aikj = Aiμ); Bijkl – псевдотензор 4 -ранга, симметричный по первой и второй паре индексов. В чистом виде линейная электрогирация проявляется как поворот плоскости поляризации на угол: Ψ = Kl. E 0 , К – коэффициент, связанный с компонентами псевдотензора гирации Aijk.

Например, для классов симметрии 3, 4, и 6 для случая Е 0//С кристаллы остаются одноосными при N//С полный угол поворота плоскости поляризации равен ψ = ψ0 + ψ1 (ψ0 - при Е 0 = 0, а ψ1 - при Е 0 ≠ 0). Линейная электрогирация экспериментально обнаружена на Pb. Mo. O 4 (4/m) E//C//N, ψ =10 при Е 0 = 10 к. В и λ = 0. 633 мкм (для этого класса симметрии ρ = π 33 E 0/λn 0 получаем 33 = 1. 23· 10 -2 м/В) Квадратичная электрогирация описывается псевдотензором Вijkl (четный ранг) и не возможна в центросимметричных кристаллах. Экспериментальное исследование квадратичной электрогирации усложняется наличием линейной электрогирации и электрооптического эффекта. Ее обнаружение возможно в направлениях, в которых она наблюдается без влияния этих эффектов, или если сложный эффект можно разложить на составляющие.

Квадратичный электрогирационный эффект в кварце при N//С и Удельное вращение плоскости поляризации в этом случае: Е//Х. Изменение вращения за счет квадратичной электрогирации: С учетом линейного электрооптического эффекта изменение вращения плоскости поляризации: мин/мм Для кварца: Т. е. Δρе 0 = 0. 137 мин/мм Т. о. изменение вращения плоскости поляризации определяется в основном квадратичной электрогирацией, и β 31 = 3. 47· 10 -20 м 2/В 2. .

Френель на сложной призме, состоящей из двух из правовращающего кварца и одной из левовращающего с тупым углом М = 1520 подтвердил свою гипотезу о вращении плоскости поляризации (теоретически доказать не мог – отсутствовала полная теория). Падающий луч на грани АВ не испытывает преломления, но внутри призмы АВМ разлагается на два луча, поляризованные по кругу. На грани АМ лучи испытывают Оптические оси кристаллов всех трех призм параллельны основанию AD. разное преломление (nп>nл). Угол расхождения между лучами еще больше увеличивается при преломлениях на гранях MD и CD. Угол расхождения между лучами на выходе из сложной призмы составил 4. Верхний луч поляризован по левому кругу, а нижний по правому.

Магнитное вращение плоскости поляризации (Эффект Фарадея – 1846 г. ) При распространении света вдоль постоянного магнитного поля угол поворота плоскости поляризации пропорционален длине пути l света в веществе и напряженности внешнего магнитного поля (магнитной индукции В). χ = Vl. B V – постоянная Верде или магнитная вращательная способность. Для кварца χ = 0. 0166' см-1 э-1 В магнетиках χ пропорционален намагниченности χ =Kl. I Намагниченность I = (μ-1)B/(4πμ) , μ - магнитная проницаемость. К – постоянная Кундта. Вращение плоскости поляризации определяется только направлением магнитного поля В и не зависит от направления распространения света.

Эффект Коттона-Мутона Если вектор поля Н и N света взаимно перпендикулярны, то магнитное поле в первом приближении не оказывает влияния на свет. В этом случае надо учесть квадротичные добавки по Н. Если свет распространяется вдольоптической оси, то возникает двупреломление только за счет магнитного поля. Если свет распространяется в произвольном направлении, то возникает дополнительное двупреломление – эффект Коттона-Мутона. Обнаружен (1901 г. ) Дж. Керром (англ) и К. Майораной (итал), подробно явление изучено французами Э. Коттоном и А. Мутоном (1907 г. ). Величина двупреломления равна: Δn = CH 2λ C – постоянная Коттона-Мутона (зависит от вещества). С – величина очень маленькая (приблизительно 10 -13 см-1 э-1) Эффект аналогичен квадратичному электрооптическому эффекту Керра.

Фарадей для усиления магнитного вращения плоскости поляризации использовал многократное отражение от концов образца. ларморовская частота: Ω = (е/2 mс)В m и е масса и заряд электрона. Физическая природа магнитного вращения плоскости поляризации связана с эффектом Зеемана (1896 г. ). Спектральные линии расщепляются, если источник поместить в магнитное поле. При наблюдении вдоль магнитного поля спектральная линия расщепляется на две компоненты, поляризованные по кругу в противоположных направлениях с частотами: ω + = ω0+Ω и ω- = ω0 -Ω. При распространении света вдоль магнитного поля скорости распространения двух волн не одинаковы, т. к. частоты волн различны. При сложении таких поляризованных по кругу волн получается волны с вращающейся плоскостью поляризации. Угол поворота плоскости поляризации: χ = (ωl/2 C)(n--n+) = (πl/λ)(n--n+)

Электрооптические свойства кристаллов Линейный электрооптический эффект (ЭОЭ) Изменение показателя преломления пропорциональное Е. Аналитически чаще всего рассматривают связь между изменением поляризационных констант Δηij и управляющем полем Е: rijk – полярный тензор третьего ранга - тензор линейного ЭОЭ возможен только в нецентросимметричных кристаллах, в силу симметричности тензора ηij возможна матричная запись ЭОЭ: В общем случае 18 независимых коэффициентов rnl , из-за симметрии кристалла это число уменьшается, как и в случае пьезоэлектрических модулей.

Оптическая индикатриса: ηij связаны с главными показателями преломления Под действием Е происходит изменение формы, размера и ориентации индикатрисы, а Δηij являются мерой этого относительного искажения. Первичный и вторичный ЭОЭ Первичный или «истинный» ЭОЭ является результатом только прямого воздействия Е. Наблюдается только в механически «зажатых» кристаллах → запрещена деформация (наблюдается в высокочастотном Е ν > νсобст. кол. )

Вторичный или «ложный» ЭОЭ обусловлен изменением поляризационных констант вызванным обратным пьезоэлектрическим эффектом (через упругооптический эффект) • • где r*ijk – ЭО коэффициенты первичного ЭОЭ; Pijlm – упругооптические коэффициенты; dklm – пьезоэлектрические модули; rlm – тензор деформаций , следовательно: Два метода измерения r*ijk : • 1. - высокочастотные поля; 2. - отдельно измерить упругооптический эффект и вычесть его из общего ЭОЭ.

Квадратичный ЭОЭ Если приложении Е изменения Δηij рассматривать с точностью до членов второго порядка, то: Коэффициенты квадратичного ЭОЭ являются компонентами тензора 4 -ого ранга и симметричны по индексам i и j , а так же по индексам k и l , но не перестановочны по этим парам индексов, Наблюдается в кристаллах любой симметрии и в изотропных средах. Вторичный квадратичный ЭОЭ состоит в изменении Δηij пропорционально Е 2 обусловленному деформацией за счет электрострикции:

Лекция 9 Пьезо- и упругоптические свойства кристаллов Явление фотоупругости – изменение оптической индикатрисы при воздействии механических напряжений. Изменение - ηij, обусловленное приложением механических напряжений равно (с точностью до членов 1 порядка): Через деформацию (упругооптический эффект) :

Тензоры четвертого ранга πijkl и pijkl называются пьезооптическими и упругооптическими постоянными В матричной записи Т. к. πijkl и pijkl четные, эффекты в кристаллах любой симметрии. Так как упругие деформации и напряжения связаны законом Гука, то имеется связь между пьезооптическими и упругооптическими коэффициентами: где Сrn – коэффициенты упругой жесткости; Srn – коэффициенты упругой податливости