Определители квадратных матриц и их свойства

Определители квадратных матриц и их свойства

План изложения темы 1. Способы вычисления определителей 2. Формула обратной матрицы 3. Ранг матрицы

Литература n Высшая математика для экономистов: Учебник для студентов вузов. Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. n Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов. Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.

Определитель матрицы n Любой квадратной матрице ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом. n Определитель матрицы – это число. n Определитель существует только для квадратных матриц. n Обозначение: det A или |А| или ∆А или ∆n или ∆

Определитель первого порядка n Определяется по формуле: при А=(а 11) ∆1=а 11 n Пример: А=(-5) ∆1= ∆А = - 5

Определитель второго порядка n Определяется формулой: n Пример:

Определитель третьего порядка n Определяется формулой

Определитель третьего порядка n Знаки произведений определяются с помощью правила треугольников или правила Сарруса:

Определитель n-го порядка n Определителем матрицы А n-го порядка называется алгебраическая сумма n! произведений n-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы

Минор n Рассмотрим квадратную матрицу Аn n Минором называется определитель (n-1)-го порядка, полученный вычеркиваем из матрицы А i-й строки и j-го столбца. n Пример:

Алгебраическое дополнение n. Алгебраическим дополнением называется минор , взятый со знаком , т. е. n Пример n Матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, называется присоединенной матрицей и обозначается

Теорема Лапласа n Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: - разложение определителя по элементам i-й строки n Используется для вычисления определителей порядка выше третьего.

Теорема Лапласа (пример) n Вычислить n Решение:

Свойства определителей n При транспонировании ∆ не меняется. n При перестановке двух строк ∆ меняет знак. n ∆=0 если: ¨ содержит нулевую строку (столбец); ¨ содержит две одинаковые строки; ¨ содержит две пропорциональные строки. n Если все элементы строки умножить на число λ, то ∆ увеличится в λ раз; общий множитель строки можно вынести за знак ∆. n Если к элементам строки прибавить элементы другой строки, умноженной на число ≠ 0, то ∆ не меняется.

Свойства определителей n Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. n Определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов

Способы вычисления определителей n Перебором всевозможных произведений (по определению); n Разложением по строке или столбцу (по теореме Лапласа); n С использованием свойств определителей; n Сочетание способов.

Обратимость матрицы n Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля (∆А≠ 0), матрица называется невырожденной или неособенной. n Критерий обратимости матрицы: А имеет обратную ↔ А – невырожденная n Обратную матрицу можно найти по формуле:

Алгоритм нахождения обратной матрицы n Вычислить ∆А. Если ∆А=0, то А-1 не существует. n Если ∆А≠ 0, найти алгебраические дополнения всех элементов. Составить n Транспонировать матрицу n Выполнить умножение на n Выполнить проверку равенства А-1∙А = Е.

Нахождение обратной матрицы (пример) n Найти матрицу, обратную к n Решение: 1. ∆А = -1∙ 1 - 2∙ 0 = -1 ≠ 0 → А-1 существует. 2. Итак, 3.

Нахождение обратной матрицы (пример) 4. 5. Проверка: n Ответ:

Ранг матрицы n Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. n Обозначение: rang A или r(A). n Ранг матрицы показывает число ее линейно независимых строк (столбцов).

Основные свойства ранга n Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров: для Аm×n r(A) ≤ min {m, n}; n Ранг матрицы равен нулю только для нулевой матрицы: r(A)=0 ↔ A=O; n Ранг квадратной матрицы равен ее порядку только для невырожденной матрицы: для Аn r(A)=n ↔ А – невырожденная.

Вычисление ранга перебором миноров (пример): n Найти ранг матрицы n Размерность матрицы 4× 6 → r(A)≤ 4. n Все миноры четвертого порядка равны нулю, т. к. содержат нулевую строку.

Вычисление ранга перебором миноров (продолжение): n Миноры третьего порядка должны содержать элементы хотя бы двух строк со второй по четвертую. Они содержат либо пропорциональные строки, либо нулевую строку. Такие определители равны нулю. n Максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы, равен двум, например Итак, r(A)=2.