Определитель n го порядка Решение СЛАУ по формулам Крамера

Определитель n—го порядка. Решение СЛАУ по формулам Крамера. 1. Некоторые сведения из комбинаторики

• Определение. Перестановками из n элементов называются комбинации n различных элементов, отличающиеся порядком расположения элементов. Пример. Числовые перестановки. (1, 2, 3); (2, 1, 3); (2, 3, 1) –перестановки из 3 -х элементов; (1, 2, 3, 4, …, n); (2, 3, 1, …, n) – перестановки из n элементов. (1, 2, 3, …, n) – основная перестановка

• Определение. Транспозицией элементов перестановки называется перемена местами любых 2 -х элементов перестановки ( «рокировка» ). Пример. Рассмотрим перестановки из 3 -х элементов: а) (1, 2, 3); б) (2, 1, 3); в) (1, 3, 2) г) (3, 1, 2) При переходе из а) в б) 1 транспозиция, из а) в г) 2 транспозиции.

Определение. Определителем n-го порядка называется число, обозначаемое det A, равное сумме всевозможных произведений элементов матрицы A(n x n), с учетом числа транспозиций: где Ni – число транспозиций, переводящих основную перестановку (1, 2, . . , n) в перестановку (i 1, i 2, . . , in)

Замечание. Все указанные выше свойства определителей справедливы для определителей любого (n-го) порядка. Свойство 8) можно записать в виде: (а) (б) Разложение определителя: (а) по i-й строке, (б) по j-му столбцу. Свойство 9)

Разложение определителя по строке (столбцу) • Пример. Вычислить Решение. Разложим определитель по 2 -й строке

3. Решение СЛАУ по формулам Крамера Обозначим определители (главный и побочные):

Теорема Крамера. Если главный определитель СЛАУ не равен нулю, то СЛАУ имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Док-во: Докажем формулы (2) сначала для x 1. Умножим обе части каждого уравнения на алгебраическое дополнение 1 -го коэффициента строки и сложим все уравнения. Получим: По свойствам определителя 8 -9) имеем: т. е. откуда Аналогично доказываются формулы для xj (j=2, . . , n). Док-но.

Следствия 1) Если главный определитель и все побочные определители СЛАУ равны нулю, то СЛАУ имеет бесчисленное множество решений. 2) Если главный определитель СЛАУ равен нулю, но имеется побочный определитель, не равный нулю, то СЛАУ не имеет решений.

• Теорема 1. Если определитель однородной СЛАУ не равен нулю, то СЛАУ имеет только тривиальное (нулевое) решение. Док-во: По теореме Крамера имеем: Док-но. Теорема 2. Если однородная СЛАУ имеет нетривиальное (ненулевое) решение, то её определитель равен нулю. Док-во: (от противного). Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда по Теореме 1 СЛАУ имеет только нулевое решение. Но по условию, СЛАУ имеет ненулевое решение. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и определитель СЛАУ равен нулю. Док-но.

Спасибо за внимание !