Определить понятие количество информации довольно сложно В решении

Определить понятие «количество информации» довольно сложно. В решении этой проблемы существуют два основных подхода. В конце 40 -х годов XX века один из основоположников кибернетики, американский математик Клод Шеннон, развил вероятностный подход к измерению количества информации, а работы по созданию ЭВМ привели к объемному подходу.

Информацию, которую получает человек, можно считать мерой уменьшения неопределенности знаний. Если некоторое сообщение приводит к уменьшению неопределенности наших знаний, то можно говорить, что такое сообщение содержит информацию. Сообщения обычно содержат информацию о каких-либо событиях. Количество информации для событий с различными вероятностями определяется по формуле Шеннона (1): где H – количество информации, численная величина, измеряющая неопределенность – энтропию; N – количество возможных событий; рi – вероятности отдельных событий. Если события равновероятны, то количество информации определяется по формуле Хартли (2): Н = log 2 (N), или из показательного уравнения (3): N = 2 Н.

Пример 1. После экзамена по информатике, который сдавали ваши друзья, объявляются оценки ( « 2» , « 3» , « 4» или « 5» ). Какое количество информации будет нести сообщение об оценке учащегося А, который выучил лишь половину билетов, и сообщение об оценке учащегося В, который выучил все билеты? Опыт показывает, что для учащегося А все четыре оценки (события) равновероятны и тогда количество информации, которое несет сообщение об оценке, можно вычислить по формуле Хартли (2): Н = log 24 = 2 бита. На основании опыта можно также предположить, что для учащегося В наиболее вероятной оценкой является « 5» (р5 = 1/2), вероятность оценки « 4» в два раза меньше (р4 = 1/4), а вероятности оценок « 2» и « 3» еще в два раза меньше (р3 = р2 = 1/8). Так как события неравновероятны, воспользуемся для подсчета количества информации в сообщении формулой Шеннона (1): Н = – (1/2 lоg 21/2 + 1/4 lоg 21/4 + 1/8 lоg 21/8) бит = 1, 75 бита. Вычисления показали, что при равновероятных событиях получаем большее количество информации, чем при неравновероятных событиях.

Пример 2. В непрозрачном мешочке хранятся 10 белых, 20 красных, 30 синих и 40 зеленых шариков. Какое количество информации будет содержать зрительное сообщение о цвете вынутого шарика? Количество шариков различных цветов неодинаково, то вероятности зрительных сообщений о цвете вынутого шарика также различаются и равны количеству шариков данного цвета деленному на общее количество шариков: рб = 0, 1; рк = 0, 2; рс = 0, 3; рз = 0, 4. События неравновероятны, поэтому для определения количества информации, содержащегося в сообщении о цвете шарика, воспользуемся формулой Шеннона (1): Н = – (0, 1 lоg 20, 1 + 0, 2 lоg 20, 2 + 0, 3 lоg 20, 3 + 0, 4 lоg 20, 4) бит 1, 85 бита.

Если рассматривать символы алфавита как множество возможных сообщений (событий) N, то количество информации, которое несет один знак, можно определить из формулы Шеннона (1). Если считать появление каждого знака алфавита в тексте событиями равновероятными, то для определения количества информации можно воспользоваться формулой Хартли (2) или уравнением (3). Количество информации, которое несет один знак алфавита, тем больше, чем больше знаков входит в этот алфавит, то есть чем больше мощность алфавита. Количество информации, содержащейся в сообщении, закодированном с помощью знаковой системы, равно количеству информации, которое несет один знак, умноженному на число знаков в сообщении.

Пример 3. Какова мощность алфавита, с помощью которого записано сообщение, содержащее 2048 символов, если его объем составляет 1, 25 Кбайт? Арифметически переведём информационный объем сообщения в биты: Н = 1, 25*1024*8 =10 240 бит. Определим количество бит, приходящееся на один символ: 10 240 бит / 2 048 = 5 бит. По формуле (3) определим количество символов в алфавите: N = 2 Н =25 = 32 символа.

В двоичной системе счисления знаки 0 и 1 называют битами. В компьютере бит является наименьшей возможной единицей информации. Объем информации, записанной двоичными знаками в памяти компьютера или на внешнем носителе, подсчитывается по числу требуемых для такой записи двоичных символов. При этом в частности, невозможно нецелое число битов (в отличие от вероятностного подхода). Пример 4. Рассмотрим алфавит, состоящий из двух знаков 0 и 1. Если считать, что со знаками 0 и 1 в двоичном алфавите связаны одинаковые вероятности их появления то количество информации на один знак при двоичном кодировании будет равно. Таким образом, количество информации в битах, заключенное в двоичном слове, равно числу двоичных знаков в нем.

Для удобства использования введены более крупные, чем бит, единицы количества информации. Одним битом могут быть выражены два понятия 21 = 2: 0 или 1. Если количество разрядов увеличить до двух 22 = 4, то можно выразить четыре различных понятия: 00 01 10 11. Тремя битами 23 = 8 можно закодировать восемь различных значений: 000 001 010 011 100 101 110 111. Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе. В информатике единицей измерения количества информации является байт: 1 байт = 8 бит. В традиционной метрической системе единиц СИ, в качестве множителя кратных единиц используют коэффициент 10 n, где n = 3, 6, 9 и т. д. , что соответствует десятичным приставкам Кило (103), Мега (106), Гига (109).

Компьютер оперирует числами в двоичной с. с. , поэтому в кратных единицах измерения количества информации используется коэффициент 210 = 1024. 1 Килобайт = 210 байт; 220=Мегабайт, 230=Гигабайт, 240=Терабайт, 250=Петабайт, 260=Экзабайт. Между вероятностным и объемным количеством информации соотношение неоднозначное. Далеко не всякие данные, записанные двоичными символами, допускают измерение объема информации в вероятностном (кибернетическом) смысле, но заведомо допускают в объемном. Даже если некоторое сообщение допускает измеримость количества информации в обоих смыслах, то это количество не обязательно совпадает, при этом вероятностное количество информации не может быть больше объемного. В прикладной информатике всегда количество информации понимается в объемном смысле.

Формы представления и преобразования информации При любых видах работы с информацией речь идет о ее представлении в виде определенных символических структур. Наиболее распространены одномерные представления информации, при которых сообщения имеют вид последовательности символов. Так информация представляется в письменных текстах, при передаче по каналам связи, в памяти ЭВМ. Однако широко используется и многомерное представление информации. Под многомерностью понимается не только расположение элементов информации на плоскости или в пространстве в виде рисунков, схем, графов, объемных макетов, но и множество признаков используемых символов, например цвет, размер, вид шрифта в тексте. Формирование представления информации называется ее кодированием. Под кодированием понимается переход от исходного представления информации, удобного для восприятия человеком, к представлению, удобному для хранения, передачи и обработки. Обратный переход к исходному представлению информации называется декодированием.

Для записи, хранения и выдачи по запросу информации, обрабатываемой с помощью ЭВМ, предназначено автоматическое запоминающее устройство АЗУ. Информация в памяти ЭВМ записывается в форме цифрового двоичного кода. Электронные элементы, из которых строится оперативная память, могут находиться только в одном из двух устойчивых состояний, которые интерпретируются как 0 и 1. Количество информации, которое может помещаться в один элемент памяти бит очень мало и не несет никакой смысловой нагрузки. Если соединить несколько таких элементов в ячейку, то тогда можно сохранить в запоминающем устройстве столько информации, сколько потребуется. Элементарная ячейка памяти ЭВМ имеет длину 8 бит (байт). Каждый байт имеет свой номер – адрес. Наибольшую последовательность бит, которую ЭВМ может обрабатывать как единое целое, называют машинным словом. Длина машинного слова зависит от разрядности процессора и может быть равной 16, 32, 64 битам. Т. к. оперативная память состоит из конечной последовательности слов, а слова – из конечной последовательности битов, то объем представляемой в ЭВМ информации ограничен емкостью памяти, а числовая информация может быть представлена только с определенной точностью, зависящей от архитектуры памяти данной ЭВМ.

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. В любой с. с. для представления чисел выбираются некоторые символы, называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной с. с. Количество базисных чисел, используемое в данной с. с. определяет ее основание и название. Для представления чисел используются непозиционные и позиционные с. с. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Для облегчения счёта, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу, Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников счету. Единичная система не удобный способ записи чисел. Записывать, таким образом, большие количества утомительно и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления придумана примерно в третьем тысячелетии до нашей эры, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и так далее использовались иероглифы. Остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. Чтобы изобразить 3252, рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево и в произвольном порядке.

Римская система счисления. Непозиционная система, которая сохранилась до наших дней, появилась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum – сто, Demimille – половина тысячи, Mill – тысяча). В этой системе используется 7 знаков I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), M (1000). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятёрок, единиц. Пример, десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII = 10 + 5 + 1 + 1. Для записи промежуточных чисел используется не только сложение, но и вычитание. При этом применяется следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Пример, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11. Десятичное число 99 имеет следующее представление: ХСIХ = – 10 + 100 – 1 + 10. Римскими цифрами пользовались очень долго, 200 лет назад в деловых бумагах числа обозначались римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 90) и целые количества сотен (от 100 900) обозначались буквами алфавита. У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу. В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала арабская нумерация, которой пользуемся и сейчас в богослужебных книгах. Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков: 1 Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2 Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3 Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. 4 Отсутствие формальных правил записи чисел.

Достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная,

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Значение числа, состоящего из n цифр, определяется следующей развёрнутой формулой: (xn-1 xn-2 … x 1 x 0) = xn-1*mn-1+ xn-2*mn-2+ … + x 0*m 0 где m – основание; xi – символ в i-й позиции, 0 xi m; 0 i (n-1); mi – вес i-го знакоместа. Для 10 с. с. m = 10, используемые символы: 0 9. Разряд числа возрастает от младших разрядов к старшим справа налево. В 10 с. с. крайняя справа позиция соответствует минимальному значению, в которой цифра обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее – сотни, затем тысячи и т. д. Пример, число 567, 310 – это привычная запись числа в сокращенной форме. В полной форме число 567, 310 будет выглядеть: 567, 310 = 5*102 + 6*101 + 7*100+ 3*10 -1. Число записывается в виде суммы ряда степеней основания с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры данной с. с. Кроме 10 с. с. распространены позиционные с. с. с основаниями 2, 8, 16, 60.

Электронные блоки компьютера могут обрабатывать информацию, представленную только в цифровой форме, причем компьютер работает в 2 с. с. Основание системы: m = 2. Используемые символы: 1 и 0. Двоичное число представляет собой цепочку из нулей; и единиц. При этом оно имеет большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов – самый существенный недостаток двоичной системы счисления. Пример. Записать число 1001, 12 в развернутом виде. Произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления: 1001, 12 = 1*23+0*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2 -1 = 8+1+0, 5 = 9, 510. Двоичная система счисления неудобна для использования человеком, поэтому программисты используют восьмеричную (основание 8, используемые символы 0 7) и шестнадцатеричную (основание 16, используемые символы 0 9, A, В, С, D, Е, F).

При работе с компьютером приходиться параллельно использовать несколько с. с. – двоичную, десятичную и шестнадцатеричную, поэтому практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Для перевода чисел разных систем счисления в десятичную систему необходимо записать число в полной форме и вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Дробная часть записывается слева направо с начального номера – 1. Переведем двоичное число в десятичное. Пример: 1011, 012 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 + 0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 = 8 + 2 + 1 + 0, 25 = 11, 2510 Перевод числа из восьмеричной системы в десятичную. Пример: 675, 28 = 6*82 + 7*81 + 5*80 + 2*8 -1 = 6*64 + 7*8 + 5*1 + 2/8 = 445, 2510 Переведем число из шестнадцатеричной системы в десятичную. Пример: 19 F, 316 = 1*162 + 9*161 + F* 160 + 3*16 -1 = 1*256 + 9*16 + 15*1 + 3/16= 415, 187510

Перевод числа из десятичной системы в другие системы счисления осуществляется отдельно для целой и дробной частей числа по следующим алгоритмам: 1 Целое десятичное число. Исходное десятичное число многократно (пока частное не станет равным нулю) делится на основание с. с. (двоичная система, на 2). Если при делении образуется остаток, то в соответствующий двоичный разряд записывается 1, если делится без остатка, то записывается 0. Запись остатков в двоичное число выписывается в порядке, обратном их получению. Возьмём число 1910: 1910 в 2 с. с. 19 / 2 = 9 9/2=4 4/2=2 2/2=1 1 Результат = Остаток 1 1 0 0 1 100112 12510 в 8 с. с. 125 / 8 = 15 15 / 8 = 1 1 Результат = Остаток 5 7 1 1758 12510 в 16 с. с 125 / 16 = 7 7 Результат = Остаток 13 = D 16 7 7 D 16

2 Десятичная дробь последовательно умножается на основание c. c. , причем сразу после каждой операции умножения полученная целая часть записывается в результат в порядке получения и в дальнейшем умножении не участвует. Количество операций умножения зависит от требуемой точности. Пример = 0, 101000112. 0, 3610 в 2 с. с. Результат 0, 3610 в 8 с. с. Результат 0, 3610 в 16 с. с. Результат 0, 36*2= 0, 72*2= 1, 44 0, 44*2= 0, 88*2= 1, 76 0, 76*2= 1, 52 0, 3610 = 0 1 1 0, 010112 0, 36*8= 2, 88 0, 88*8= 7, 04 0, 04*8= 0, 32*8= 2, 56 0, 56*8= 4, 48 0, 3610 = 2 7 0 2 4 0, 270248 0, 36*16= 5, 76 0, 76*16= 12, 16 0, 16*16= 2, 56 0, 56*16= 8, 96 0, 96*16= 15, 36 0, 3610 = 5 12 = С 2 8 15 = F 0, 5 C 28 F 16 Можно воспользоваться программой Калькулятор. В режиме Инженерный установить переключатель в положение Dec, ввести десятичное число, а затем последовательно установить переключатель в положения Bin, Oct, Hex и получить значение числа в соответствующих системах счисления: Пример, 8710 – 10101112, 1278, 5716.

3 По таблицам соответствия. Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Если перевод осуществляется в 8 систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). В целой части числа группировка производится справа налево, а в дробной части – слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываются нули: в целой части – слева, в дробной – справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Таблицы соответствия в с. с. приведены в Таблице 1. Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную систему число 1111010101, 112 = 0011 1101 0101, 11002 = 3 D 5, C 16

Сложение. В основе лежит таблица сложения двоичных чисел: 0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 10 При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равным или большим основанию, для двоичной с. с. это 2. Пример: сложение двоичных чисел 1012 + 1002 = 10012. Проверка. Переведем слагаемые в 10 с. с. и затем их сложим. Затем переведем двоичную сумму в десятичное число: 1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 510; 1002 = 1*22 + 0*21 + 0*20 = 410 510 + 410 = 910; 10012 = 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 910. Умножение. Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид: 0 * 0 = 0; 1 * 0 = 0; 0 * 1 = 0; 1 * 1 = 1 Пример: 1112 10, 12 = 10001, 12.

Вычитание. Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид: 0 – 0 = 0; 1 – 0 = 1; 1 – 1 = 0; 10 – 1 = 1 Пример: 1001, 12 – 101, 12 = 100, 02. Деление в двоичной системе осуществляется так же, как в десятичной, с использованием умножения и вычитания: _10101|111 |11 _ 111 0

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (табл. 1) и в таком виде записываются последовательно друг за другом: Пример: 87310 = 1000 0111 00112 -10.

Кодирование целых положительных чисел Для представления целых чисел в памяти компьютера используется дополнительный код. Диапазон значений величин зависит от количества бит памяти, отведенных для их хранения. Поддерживаются следующие типы данных: Integer величины входят в диапазон от – 32768 (– 215) до 32767 (215 – 1), для их хранения отводится 2 байта; типа Longint – в диапазоне от – 231 до 231 – 1 и размещаются в 4 байтах; типа Word – в диапазоне от 0 до 65535 (216 – 1), используется 2 байта. В памяти ЭВМ двоичные числа хранятся в регистрах, состоящих из 8 ячеек, т. е. минимальное двоичное число, которое можно разместить в памяти, должно быть восьмиразрядным. При этом в незаполненных ячейках регистра (в старших разрядах) записываются нули. Разряды нумеруются справа налево, начиная с 0.

Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом. Прямой код целого числа получается следующим образом: число переводится в 2 c. c. , а затем его двоичную запись слева дополняют таким количеством незначащих нулей, сколько требует тип данных, к которому принадлежит число. Пример 5. Число 3710 = 1001012 типа Integer (2 байта – 16 знаков) имеет прямой код 00000100101, а типа Longint (4 байта) на 16 нулей больше. Для более компактной записи используется шестнадцатеричный код, для числа 3710 это 002516 и 0000002516. Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно равно: 2 n – 1. Пример 6. Определить диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате целое неотрицательное число 1 байт. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми ячейках памяти, и равно нулю. Максимальное число соответствует восьми единицам, хранящимся в ячейках памяти и равно: = 1*28 – 1 = 25510. Следовательно, диапазон изменения целых неотрицательных чисел от 0 до 255.

В отличие от 10 c. c. в 2 c. c. отсутствуют специальные символы, обозначающие знак числа (+) или (–), поэтому для представления двоичных отрицательных чисел используется форма значения со знаком. Старший (левый) разряд метится как знаковый и содержит информацию о знаке числа: 1 – число отрицательное; 0 – число положительное. Остальные разряды отводятся под абсолютную величину числа. При представлении целых чисел в n-разрядном представлении со знаком максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно: А = 2 n– 1 – 1. Пример 7. Определить максимальное положительное число, которое может храниться в оперативной памяти в формате целое число со знаком 2 байта. А 10 = 216 -1 – 1 = 215 – 1 = 32 76710. При n-разрядном представлении отрицательного числа А дополнительным кодом старший разряд выделяется для хранения знака числа (единицы). В остальных разрядах записывается положительное число: 2 n– 1 – |A|. Чтобы число было положительным, должно выполняться условие: |A| = 2 n– 1. Следовательно, максимальное значение модуля числа А в n-разрядном представлении равно: |А| 2 n– 1. Тогда минимальное отрицательное число : А = – 2 n– 1.

Пример 8. Определить диапазон чисел, которые могут храниться в памяти в формате целых чисел со знаком (для хранения таких чисел отводится 4 байта – 32 бита). Максимальное положительное целое число равно: А = 231 – 1 = 2 147 483 64710. Минимальное отрицательное целое число равно: А = – 231 = – 2 147 483 64810. Перевод отрицательных чисел осуществляется с помощью обратного дополнительного кода, он позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие, по следующему алгоритму. Пример 9. Перевести число – 510 (1 байт): 1. Записать прямой код модуля числа |510| = 0000 01012. 2. Отбросить первый знаковый разряд. 3. Инвертировать все разряды числа (заменить единицы нулями, нули – единицами) 000 01012 111 10102. 4. Прибавить единицу к полученному коду: 111 10102 + 12 111 10112; 1. Восстановить единицу в знаковом разряде, ответ: – 510 = 1111 10112.

В ЭВМ применяются две формы представления вещественных чисел: 1. Естественная форма или форма с фиксированной запятой. 2. Нормальная форма или форма с плавающей запятой. С фиксированной запятой все числа кодируются в виде последовательности цифр с постоянным положением запятой, отделяющей целую запись числа от дробной (25, 6789). Эта форма наиболее проста и естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях. Диапазон значащих чисел Р в системе счисления с основанием N при наличии m разрядов в целой части числа и s разрядов в дробной части числа будет равен: N-s≤P≤Nm-N-s

Пример, при N = 2, m = 10, s = 6, получим 0, 0156≤ P≤ 1024, т. е. в двоичной с. с. можно записать только 1024 числа, с целой частью, не более 10 цифр и дробной частью, не более 6 знаков. Диапазон чисел, записываемых в определенной с. с. формой с фиксированной запятой ограничен. Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый предел, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие операции бессмысленны. В современных ЭВМ форма с фиксированной запятой используется как вспомогательная и только для целых чисел. Достоинством представления чисел в формате с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций (вычитание благодаря использованию дополнительного кода для представления отрицательных чисел сводится к сложению).

Пример. Выполнить арифметическое действие 3010 – 5010 в 8 -разрядном компьютерном представлении. Представим положительное число в дополнительном коде, а отрицательное число в обратном дополнительном коде: Десятичное число 30 – 50 Прямой код 1 1110 11 0010 Дополнительный код 0001 1110 0011 0010 Обратный код совпадает 1001101 + 1 11001110 Сложим дополнительный код положительного числа с обратным дополнительным кодом отрицательного числа. Получим результат в дополнительном коде: 30 – 50 11101100 Проведем проверку. Переведем полученный дополнительный код в десятичное число: 1) инвертируем дополнительный код: 0001 0011; 2) прибавим к полученному коду 1 и получим модуль отрицательного числа: 00010011+00000001= 00010100 3) переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: – 2010.

Форма с плавающей запятой Иной способ применяется для представления в памяти компьютера действительных чисел с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться. Любое действительное число можно привести в нормализованный справа вид М*10 р, где М – мантисса, р – порядок (целое), после запятой в мантиссе стоит не нуль. Пример. 1200010 = 0, 12*105, 0, 000410 = 0, 4*10– 3, числа в 2 с. с. 11, 012 = 0, 1101*22, 0, 0112 = 0, 11*2 -1. Место, отводимое для числа с плавающей запятой, делится на три поля. Одно поле содержит знак числа, второе содержит знак и значение порядка, а третье значение мантиссы. Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы. Нормализованное число двойной точности записывается в четыре слова памяти 64 разряда, под мантиссу отводится 55 разрядов.

Порядок числа с плавающей запятой изменяется в диапазоне от – 12810 до +12710 и запоминается увеличенным на 12810. Такой способ представления порядка называется смещенным. Пример. Для действительного типа Single одинарной точности, занимающего в памяти ЭВМ 4 байта 0, 110 = 0, 000(1100)2 = 0, (1100)2*2– 3; – 310 = (– 3+128)10 = 12510 = 011111012. В этом примере мантисса представлена бесконечной периодической дробью, поэтому последний учитываемый разряд мантиссы округляется. Поля имеют следующий вид: 31 бит числа – 31 0 знак от 30 до 23 бит – порядок со знаком 30 29 28 27 26 25 24 23 0 1 1 1 0 1 от 22 до 0 бит – мантисса 22 21 … 3 2 1 0 1 1 0 1

Пример. 49, 510=110001, 12=0, 11000112*26; 610=(6+128)10=13410=100001102. При сложении и вычитании чисел в формате с плавающей запятой сначала производится подготовительная операция выравнивания порядков. Порядок меньшего (по модулю) числа увеличивается до величины порядка большего (по модулю) числа. Для того чтобы величина числа не изменилась, мантисса уменьшается в такое же количество раз (сдвигается в ячейке памяти вправо на количество разрядов, равное разности порядков чисел). Теперь операции сложения и вычитания чисел сводятся к сложению или вычитанию мантисс. После выполнения арифметической операции для приведения полученного числа к стандартному формату с плавающей запятой производится нормализация, то есть мантисса сдвигается влево или вправо так, чтобы ее первая значащая цифра попала в первый разряд после запятой.

Пример. Произвести сложение чисел 0, 1 23 и 0, 1 25 в формате с плавающей запятой. Произведем выравнивание порядков и сложение мантисс: 0, 001 25+0, 100 25=0, 101 25 При умножении чисел в формате с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются. При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Пример. Произвести умножение чисел 0, 1 23 и 0, 1 25 в формате с плавающей запятой. После умножения будет получено число 0, 01 28, которое после нормализации примет вид 0, 1 27.

При вводе документов, текстов программ вводимые символы (буквы, цифры, знаки) кодируются определенными комбинациями из восьми нулей и единиц и, наоборот – при выводе их для чтения человеком (на монитор или принтер) по коду символа строится изображение символа. При двоичном кодировании текстовой информации каждому символу назначается код – последовательность из фиксированного количества нулей и единиц с взаимно однозначным соответствием. Оптимальное количество символов, которые используются при наборе различных текстов, равно примерно 200 (буквы латинские и русские, заглавные и строчные, знаки препинания, цифры, математические знаки, элементы псевдографики). Такое количество символов в двоичной системе может быть закодировано последовательностью из 8 бит (28 = 256), 1 байтом. Наиболее распространенной международной восьмиразрядной кодировкой является ASCII код – стандартный американский код для обмена информацией. Таблица ASCII-кодов состоит из трех частей. Первые две части общеприняты во всем мире.

От 0 до 32 коды зарезервированы для различных управляющих символов (возврат каретки, табуляция, отмена операции и т. п. ). 2. От 33 до 127 коды зарезервированы для букв латинского алфавита, строчные и прописные, знаки препинания, цифры, математические знаки. 3. От 128 до 255 коды представляют собой расширенные ASCII коды, для национальных алфавитов и специальных символов. В таблице знакам алфавита ставятся в соответствие шестнадцатеричные числа по правилу: первая – номер столбца, вторая – номер строки. Например, ф – код E 4. К сожалению, в настоящее время существуют пять различных кодировок кириллицы КОИ 8 -Р, Windows (CP 1251 – Code Page), MSDOS, Macintosh и ISO, что вызывает дополнительные трудности при работе с русскоязычными документами. Помимо восьмиразрядной системы кодирования символьной информации разработана система шестнадцатиразрядного кодирования символов UNICODE, она является универсальной. Позволяет закодировать 216 = 65536 различных символов, практически все алфавиты нашей планеты. Расчет объема текстовой информации сводится к вычислению произведения количества символов в тексте на число разрядов двоичного кода, необходимого для кодирования одного символа. 1.

Графические изображения, хранящиеся в аналоговой (непрерывной) форме на бумаге, фото- и кинопленке, могут быть преобразованы в цифровой компьютерный формат путем пространственной дискретизации. Это реализуется путем сканирования, результатом которого является растровое изображение. Растровое изображение состоит из отдельных точек (пикселей), каждая из которых может иметь свой цвет. Качество растрового изображения определяется его разрешением (количеством точек по вертикали и по горизонтали) и используемой палитрой цветов (16, 256, 65 536 цветов и более). Из формулы (3) можно определить, какое количество бит информации необходимо выделить для хранения цвета точки (глубину цвета) для каждой палитры цветов. Пример. Определить глубину цвета в графическом режиме, в котором палитра состоит из 65 536 цветов. I = log 2 65536 = 16 бит.

В современных компьютерах используются различные графические режимы экрана монитора, каждый из которых характеризуется разрешающей способностью и глубиной цвета. Для реализации каждого графического режима требуется определенный объем видеопамяти компьютера. Пример. Определить объем видеопамяти компьютера, который необходим для реализации графического режима монитора с разрешающей способностью 1024 768 точек и палитрой из 65 536 цветов. Глубина цвета составляет: I = log 265536 = 16 бит. Количество точек изображения равно: 1024 768 = 786 432. Требуемый объем видеопамяти равен: 16 бит 786 432 = 12 582 912 бит 1, 2 Мбайт. Важнейшими характеристиками монитора являются размеры его экрана, которые задаются величиной его диагонали в дюймах (15", 17", 21" и так далее) и размер точки экрана (0, 25 мм или 0, 28 мм), а разрешающая способность экрана монитора задается количеством точек по вертикали и горизонтали (640 480, 800 600 и так далее). Следовательно, для каждого монитора существует физически максимально возможная разрешающая способность экрана.

Пример. Определить максимально возможную разрешающую способность экрана для монитора с диагональю 15" и размером точки экрана 0, 28 мм. Выразим размер диагонали в сантиметрах 2, 54 см 15 = 38, 1 см. Определим соотношение между высотой и шириной экрана для режима 1024 768 точек: 768 / 1024 = 0, 75. Определим ширину экрана. Пусть ширина = L, тогда высота = 0, 75 L. По теореме Пифагора имеем: L 2 + (0, 75 L)2 = 38, 12, 1, 5625 L 2 = 1451, 61, L 2 929, L 30, 5 см. Количество точек по ширине экрана равно: 305 мм / 0, 28 мм = 1089. Максимально возможным разрешением экрана монитора является 1024 x 768.

Цветное растровое изображение формируется в соответствии с цветовой моделью RGB, в которой тремя базовыми цветами являются Red (красный), Green (зеленый) и Blue (синий). В режиме True Color (3 байта = 224 16, 5 млн. различных цветов и оттенков) интенсивность каждого цвета задается 8 -битным двоичным кодом, который часто для удобства выражают в шестнадцатеричной системе счисления. В этом случае используется следующий формат записи RRGGBB. Первый байт определяет интенсивность красной составляющей, второй – зеленой, третий – синей. Белый цвет кодируется полными тремя байтами 255, 255 или в двоичной системе 11111111, 1111. Черный цвет – отсутствием всех цветов 0, 0, 0. Красный цвет может быть темным – 120, 0, 0 или ярко красным 255, 0, 0. Пример. Запишите код красного цвета в двоичном, шестнадцатеричном и десятичном представлении. Красный цвет соответствует максимальному значению интенсивности красного и минимальным значениям интенсивностей зеленого и синего базовых цветов. Таким образом, числовой код красного цвета следующий: Коды/Цвета Двоичный Шестнадцатеричный Десятичный Красный 1111 FF 255 Зеленый 0000 00 0 Синий 0000 00 0

Качество графического изображения зависит от количества пикселей на единице площади, параметр называется разрешением и измеряется в точках на дюйм – dpi. Пример. Сканируется цветное изображение размером 10 10 см. Разрешающая способность сканера 600 dpi и глубина цвета 32 бита. Какой информационный объем будет иметь полученный графический файл. Разрешающая способность сканера 600 dpi означает, что на отрезке длиной 1 дюйм сканер способен различить 600 точек. Переведем разрешающую способность сканера из точек на дюйм (1 дюйм = 2, 54 см) в точки на сантиметр: 600 dpi / 2, 54 = 236 точек/см. Следовательно, размер изображения в точках составит 2360 точек. Общее количество точек изображения равно: 2360 = 5 569 600. Информационный объем файла равен: 32 бита 5 569 600 = 178 227 200 бит 21 Мбайт.

В аналоговой форме звук представляет собой волну с непрерывно меняющейся амплитудой и частотой. При преобразовании звука в цифровую форму производится временная дискретизация, при которой в определенные моменты времени амплитуда звуковой волны измеряется и квантуется, то есть ей присваивается определенное значение из некоторого фиксированного набора. Данный метод называется еще импульсно-кодовой модуляцией РСМ. Преобразование непрерывной звуковой волны в последовательность звуковых импульсов различной амплитуды производится с помощью аналого-цифрового преобразователя, размещенного на звуковой плате. 16 -битные звуковые карты обеспечивают возможность кодирования 65536 различных уровней громкости или 16 -битную глубину кодирования звука. Качество кодирования звука зависит и от частоты дискретизации – количества измерений уровня сигнала в единицу времени. Эта величина может принимать значения от 8 до 48 к. Гц.

Пример. Оцените информационный объем высококачественного стерео аудиофайла длительностью звучания 1 минута, если глубина кодирования 16 бит, а частота дискретизации 48 к. Гц. Информационный объем звукового файла длительностью в 1 секунду равен: 16 бит 48 000 2 = 1 536 000 бит = 187, 5 Кбайт. Информационный объем звукового файла длительностью 1 минута равен: 187, 5 Кбайт/с 60 с 11 Мбайт.