Определенный интеграл Пушникова Марина Юрьевна Определение интегральной

Определенный интеграл Пушникова Марина Юрьевна

Определение интегральной суммы Пусть функция 1. Разобьем отрезок а =x 0 x 1 x 2 c 1 c 2 xi xi+1 ci определена на отрезке на n частичных отрезков xn= b cn х 2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку сi и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f(ci) 3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка 4. Составим сумму Sn всех таких произведений Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке

Пример на составление интегральной суммы Рассмотрим функцию f(x)=x на отрезке [0; 1]. Разделим этот отрезок на n равных частей и составим следующую интегральную сумму:

Определение определенного интеграла Определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральных сумм при n , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них; и обозначается:

Пример на вычисление определенного интеграла по определению

Теорема Коши о существовании определенного интеграла Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то определенный интеграл существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них

Геометрический смысл определенного интеграла у y=f(x) x 1 a=x 0 Xn-1 x 2 xi xi+1 х b=xn Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади подграфика или криволинейной трапеции, т. е. трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и графиком y=f(x)

Пример на вычисление определенного интеграла с помощью геометрического смысла у -2 0 2 х

Формула Ньютона - Лейбница Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) – какая либо ее первообразная на [a; b], то определенный интеграл равен разности значений первообразной верхнего предела и значения первообразной нижнего предела:

Свойства определенного интеграла 1. 2. 3. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: Определенный интеграл по элементу длины равен разности значений верхнего и нижнего пределов интегрирования: Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Свойства определенного интеграла 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 5. Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от этих функций: 6. Если пределы интегрирования поменять местами, то значение определенного интеграла изменится на противоположное:

Свойства определенного интеграла 7. Интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка: 8. На отрезке [a; b] существует такая точка с, интеграл по всему отрезку равен произведению значения функции в этой точке на длину отрезка интегрирования: 9. Неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать:

Методы вычисления определенного интеграла По определению n С помощью геометрического сысла n По формуле Ньютона – Лейбница n Интегрирование подстановкой (замена переменной) n Интегрирование по частям n

Вычисление с помощью формулы Ньютона - Лейбница

Интегрирование подстановкой Если: 1. Функция x=g(t) и ее производная x. I=g. I(t) непрерывны при 2. Множеством значений функции x=g(t) при является отрезок [a; b]; 3. g( )=b g( )=a, то

Интегрирование подстановкой

Интегрирование по частям Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то

Интегрирование по частям

Применение интегралов в физике n Работа силы n Длина пройденного пути n Масса стержня переменной плотности n Координаты центра тяжести фигуры