Определенный интеграл Основные понятия n n Пусть

Определенный интеграл

Основные понятия: n n Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). y M n m Разобьем отрезок [a, b] на 0 части (неxi обязательно одинаковые) n a b x n точками. x 0 < x 1 < x 2 < … < xn

Определения: Выражения вида: n n = m 1 x 1 + m 2 x 2 + … +mn xn = = M 1 x 1 + M 2 x 2 + … + Mn xn = Называются нижней интегральной суммой и верхней интегральной суммой Где Mi и mi наименьшее и наибольшее значение функции на i промежутке.

Определение: Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку . x 0 < 1 < x 1, x 1 < 2 < x 2, … , xn-1 < n < xn Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Sn = f( 1) x 1 + f( 2) x 2 + … + f( n) xn =

Определение: n Обозначим max xi – наибольший отрезок разбиения, а min xi – наименьший. Если max xi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. Рассмотрим предел Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что max xi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма стремится к пределу S, то этот предел называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение : а – нижний предел, b –

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Верны утверждения: Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла. n 1) n 2) n 3) n 4) Если f(x) на отрезке [a, b] a < b, то n 5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

Свойства определенного интеграла. n 6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что (обобщенная: Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то n ) 7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: n 8)

Вычисление определенного интеграла. n n Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

n Вычисление определенного интеграла. Замена переменных: Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования. Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t). ( ) = а, ( ) = b Тогда

Интегрирование по частям.