Определенный интеграл Определение Криволинейной трапецией называется фигура ограниченная

Определенный интеграл. Определение. Криволинейной трапецией называется фигура ограниченная сверху графиком функции , на плоскости, , снизу отрезком с боков вертикальными прямыми . y o x

¢ Частные случаи криволинейной трапеции. у у 0 0 х у 0 х х

¢ Задача о площади криволинейной трапеции. y o x

¢ Определение. ¢ Выражение ¢ называется интегральной суммой Римана. ¢ ¢ ¢ Рассматриваем всевозможные разбиения криволинейной трапеции на части такие, что Составляем интегральные суммы и переходим к пределу при Георг Фридрих Бернхард Риман Georg-Friedrich. Bernhard Riemann Немецкий математик (1826 -1866).

Определение. Определенным интегралом от функции называется предел интегральных сумм когда наибольший из участков разбиения стремится к нулю: Геометрический смысл. по отрезку

Когда существует предел? Когда предел не зависит от способа разбиений? Теорема. . Если непрерывна на , о она интегрируема l (то есть существует предел интегральных сумм l и он не зависит от способа разбиений )

Свойства. ¢ 1. Линейность. .

Доказательство свойства (для суммы). Возьмем разбиение на n частей: и выберем в каждой части точку: 2. Составим интегральную сумму: 3. 4. Рассматриваем всевозможные разбиения на части такие, что все уменьшаются , составляем интегральные суммы и переходим к пределу при

Определенный интеграл. ¢ 2. Перестановка пределов интегрирования. ¢ ¢ 3. Аддитивность. Пусть ¢ тогда

¢ 4. О знаке интеграла.

¢ Теорема (об оценке). Геометрический смысл. Если , M , то m 0

¢ Доказательство. ¢ 1. ¢ 2. Аналогично:

¢ Определение. Средним значением функции ¢ называется число ¢ Теорема (о среднем). ¢ на

Определенный интеграл. ¢ Геометрический смысл. у х 0 Если , , то

Определенный интеграл. ¢ Объем тела с известной площадью поперечных сечений. ¢ Доказать самостоятельно.

¢ Следствие: объем тела вращения.