Определенный интеграл Лекция 13. 12. 2016 Элементы

Скачать презентацию Определенный интеграл Лекция 13. 12. 2016  Элементы Скачать презентацию Определенный интеграл Лекция 13. 12. 2016 Элементы

prenzentaciyaoprintegral!.pptx

  • Размер: 243.9 Кб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 21

Описание презентации Определенный интеграл Лекция 13. 12. 2016 Элементы по слайдам

Определенный интеграл Лекция 13. 12. 2016 Определенный интеграл Лекция 13. 12.

Элементы интегрального исчисления 1. Определение определенного интеграла 2. Основные свойства определенного интеграла 3. ФормулаЭлементы интегрального исчисления 1. Определение определенного интеграла 2. Основные свойства определенного интеграла 3. Формула Ньютона-Лейбница 4. Методы интегрирования 5. Геометрические приложения определенного интеграла 6. Несобственные интегралы.

Определенный интеграл, его свойства и вычисление Определенный интеграл, его свойства и вычисление

Понятие определенного интеграла Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную и ограниченную на отрезке [a, b]. РазобьемПонятие определенного интеграла Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную и ограниченную на отрезке [a, b]. Разобьем [a, b] на n элементарных отрезков ∆x i произвольной длины, возьмем на каждом отрезке ∆x i произвольную точку c i и вычислим значение функции f(c i ) в этих точках.

Геометрическое изображение определения Геометрическое изображение определения

Определение интегральной суммы Интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a, b] называется суммаОпределение интегральной суммы Интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a, b] называется сумма произведений длин элементарных отрезков ∆x i на значения функции f(c i ) в произвольных точках этих отрезков n i iin xсf. S 1 )(

Определение определенного интеграла Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется пределОпределение определенного интеграла Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел (если он существует) интегральной суммы для функции f(x) на отрезке [a, b], не зависящий от способа разбиения отрезка [a, b] и выбора точек c i , найденный при условии, что длины элементарных отрезков (включая и максимальный ∆x max ) стремятся к нулю. n b ax Sdxxf i lim 0}max{ )( n i ii x xсf i 10}max{ )(lim

Геометрический смысл определенного интеграла Геометрический смысл определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла 1 0 Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменнойОсновные свойства определенного интеграла 1 0 Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования (инвариантность): 2 0 При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный (перестановочность) : b a dttfdxxf)()( b a a b dxxf)()( a a dxxf 0)(

Основные свойства определенного интеграла 3 0 Если промежуток интегрирования [a, b] разбит на конечноеОсновные свойства определенного интеграла 3 0 Если промежуток интегрирования [a, b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку [a, b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам ( аддитивность ) : bccaba, , , b a c a b c dxxfdxxf)()()(

Основные свойства определенного интеграла 4 0  Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числаОсновные свойства определенного интеграла 4 0 Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций ( линейность ): n i b a ii b a n i iidxxfk

Основные свойства определенного интеграла 5 0. Если подынтегральная функция f(x) на отрезке интегрирования сохраняетОсновные свойства определенного интеграла 5 0. Если подынтегральная функция f(x) на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то определенный интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, при условии b>a ( монотонность ): если sgn(f(x))=const, то и sgn = sgn(f(x)). 6 0. Модуль интеграла функции не превосходит интеграл от модуля функции ( неравенство по модулю ) b a dxxf)( dxxf b a )()(

Основные свойства определенного интеграла 7 0. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значенияОсновные свойства определенного интеграла 7 0. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке x=c отрезка интегрирования [a, b] на длину отрезка b-a ( теорема о среднем значении функции ): Значение f(c) называется средним значением функции на отрезке [a, b]))(()(abcfdxxf b a dxxf ab cf)( 1 )(

Теорема о среднем значении функции Теорема о среднем значении функции

Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнегоФормула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Методы интегрирования Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование Этот способ основан на использовании свойств определенного интеграла, приведении подынтегрального выражения кНепосредственное интегрирование Этот способ основан на использовании свойств определенного интеграла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тождественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница. Вычислить определенный интеграл: . 2 0 1 dxx 2 0 1 0 2 1 0 1 2 120 121)11( 2 1 2 )1( )1()1(1 xx dxxdxxdxx

Замена переменной Вычислить.  2 04 x dx Замена переменной Вычислить. 2 04 x dx

Интегрирование по частям Вычислить.  b a b a vduuvudv)( 2 1 lnxdx 2Интегрирование по частям Вычислить. b a b a vduuvudv)( 2 1 lnxdx 2 1 ln x dx xxx 2 11 ln 2 x 12 ln 2)12(2 ln

Вспомогательная таблица для интегрирования по частям Вспомогательная таблица для интегрирования по частям

Основные приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигурыdx b c xfxfdx c a xfxfdx bОсновные приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигурыdx b c xfxfdx c a xfxfdx b a x ниж fx верх f. S )( 2 )( 1 )( 2 )()(