Определенный интеграл 2 Понятие интегральной суммы Пусть функция

Определенный интеграл

2 Понятие интегральной суммы Пусть функция f(x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на n произвольных частей точками a = x0 < x1 < x2 < … < xi < xi+1 < … < xn = b. xi = xi – xi–1 Точки xi – называются точками разбиения. Выберем на каждом из частичных отрезков [xi–1, xi] произвольную точку i xi–1  i  xi , 0  i  n. Составим интегральную сумму

3 xi-1

4 Геометрический смысл интегральной суммы i = f(i) xi – площадь под прямой y = f(xi) на отрезке [xi–1, xi].  Вся интегральная сумма  = 1 + 2 + … n – площадь под ломаной, образованной на каждом из отрезков [xi–1, xi] прямой y = f(i), || оси Ох.

5 Понятие определенного интеграла Определение. Пусть предел интегральной суммы при max хi  0 существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1, х2, … и точек 1, 2, … Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на [a, b], обозначается Обозначим max xi максимальную из длин отрезков [xi–1, xi]. Сама функция y = f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], т.е.

6 Число a называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением. Задача о нахождении называется интегрированием функции f(x) на отрезке [a, b]. Не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования:

7 Геометрический смысл определенного интеграла Пусть y = f(x)  0 на [a, b] (a < b).

8 Экономический смысл интеграла Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t.

9 Суммы Дарбу Пусть f(x) ограничена на отрезке [a, b] и некоторое разбиение этого отрезка точками a=x0 < x1 < …< xn=b. Пусть mi и Mi - соответственно точная нижняя и верхняя грани f(x) на частичном отрезке [xi-1, xi]. Тогда суммы

10 Очевидно s    S.

11 Необходимое и достаточное условие интегрируемости (Доказательство самостоятельно).

12 Классы интегрируемых функций (Доказательство самостоятельно).

13 Основные свойства определенного интеграла 1. По определению полагаем и Доказательство. Равенство верно, т.к. при движении от b к a все длины частичных отрезков xi < 0 в интегральной сумме. Ч.т.д.

14 2. Для любых чисел a, b и c имеет место равенство Доказательство. Положим a < c < b. Пусть с – одна из точек разбиения с = xm. Тогда интегральную сумму  можно разбить на две суммы Переходя к пределу при max xi  0, получим равенство. Случай a < b < c доказывается аналогично.

15 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла 4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов

16 Свойства 3 и 4 доказываются едино-образно исходя из интегральных сумм. Доказательство. По определению

17 Формулы оценки определенных интегралов Доказательство: Для любого разбиения отрезка [a, b] и при любом выборе точек i интегральная сумма при b>a. Переходя к пределу при maxxi0 получим свойство 1. Ч.т.д.

18 Доказательство. Это свойство следует из оценки 1) и свойства определенного интеграла 4) применительно к функции g(x) – f(x)  0.

19 Доказательство. 1. Покажем интегрируемость |f(x)|.

20 Предел правой части существует, следовательно сущеcтвует предел и левой части. 2.

21 Доказательство. По условию m  f(x)  M для x[a, b]. Применяя оценку 2) и свойство 5) к неравенствам получим оценку интеграла.

22 Формулы среднего значения

23 Доказательство. Для функции f(x) выполняется оценка 4). Поделив обе части неравенства на b – a, имеем Обозначая  утверждение теоремы.

24 В силу 2-й теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении  такая точка с[a,b], что f(с) = , Это равенство называется формулой среднего значения, а величина f(с) – средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].

25 Геометрический смысл формулы среднего значения

26 На основании оценки 1) и 2), а также свойства 3) можно доказать обобщенную теорему о среднем:

27 Определенный интеграл с переменным верхним пределом которую назовем интегралом с переменным верхним пределом. Если f(x) интегрируема на [a, b], то она интегрируема и на [a, x] , где x  [a, b]. Рассмотрим функцию Теорема. Непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция

28 Доказательство. Возьмем x[a, b] и значение x+x [a, b], x0. Тогда Используем теорему о среднем

29 где с[x, x+x]. При x0 точка сх  f(с) f(x). или F`(x) = f(x). Ч.т.д.

30 Формула Ньютона-Лейбница Доказательство. Учтем

31 (С – сonst). Подставляя х = а и учитывая свойство 1): Тогда при х=b получим Ч.т.д.

32 Равенство называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) условно записывают символом , т.е.

33 Примеры.

34 Определенный интеграл

35 Теорема. Пусть Тогда справедлива формула

36 Доказательство. Пусть F(x) - первообразная f(x) на [a, b]. Рассмотрим сложную функцию Ф(t) = F[(t)]. По правилу дифференцирования сложной функции Ф`(t) = F `[ (t)] `(t) = f [(t)] `(t). По формуле Ньютона-Лейбница Ч.т.д.

37 Эта формула называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле. Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной не обязательно возвращаться к прежней переменной. При подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.

38 Примеры. Применим подстановку x=a sint  dx=a cost dt. Заменим пределы интегрирования Найдем новые пределы:

39 Интегрирование по частям в определенном интеграле

40 Доказательство. Учтем справедливость доказываемой формулы.

41 Примеры.