ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 Задачи приводящие к понятию определенного

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 2. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы. 3. Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. 4. Геометрический, физический и химический смысл определенного интеграла.

Вопрос 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Геометрическая задача (задача о площади криволинейной трапеции) Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная и неотрицательная функция y = f(x). О. 1. 1. Фигура на плоскости Оху, ограниченная графиком функции y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью Ох, называется криволинейной трапецией.

Найдем площадь S данной криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок [a; b] точками a = x 0 < x 1 < … < xn‒ 1 < xn = b на n частичных отрезков [xi‒ 1; xi] с длинами Δxi = xi ‒ xi‒ 1, где i = 1, 2, …, n. В каждом частичном отрезке [xi‒ 1; xi] выберем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е f(ci). Тогда произведение f(ci)Δxi представляет собой площадь прямоугольника с основанием Δxi и высотой f(ci) (i = 1, 2, …, n).

y y=f(x) f(ci) c 1 0 x 0=a ci c 2 x 1 x 2 xi-1 cn xi xn-1 b=xn x

Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции при условии, что частичные отрезки разбиения достаточно малы, т. е. (1) Сумма (1) будет тем точнее выражать искомую площадь, чем меньше длина Δxi.

Пусть - длина наибольшего частичного отрезка разбиения. Тогда точное значение площади S криволинейной трапеции равно пределу суммы (1) при 0, т. е.

Физическая задача (задача о пройденном пути) Пусть ʋ = ʋ (t) - скорость движения материальной точки в зависимости от времени t. Необходимо найти путь S, пройденный точкой за промежуток времени [ ; ]. Разобьем отрезок [ ; ]моментами времени (точками) = t 0 < t 1 < … < tn‒ 1 < tn = на n частичных отрезков времени [ti‒ 1; ti] с длинами Δti = ti ‒ ti‒ 1, где i = 1, 2, …, n. В каждом частичном отрезке [ti‒ 1; ti] выберем произвольную точку i и найдем ʋ( i).

Будем считать, что на отрезке Δti скорость точки постоянна, т. е. ʋ ʋ( i). Тогда на участке Δti приближенно можно считать, что точка движется прямолинейно и равномерно. Следовательно, за время Δti точка пройдет путь Si ʋ( i) Δti, а за весь промежуток времени точка пройдет путь (2) Сумма (2) будет тем точнее выражать искомый путь, чем меньше длина Δti.

Пусть Тогда точное значение пути S равно пределу суммы (2) при 0, т. е.

Химическая задача (задача о количестве вещества, вступившего в реакцию) Пусть ʋ = ʋ (t) – скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, в зависимости от времени t. Необходимо найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени [ ; ]. Выполняя последовательно те же действия, что и при решении предыдущей задачи, приходим к аналогичному результату:

Вопрос 2. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], где a < b. Выполним следующие действия. 1. Разобьем отрезок [a; b] точками a = x 0 < x 1 < … < xn‒ 1 < < xn = b на n частичных отрезков [xi‒ 1; xi] с длинами Δxi = xi ‒ xi‒ 1, где i = 1, 2, …, n. 2. В каждом частичном отрезке [xi‒ 1; xi] выберем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней f(ci).

3. Найдем произведения f(ci)Δxi, i = 1, 2, …, n. 4. Составим сумму Sn всех таких произведений: (3) Сумма вида (3) называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [a; b], соответствующей данному разбиению отрезка [a; b] на частичные отрезки [xi‒ 1; xi] и данному выбору промежуточных точек ci в них.

Пусть - длина наибольшего частичного отрезка разбиения. 5. Найдем предел интегральной суммы (3) при 0 (т. е. при n ). О. 2. 1. Если существует конечный предел I интегральной суммы (3) при 0, который не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки [xi‒ 1; xi] и от выбора в них точек ci, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a; b] и обозначается

По определению (4) Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функция f(x) - подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования, отрезок [a; b] - областью (отрезком) интегрирования.

О. 2. 2. Функция y = f(x), для которой на отрезке [a; b] существует определенный интеграл (4), называется интегрируемой на этом отрезке. Замечание Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, неопределенный интегралы – существенно различные понятия: f(x)dx - совокупность функций, - определенное число.

Вопрос 3. Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла Т. 3. 1. (необходимое условие существования определенного интеграла) Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке. Замечание Обратная теорема неверна, т. е. из ограниченности функции y = f(x) еще не следует ее интегрируемость.

Пример 1. Рассмотрим функцию Дирихле, которая имеет широкое применение в технических приложениях: Для функции Дирихле: Если ci - рациональное число, то Если ci - иррациональное число, то

Очевидно, что для функции Дирихле предел интегральной суммы (3) не существует, следовательно, не существует и определенный интеграл от данной функции. При этом функция Дирихле ограничена.

Классы интегрируемых функций T. 3. 2. (достаточное условие существования определенного интеграла) Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на нем. Т. 3. 3. Если функция y = f(x) ограничена на отрезке [a; b] и имеет на нем конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке. Т. 3. 4. Всякая функция y = f(x), ограниченная и монотонная на отрезке [a; b], интегрируема на нем.

Вопрос 4. Геометрический, физический и химический смысл определенного интеграла Геометрический смысл определенного интеграла (вытекает из задачи о площади криволинейной трапеции) Если функция y = f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b], то интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, с боков – прямыми x = a и x = b:

Физический смысл определенного интеграла (вытекает из задачи о пройденном пути) Пусть функция ʋ = ʋ(t) представляет собой зависимость скорости движения ʋ материальной точки от времени t, причем ʋ(t) непрерывна на промежутке [ ; ]. Тогда интеграл представляет собой путь S, пройденный точкой за промежуток времени от до :

Химический смысл определенного интеграла (вытекает из задачи о количестве вещества, вступившего в реакцию) Пусть функция ʋ = ʋ(t) представляет собой зависимость скорости ʋ химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, от времени t, причем ʋ(t) непрерывна на промежутке [ ; ]. Тогда интеграл представляет собой количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от до :