Определения математики «…чистая математика имеет своим объектом пространственные

Определения математики «…чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира». Ф. Энгельс «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм – математических структур, и оказывается, что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм». Н. Бурбаки

Периоды развития математики 1. Период зарождения математики до VI-Vвв. до н. э. 2. Период развития математики от VI-V вв. до н. э. по XVI в. н. э. 3. Период создания математики переменных величин от XVII в. по сер. IХ в. 4. Современный период развития математики от. сер. IХ в. по наши дни

Свойства системы аксиом: полнота независимость непротиворечивость Геометрические системы Эвклида Лобачевского Римана

Характеристика современного периода развития математики Возникают неевклидовые геометрические системы. Новые математические теории возникают из внутренних. потребностей самой математики Значительно расширяется область приложения математики.

Теория множеств Множество – первичное понятие математики. «Множество - объединение в одно целое объёктов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью…. Множество есть многое, мыслимое нами как единое.» Георг Кантор (1845-1918)

Основные понятия теории множеств А={a1;a2;…;an…}, где a1;a2;…;an…- элементы множества Способы задания: перечисление элементов и описание свойств. Пустое множество не имеет ни одного элемента. Равные множества состоят из одних и тех же элементов или оба пустые. Множество А называется подмножеством В, если все элементы множества А принадлежат множеству В. Булеан множества – множество всех его подмножеств. Мощность множества – количество его элементов.

Операции над множествами Объединение Пересечение Разность Симметрическая разность Дополнение до U U A B A B A A B B A

Отношения на множествах Отношение – любая зависимость между элементами одного или нескольких множеств Виды отношений на множествах Унарные (1-местные) Бинарные (2-местные) Тернарные (3 –местные)

Свойства бинарных отношений на множестве А Рефлексивность Антирефлексивность Симметричность Антисимметричность Транзитивность

Типы бинарных отношений: эквивалентность (рефлексивность, симметричность, транзитивность) отношение порядка… строгого (антирефлексивность, антисимметричность, транзитивность) нестрогого (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность) толерантность (рефлексивность, симметричность )

Способы задания бинарных отношений перечислением пар с помощью матрицы графом

Элементы комбинаторики

Правила комбинаторики Пусть элемент можно выбрать способами; - способами;… - способами. Тогда: 1) можно выбрать способами 2) можно выбрать способами

Основные понятия комбинаторики Размещение из - - упорядоченное подмножество из m элементов множества, которое содержит n элементов. Число размещений из

Основные понятия комбинаторики Перестановка из n элементов – это размещение из n элементов по n Число перестановок из n элементов

Основные понятия комбинаторики Сочетание из - неупорядоченное подмножество из m элементов, множества, которое содержит n элементов. Число сочетаний из

Число перестановок, размещений, сочетаний с повторениями Число перестановок с повторениями (где - количество одинаковых элементов в i – той группе) Число размещений с повторениями Число сочетаний с повторениями