Скачать презентацию Определение коэффициентов линейной регрессионной модели при планировании эксперимента Скачать презентацию Определение коэффициентов линейной регрессионной модели при планировании эксперимента

Теория эксперимента 2 2014.pptx

  • Количество слайдов: 111

Определение коэффициентов линейной регрессионной модели при планировании эксперимента Рассмотрим вопрос об определении коэффициентов линейной Определение коэффициентов линейной регрессионной модели при планировании эксперимента Рассмотрим вопрос об определении коэффициентов линейной модели, считая, что задачей эксперимента является проверка гипотезы об адекватности модели

• После проведения опытов неизвестными величинами в этом выражении будут только коэффициенты b • После проведения опытов неизвестными величинами в этом выражении будут только коэффициенты b 0, b 1, b 2. Для N опытов можно составить систему линейных условных уравнений. После ее решения методом наименьших квадратов определяются оценки коэффициентов:

• Так, при N=4 получим: Таким образом, благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превратился • Так, при N=4 получим: Таким образом, благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превратился в простую процедуру.

Линейная модель не всегда в полной мере описывает объект исследования. Часто нелинейность связана с Линейная модель не всегда в полной мере описывает объект исследования. Часто нелинейность связана с взаимным влиянием факторов, и задачей полного факторного эксперимента является установление степени такого взаимодействия.

• •

• •

Чем больше факторов, тем больше число возможных взаимодействий. Так, в матрице планирования 23 появляются Чем больше факторов, тем больше число возможных взаимодействий. Так, в матрице планирования 23 появляются новые вектор-столбцы х1 х2 , х1 х3, х2 х3 , характеризующие эффект взаимодействия первого порядка, и столбец х1 х2 x 3 , - эффект взаимодействия второго порядка.

В общем случае эффект взаимодействия максимального порядка имеет порядок на единицу меньше числа факторов. В общем случае эффект взаимодействия максимального порядка имеет порядок на единицу меньше числа факторов. Применяются также такие понятия, как парные эффекты взаимодействия (х1 х2, х1 х3 , х2 х3), тройные (х1 х2 х3 , х3 х4 х5) и т. д.

Суммарное количество коэффициентов (в том числе Ь 0 , линейные эффекты и эффекты взаимодействия) Суммарное количество коэффициентов (в том числе Ь 0 , линейные эффекты и эффекты взаимодействия) равно числу опытов, проводимых согласно матрице эксперимента. Значения различных коэффициентов независимы друг от друга.

• •

Если модель включает не только линейные эффекты и эффекты взаимодействия, но и квадраты, кубы Если модель включает не только линейные эффекты и эффекты взаимодействия, но и квадраты, кубы и т. д. факторов, то подход к оценке коэффициентов несколько иной.

• •

• •

Полученную для такого случая оценку Ь 0 называют смешанной, так как она определяется совместными Полученную для такого случая оценку Ь 0 называют смешанной, так как она определяется совместными вкладами свободного и квадратичных членов.

Проведение обработки результатов эксперимента Проведение эксперимента, связанного с измерением величин, сопровождается погрешностями измерений, вносящими Проведение обработки результатов эксперимента Проведение эксперимента, связанного с измерением величин, сопровождается погрешностями измерений, вносящими элемент неопределенности в результат эксперимента.

Постановка повторных или параллельных опытов полностью не исключает неопределенность, так как они проводятся также Постановка повторных или параллельных опытов полностью не исключает неопределенность, так как они проводятся также с погрешностью воспроизводимости.

Проверка воспроизводимости эксперимента Если проводятся параллельно несколько опытов в одинаковых условиях, то погрешность воспроизводимости Проверка воспроизводимости эксперимента Если проводятся параллельно несколько опытов в одинаковых условиях, то погрешность воспроизводимости можно оценить по отклонениям результатов опыта от среднего арифметического, характеризуемого оценкой дисперсии.

• •

Для получения оценки дисперсии эксперимента нужно усреднить оценки дисперсии всех опытов, предусмотренных матрицей планирования. Для получения оценки дисперсии эксперимента нужно усреднить оценки дисперсии всех опытов, предусмотренных матрицей планирования. Оценку дисперсии воспроизводимости эксперимента подсчитывают по формуле:

Если из-за отбрасывания промахов число m повторных опытов во всех точках неодинаково, оценка дисперсии Если из-за отбрасывания промахов число m повторных опытов во всех точках неодинаково, оценка дисперсии эксперимента определяется по формуле: где S— оценка дисперсии i-го опыта; f - число степеней свободы в i-м опыте, равное числу параллельных опытов ni минус один.

Число степеней свободы средней дисперсии принимается равным сумме чисел степеней свободы fi. Число степеней свободы средней дисперсии принимается равным сумме чисел степеней свободы fi.

Формулы расчета дисперсии эксперимента справедливы только тогда, когда дисперсии однородны, т. е. если среди Формулы расчета дисперсии эксперимента справедливы только тогда, когда дисперсии однородны, т. е. если среди суммируемых дисперсий не было бы таких, которые превышали бы все остальные.

Оценка воспроизводимости эксперимента основывается на проверке гипотезы об однородности 2 выборочных дисперсий S отклика. Оценка воспроизводимости эксперимента основывается на проверке гипотезы об однородности 2 выборочных дисперсий S отклика.

Осуществляется с помощью попарных сравнений по критерию Фишера (F-критерий) или с помощью критерия Кохрена Осуществляется с помощью попарных сравнений по критерию Фишера (F-критерий) или с помощью критерия Кохрена с т-1 и n степенями свободы.

• •

В противном случае следует попытаться увеличить число параллельных опытов или отбросить резко выделяющиеся значения В противном случае следует попытаться увеличить число параллельных опытов или отбросить резко выделяющиеся значения отклика.

• с n (т-1) степенями свободы. • с n (т-1) степенями свободы.

Обработка результатов эксперимента сводится к последовательному выполнению трех операций: • вычислению коэффициентов модели (коэффициентов Обработка результатов эксперимента сводится к последовательному выполнению трех операций: • вычислению коэффициентов модели (коэффициентов регрессии);

• проверке значимости отдельных коэффициентов регрессии; • проверке адекватности модели. Вычисление коэффициентов модели • проверке значимости отдельных коэффициентов регрессии; • проверке адекватности модели. Вычисление коэффициентов модели производится с привлечением метода наименьших квадратов.

ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ • ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНОК КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ •

Для линейной модели с n факторами при ПФЭ коэффициенты независимы и вычисляются по формуле Для линейной модели с n факторами при ПФЭ коэффициенты независимы и вычисляются по формуле

Т. е. столбец соответствующего фактора умножается на столбец уί, и сумма почленных произведений делится Т. е. столбец соответствующего фактора умножается на столбец уί, и сумма почленных произведений делится на число опытов в матрице планирования (без учета параллельности).

Аналогично вычисляются коэффициенты для взаимодействий факторов: Аналогично вычисляются коэффициенты для взаимодействий факторов:

ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Проверка значимости каждого коэффициента основана на вычислении t- критерия ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Проверка значимости каждого коэффициента основана на вычислении t- критерия Стьюдента. При использовании ПФЭ величины доверительного интервала для каждого из коэффициентов минимальны и равны.

Сначала определяются дисперсии коэффициента регрессии Sbi по формуле: Сначала определяются дисперсии коэффициента регрессии Sbi по формуле:

Затем вычисляют и сравнивается с табличными при заданном уровне значимости и соответствующем числе степеней Затем вычисляют и сравнивается с табличными при заданном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы.

Проверке подлежат все коэффициенты. На основании результатов проверки проводится корректировка модели путем исключения незначимых Проверке подлежат все коэффициенты. На основании результатов проверки проводится корректировка модели путем исключения незначимых факторов или эффектов взаимодействия.

Для ортогонального планирования все незначимые оценки могут быть приравнены нулю и соответствующие им члены Для ортогонального планирования все незначимые оценки могут быть приравнены нулю и соответствующие им члены уравнения регрессии отбрасываются без пересчета всех остальных оценок коэффициентов.

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Ортогональное планирование эксперимента ( по сравнению с неортогональным) уменьшает число опытов и ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Ортогональное планирование эксперимента ( по сравнению с неортогональным) уменьшает число опытов и существенно упрощает расчеты при получении уравнения регрессии.

Однако такое планирование осуществимо только при возможности проведения активного эксперимента. Однако такое планирование осуществимо только при возможности проведения активного эксперимента.

В методе ортогонального планирования система уравнений распадается на ряд независимых линейных уравнений, из которых В методе ортогонального планирования система уравнений распадается на ряд независимых линейных уравнений, из которых находятся коэффициенты регрессии, что значительно упрощает вычисления.

При традиционном классическом подходе к исследованию опыты ставят в некоторой последовательности так, чтобы при При традиционном классическом подходе к исследованию опыты ставят в некоторой последовательности так, чтобы при переходе от одного опыта к другому изменялся только один фактор, а все остальные оставались на каком-то постоянном уровне.

При оценке каждого из коэффициентов регрессии участвует только небольшая часть опытов. При оценке каждого из коэффициентов регрессии участвует только небольшая часть опытов.

Основным достоинством ортогонального планирования является то, что в этом случае одновременно варьируются все переменные. Основным достоинством ортогонального планирования является то, что в этом случае одновременно варьируются все переменные.

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Проверка адекватности модели состоит в установлении возможности с помощью выбранной ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Проверка адекватности модели состоит в установлении возможности с помощью выбранной регрессионной модели объекта предсказывать с требуемой точностью значения выходной величины в некоторой области значений входной.

Для этого прежде всего вычисляется оценка дисперсии адекватности Для этого прежде всего вычисляется оценка дисперсии адекватности

• где уi - реальное значение выходной величины, полученное в результате i -го • где уi - реальное значение выходной величины, полученное в результате i -го опыта, • yim - значение выходной величины, предсказанное в i-м опыте по полученной модели; • f - число степеней свободы, равное числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов модели, минус число определяемых коэффициентов.

Гипотеза об адекватности модели проверяется с помощью F-критерия: где S 2 eoc - оценка Гипотеза об адекватности модели проверяется с помощью F-критерия: где S 2 eoc - оценка дисперсии воспроизводимости со своим числом степеней свободы.

Модель считается адекватной, если рассчитанное значение F не превышает табличного. При несоблюдении этого условия Модель считается адекватной, если рассчитанное значение F не превышает табличного. При несоблюдении этого условия проводится корректировка модели, вновь определяются коэффициенты и проверяется ее адекватность.

Если коэффициенты регрессии значимы и линейная модель адекватна, то модель объекта можно считать построенной. Если коэффициенты регрессии значимы и линейная модель адекватна, то модель объекта можно считать построенной. При условии близости отклика к оптимальному значению fmin исследования можно закончить.

Если все коэффициенты регрессии незначимы (кроме Ьо ), а линейная модель адекватна, то необходимо Если все коэффициенты регрессии незначимы (кроме Ьо ), а линейная модель адекватна, то необходимо расширить интервал варьирования или увеличить точность эксперимента (снизить S 2 вoc ) за счет большего числа параллельных опытов.

Увеличение интервалов варьирования приводит к увеличению абсолютных величин коэффициентов регрессии. Увеличение интервалов варьирования приводит к увеличению абсолютных величин коэффициентов регрессии.

Если линейная модель неадекватна, то это означает, что поверхность отклика не удается аппроксимировать плоскостью. Если линейная модель неадекватна, то это означает, что поверхность отклика не удается аппроксимировать плоскостью.

В этом случае необходимо уменьшить интервалы варьирования, перенести нулевую точку варьирования или использовать более В этом случае необходимо уменьшить интервалы варьирования, перенести нулевую точку варьирования или использовать более сложную модель - добавить взаимодействия факторов, т. е. перейти к нелинейным моделям.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В наглядной схематизированной форме данные могут быть представлены в виде: таблиц, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В наглядной схематизированной форме данные могут быть представлены в виде: таблиц, графиков, гистограмм, диаграмм, графов и др.

Таблицы - способ изображения данных, позволяющий представить количественные данные с кратким сопроводительным объясняющим текстом. Таблицы - способ изображения данных, позволяющий представить количественные данные с кратким сопроводительным объясняющим текстом.

Таким текстом служат название таблицы, раскрывающее связь между числовыми рядами, и внутренние заголовки таблицы Таким текстом служат название таблицы, раскрывающее связь между числовыми рядами, и внутренние заголовки таблицы (указывающие измеряемые признаки, единицы измерения и т. п. ).

Графики нагляднее таблиц отображают изменение экспериментальных данных. Построение графиков осуществляется в прямоугольной системе координат, Графики нагляднее таблиц отображают изменение экспериментальных данных. Построение графиков осуществляется в прямоугольной системе координат, в которой на оси “X” отмечается значение независимой переменной, а по оси “Y” — значение или порядок признака.

Построение графиков облегчает прогнозирование типа регрессионной зависимости при нахождении математической модели изучаемого процесса. Построение графиков облегчает прогнозирование типа регрессионной зависимости при нахождении математической модели изучаемого процесса.

Гистограмма представляет собой разновидность графика, в котором по оси “Y” откладываются интервальные (дискретные значения Гистограмма представляет собой разновидность графика, в котором по оси “Y” откладываются интервальные (дискретные значения какойлибо группировки, в результате чего график становится “ступенчатым”).

Диаграммы сопоставляют количественную информацию в виде площадей различных фигур (круг, прямоугольник и др. ). Диаграммы сопоставляют количественную информацию в виде площадей различных фигур (круг, прямоугольник и др. ).

• Графы — особый вид графического представления результатов; как правило, это фигура, вершины • Графы — особый вид графического представления результатов; как правило, это фигура, вершины которой могут обозначать различные компоненты, параметры или факторы процесса, а ребра — отношения и связи между ними.

Графы применяются на этапе прогнозирования эксперимента, а на обобщающем этапе с ними сопоставляются результаты. Графы применяются на этапе прогнозирования эксперимента, а на обобщающем этапе с ними сопоставляются результаты.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ • Задача оптимизации - это отыскание таких значений факторов Х 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ • Задача оптимизации - это отыскание таких значений факторов Х 1 опт , Х 2 опт. . . Хк , при которых функция, отклика (целевая функция) достигает экстремального значения: У (Х 1 опт , Х 2 опт. . . Хк ) = max (min) ,

• при выполнении условий ограничения, число которых г может быть произвольным. Нахождение экстремума • при выполнении условий ограничения, число которых г может быть произвольным. Нахождение экстремума функции отклика производится при условии, что функция отклика априори неизвестна.

Решение поставленной задачи целесообразно вести путем поиска экстремума целевой функции. Для однофакторных экспериментов решение Решение поставленной задачи целесообразно вести путем поиска экстремума целевой функции. Для однофакторных экспериментов решение задачи сводится к нахождению производной.

Изучение поверхности отклика для многофакторного эксперимента производится последовательной постановкой нескольких серий опытов, … Изучение поверхности отклика для многофакторного эксперимента производится последовательной постановкой нескольких серий опытов, …

… каждая из которых производится с целью изучения ограниченных участков поверхности отклика и выбора … каждая из которых производится с целью изучения ограниченных участков поверхности отклика и выбора направления движения, приближающего условия к оптимальным.

Чтобы достичь экстремума за наименьшее число шагов, нужно двигаться по направлению наискорейшего возрастания целевой Чтобы достичь экстремума за наименьшее число шагов, нужно двигаться по направлению наискорейшего возрастания целевой функции.

Такого рода движение описывается с помощью вектора, называемого градиентом скалярного поля. где p 1, Такого рода движение описывается с помощью вектора, называемого градиентом скалярного поля. где p 1, p 2, … , pk — орты (единичные векторы) соответствующих координатных осей.

Поясним сущность метода градиента на примере двухфакторной функции отклика у (х1 , х2). Если Поясним сущность метода градиента на примере двухфакторной функции отклика у (х1 , х2). Если мы выберем какую- либо точку факторного пространства в качестве исходной (х10 , х20), …

… то наикратчайший путь к вершине функции отклика (область 110) на этой точке - … то наикратчайший путь к вершине функции отклика (область 110) на этой точке - это путь по кривой 1, касательная к которой в каждой точке совпадает с нормалью к кривой уровня, т. е. это путь в направлении градиента функции отклика.

Поиск максимума методами градиента (1) и крутого восхождения (2) Поиск максимума методами градиента (1) и крутого восхождения (2)

• Другой, часто используемой разновидностью градиентного метода является метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона). • Другой, часто используемой разновидностью градиентного метода является метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона).

Процедура при реализации этого метода так же, как и в методе градиента, начинается с Процедура при реализации этого метода так же, как и в методе градиента, начинается с выбора начальной точки проведения эксперимента и определения направления градиента.

Однако в дальнейшем после каждого шага определение градиента не производится, а производится процедура одномерного Однако в дальнейшем после каждого шага определение градиента не производится, а производится процедура одномерного поиска, когда шаговое движение из начальной точки по направлению градиента осуществляется до попадания в частный оптимум по кривой 2 (см. рисунок).

Практически это реализуется путем определения у(x 1 , x 2) после каждого шага: если Практически это реализуется путем определения у(x 1 , x 2) после каждого шага: если функция отклика не уменьшается, то движение продолжается.

Когда у(x 1 , x 2 начнет уменьшаться, движение по градиенту прекращается, проводится новое Когда у(x 1 , x 2 начнет уменьшаться, движение по градиенту прекращается, проводится новое планирование для точки частного оптимума, принимаемой за исходный уровень.

• Проводятся опыты, и определяется новое направление движения, и так до достижения максимума • Проводятся опыты, и определяется новое направление движения, и так до достижения максимума целевой функции, когда все координаты градиента в очередном цикле будут близки к нулю.

ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ С увеличением числа факторов количество опытов в полном факторном эксперименте резко ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ С увеличением числа факторов количество опытов в полном факторном эксперименте резко возрастает. Так, при трёх факторах следует поставить 23=8 5=32 опыта, а опытов, при пяти – 2 уже при восьми – 256 опытов.

• Разность между числом опытов и числом коэффициентов во многих случаях оказывается очень • Разность между числом опытов и числом коэффициентов во многих случаях оказывается очень велика, и возникает естественное желание сократить число необходимых опытов.

Можно сократить их число за счёт той информации, которая несущественна при построении линейных моделей. Можно сократить их число за счёт той информации, которая несущественна при построении линейных моделей.

Заранее известно, что объект описывается линейным уравнением (предполагается, что эффекты взаимодействия отсутствуют) или Заранее известно, что объект описывается линейным уравнением (предполагается, что эффекты взаимодействия отсутствуют) или нас интересуют только линейные члены.

Возникает вопрос: как построить ортогональный план, позволяющий определить коэффициенты линейного уравнения, который содержит меньше Возникает вопрос: как построить ортогональный план, позволяющий определить коэффициенты линейного уравнения, который содержит меньше число опытов, чем полный факторный эксперимент, …

…т. е. целесообразно сократить число опытов за счёт информации, которую несут эффекты взаимодействия факторов …т. е. целесообразно сократить число опытов за счёт информации, которую несут эффекты взаимодействия факторов и которая для построения постулируемой линейной модели несущественна.

ПОСТРОИМ ТАКОЙ ПЛАН ДЛЯ СЛУЧАЯ K=3 И K=4. РАССМОТРИМ СНОВА ПФЭ 22 (ПЛАН ЭТОГО ПОСТРОИМ ТАКОЙ ПЛАН ДЛЯ СЛУЧАЯ K=3 И K=4. РАССМОТРИМ СНОВА ПФЭ 22 (ПЛАН ЭТОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ЗАДАН ТАБЛИЦЕЙ). Номер опыта z 0 z 1 z 2=z 3 y 1 +1 -1 -1 +1 y 1 2 +1 +1 -1 -1 y 2 3 +1 -1 y 3 4 +1 +1 y 4

По нему можно построить модель y=b 0+b 1 z 1+b 2 z 2+b 12 По нему можно построить модель y=b 0+b 1 z 1+b 2 z 2+b 12 z 1 z 2. Пусть имеется достаточная уверенность, что в выбранных интервалах варьирования x 1 и x 2 значение b 12 будет незначимым.

Тогда столбец z 1 z 2 можно использовать для нового фактора z 3. Проведя Тогда столбец z 1 z 2 можно использовать для нового фактора z 3. Проведя такой эксперимент, сможем сделать оценку четырёх коэффициентов, т. е. получить зависимость y=a 0+a 1 z 1+a 2 z 2+a 3 z 3.

Рассмотрим теперь второй случай: k=4. План полного факторного эксперимента состоит из 16 точек. Как Рассмотрим теперь второй случай: k=4. План полного факторного эксперимента состоит из 16 точек. Как и в предыдущем примере рассмотрим ПФЭ 23 (k=3), представленный в табл. 6. z 1 z 2 z 3 z 1 z 2 z 1 z 3 z 2 z 3 z 1 z 2 z 3 1 +1 +1 2 +1 -1 -1 3 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 4 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 5 +1 +1 -1 -1 -1 6 +1 -1 -1 +1 +1 7 -1 +1 8 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 Номер опыта

В связи с тем, что взаимодействия принимаются равными нулю, можно воспользоваться любым из столбцов, В связи с тем, что взаимодействия принимаются равными нулю, можно воспользоваться любым из столбцов, характеризующих эффекты взаимодействия для четвёртой переменной, например, столбец z 1 z 2 z 3 (или - z 1 z 2 z 3). Приняв для фактора z 4 столбец z 1 z 2 z 3 получим план, приведённый в табл.

Номер опыта z 1 z 2 z 3 z 4 1 +1 +1 2 Номер опыта z 1 z 2 z 3 z 4 1 +1 +1 2 +1 -1 3 -1 +1 +1 -1 4 -1 -1 +1 +1 5 +1 +1 -1 -1 6 +1 -1 -1 +1 7 -1 +1 8 -1 -1

• Рассмотренные планы содержат половину опытов ПФЭ и носят название полуреплики. • Таким • Рассмотренные планы содержат половину опытов ПФЭ и носят название полуреплики. • Таким образом, из всего множества точек полного факторного плана может быть отобрана лишь некоторая часть, представляющая так называемый дробный факторный план и содержащая подходящее число опытов.

Дробный факторный эксперимент составляет часть ПФЭ, которая называется дробной репликой. Используется ½ реплики (полуреплика), Дробный факторный эксперимент составляет часть ПФЭ, которая называется дробной репликой. Используется ½ реплики (полуреплика), ¼ реплики, 1/8 реплики и т. д. Условное обозначение реплик и количество опытов приведены в таблице 8.

Для построения дробного факторного плана типа 2 k-p из множества k факторов отбирают k-p Для построения дробного факторного плана типа 2 k-p из множества k факторов отбирают k-p основных, для которых строят полный факторный план с матрицей Xk-p. Этот план дополняют затем p столбцами (линейными эффектами), приравненных к эффектам взаимодействия.

Каждый из этих столбцов получается как результат поэлементного перемножения не менее двух и не Каждый из этих столбцов получается как результат поэлементного перемножения не менее двух и не более k-p определённых столбцов, соответствующих основным факторам.

ПЕРЕД ПОСТАНОВКОЙ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ДРОБНЫМ РЕПЛИКАМ НЕОБХОДИМО РЕШИТЬ – КАКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МОЖНО ПРЕНЕБРЕЧЬ, И ПЕРЕД ПОСТАНОВКОЙ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ДРОБНЫМ РЕПЛИКАМ НЕОБХОДИМО РЕШИТЬ – КАКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МОЖНО ПРЕНЕБРЕЧЬ, И К КАКОМУ ЭТО ПРИВЕДЁТ РИСКУ Число факторов, Дробная реплика Количество опытов Обозначение ДФЭ ПФЭ 3 ½ реплики от 23 23 -1 4 8 4 ½ реплики от 24 24 -1 8 16 4 1/4 реплики от 24 24 -2 4 16 5 ½ реплики от 25 25 -1 16 32 5 1/4 реплики от 25 25 -2 8 32

Для определения способа образования каждого из p столбцов дробного плана вводится понятие генерирующего соотношения Для определения способа образования каждого из p столбцов дробного плана вводится понятие генерирующего соотношения (генератор плана) – произведение основных факторов, …

… определяющих значение элементов каждого из дополнительных p столбцов матрицы плана и определяющие контрасты. … определяющих значение элементов каждого из дополнительных p столбцов матрицы плана и определяющие контрасты. В случае плана типа 2 k-p может иметься p генераторов.

Рассмотренная матрица составляет полуреплику от 23, 3 -1. т. е. полуреплику 2 В рассмотренном Рассмотренная матрица составляет полуреплику от 23, 3 -1. т. е. полуреплику 2 В рассмотренном случае ДФЭ типа 23 -1 могут быть два генерирующих соотношения z 3=z 1 z 2 и z 3=-z 1 z 2.

• •

Таким образом, произведения столбцов матрицы равные +1 или -1 называются определяющими контрастами, которые помогают Таким образом, произведения столбцов матрицы равные +1 или -1 называются определяющими контрастами, которые помогают найти смешанные эффекты, не изучая матрицу планирования, и позволяет установить разрешающую способность дробной реплики (см. далее).

• •

При разработке технологических процессов дробные реплики очень широко используются на стадии крутого восхождения (при При разработке технологических процессов дробные реплики очень широко используются на стадии крутого восхождения (при оптимизации), …

… а также при математическом описании локальной области факторного пространства с узким интервалом изменения … а также при математическом описании локальной области факторного пространства с узким интервалом изменения переменных.

Свойства полного и дробного факторных экспериментов • Свойства полного и дробного факторных экспериментов •

• •

• •

Ротатабельность, т. е. способность математической модели, полученной в результате полного и дробного экспериментов, предсказывать Ротатабельность, т. е. способность математической модели, полученной в результате полного и дробного экспериментов, предсказывать значение параметра y с одинаковой точностью на равных расстояниях от центра эксперимента независимо от направления.