Определение и классификация цифровых фильтров Методы математического описания

Определение и классификация цифровых фильтров. Методы математического описания цифровых фильтров во временной и частотной области

Дискретная система Цифровой фильтр – это линейная дискретная система с постоянными параметрами x(n) Дискретная система (цифровой фильтр) y(n ) = Ф[x(n)] Ф[∙] – оператор системы Разностное уравнение дискретной системы 2

Иллюстрация обработки сигнала в соответствии с РУ x(n– 2) x(n– 1) x(n– N ) b. N …. b 2 b 0 b 1 n n –N n – 1 n – 2 y(n ) n y(n– 1) y(n– 2) y(n– M ) a M …. . a 2 a 1 n n–M n – 2 n – 1 n 3

Структура рекурсивного цифрового фильтра, соответствующая прямой форме реализации разностного уравнения 4

Нерекурсивные и рекурсивные цифровые фильтры • Нерекурсивным фильтром называется такой фильтр, выходной сигнал которого определяется только значениями входных отсчетов • Это разностное уравнение каузального фильтра

Дискретная временная свертка (ДВС), БИХ- и КИХ-фильтры Единичный импульс (а) и импульсные характеристики цифровых фильтров бесконечной (б) и конечной (в) длины а б в РФ – это цифровой фильтр БИХ-типа, НФ – КИХ-типа 6

Z-преобразование дискретных сигналов и его свойства 7

Передаточная функция рекурсивного фильтра, определяемая по разностному уравнению (полиномиальная форма): 8

Передаточная функция рекурсивного фильтра, определяемая по разностному уравнению (нуль-полюсная форма): Связь между передаточной функцией и импульсной характеристикой 9

Частотная характеристика дискретной системы (цифрового фильтра) 10

Формы структурной реализации цифровых фильтров, их математические описания и реализуемые алгоритмы обработки

Каскадная формы реализации рекурсивных цифровых фильтров. 12

Параллельная форма реализации РФ 13

Прямая форма реализации звена 2 -го порядка 14

Каноническая форма реализации звена 2 -го порядка 15

Представление передаточной функции РФ на комплексной Z-плоскости 16

Графический способ расчета частотной характеристики РФ Амплитудно-частотная характеристика: Фазочастотная характеристика: 17

Прямая форма реализации нерекурсивного фильтра 18

Задачи и методы синтеза цифровых фильтров с требуемой частотной характеристикой. Синтез передаточной функции рекурсивных цифровых фильтров

Синтез РФ по аналоговому прототипу. Метод билинейного преобразования Простое билинейное преобразование = (2/Tд) arctg( / ) 20

Обобщенное билинейное преобразование p = (z² 2 z +1)/(z² 1), = | ( cos )/sin |, = ctg ( c 2 c 1)/2 , = cos ( c 2+ c 1)/2 /cos ( c 2 c 1)/2 (для ППФ) 21

Аппроксимирующие функции 22

Синтез передаточной функции нерекурсивных фильтров

Синтез НЦФ методом весовых функций 24

Параметры весовых функций № Тип ВФ D бл max, д. Б 1 Прямоугольная 2 13, 6 21 2 Треугольная 4 27 26 3 Ханна 4 31 44 4 Хэмминга 4 41 53 5 Блэкмана 6 57 74 6 *Кайзера (2 10) – (21 100) 2 max, д. Б *зависят от параметра . 25

Синтез НФ методом частотных выборок Графическая иллюстрация метода 26

Синтез НФ методом частотных выборок Определение ИХ НФ – ИХ НФ, n = 0, 1, …, N – 1. 27

Численные методы синтеза цифровых фильтров Методы поиска оптимальных значений коэффициентов фильтра: - метод наименьших квадратов, - метод линейного программирования, - метод нелинейной оптимизации (алгоритм Флетчера-Пауэлла для БИХ-фильтров), - метод многократной замены Ремеза (для фильтров с чебышевской аппроксимацией КИХ и БИХтипа). Программы синтеза ЦФ: Filter Solutions, QED 1000, Lab. VIEW, System View, Mat. LAB. 28

Лекция 5. Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой на основе дискретного преобразования Фурье и частотной выборки

Определение и свойства ДПФ – это преобразование Фурье последовательностей x(n) конечной длины N 1, вычисляемое на N дискретных равностоящих частотах k= k д/N, k = 0, 1. . . N– 1: 30

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) Сигнал, соответствующий ОДПФ при N N 1 31

Сигнал, соответствующий ОДПФ при N < N 1 Явление наложения при восстановлении сигнала по его спектру 32

Нерекурсивные фильтры на основе ДПФ НФ на основе ДВС: , n = 0, 1, . . . N – 1; ДПФ свертки: ДПФN[y(n)] = ДПФN[х(n)] ДПФN[h(n)], n = 0, 1, . . . N – 1. НФ на основе ДПФ: y(n) = ОДПФN{ДПФN[х(n)] ДПФN[h(n)]}, n = 0, 1, . . . N – 1. 33

Иллюстрация ДВС Из графиков рисунке следует, что сигнал линейной свертки y(n) имеет длину N= N 1 + N 2 – 1. Чтобы применить в данном случае теорему о свертке, ДПФ последовательностей x 1(n) и x 2(n) необходимо вычислить по одинаковому числу точек N, соответствующему длине последовательности y(n), с одинаковым шагом дискретизации по частоте Δ ω = ωд /N , т. е. ДПФN[y(n)] = ДПФN[x 1(n)]ДПФN[x 2(n)] или Y( jωk ) = Y( jωk ), k = 0, 1. . . N − 1. При этом последовательности x 1(n) и x 2(n) дополняются N 01 , N 02 нулевыми отсчетами: N 01 = N − N 1, N 02 = N − N 2, что обеспечивает в частотной области интерполяцию их дискретизированного спектра.

Частотные диаграммы сигналов в структуре НФ на основе ДПФ 35

Эффективность НФ на основе ДПФ Оценивается числом операций умножения на один отсчет сигнала Кумн. ЦФ(1). НФ на основе ДПФ: Кумн. ДПФ = N 2; Кумн. ЦФ = N 2 + N 2 (без учета ДПФN[h(n)]); Кумн. ЦФ(1) = Кумн. ЦФ/N = N + 1+ N = 2 N + 1 – это очень много! НФ на основе БПФ: Кумн. БПФ = (N/2)log 2 N; Кумн. ЦФ = Nlog 2 N + N; Кумн. ЦФ(1) = log 2 N + 1. Пусть N =1024: Кумн. ЦФ(1) = 11. Для операций с вещественными числами Кумн. ЦФ(1) в 4 раза больше и равно 44. НФ на основе БПФ соизмеримы по эффективности с РФ. 36

Фильтрация последовательностей большой длины с помощью ДПФ Реализуется путем разбиения сигнала x(n) на секции xl(n) длиной N 1 > N 2 (N 2 – длина ИХ), вычисления с помощью ДПФ откликов yl(n) на l-ю секцию и суммирования откликов соседних секций на участках перекрытия длиной N 2 – 1 (принцип суперпозиции): yl(n) = ОДПФN{ДПФN[хl(n)]ДПФN[h(n)]}, n = 0, 1, . . . N 1 + N 2 – 1. 37

Временные диаграммы сигналов при цифровой фильтрации последовательностей большой длины 38

Реализация НФ на основе частотной выборки (ЧВ) ИХ и передаточная функция НФ на основе ЧВ: 39

Структурная схема НФ на основе частотной выборки H(j 0)/N Hpo (z) v(n) x(n) Hн(z) . . x H(jk)/N Hp 1 (z) x y pk(n). . H[j(N – 1)]/N Hp N-1(z) S y(n) x Число рекурсивных звеньев определяется числом ненулевых частотных выборок ДЧХ. Поэтому НФ на основе ЧВ эффективны для реализации узкополосных ЦФ 40

Цифровой спектральный анализ сигналов: задачи, методы, параметры, характеристики, структуры. Гармонический спектральный анализ

Виды спектрального анализа (СА): • гармонический (измерение спектров амплитуд и фаз); • СА случайных сигналов (измерение СПМ, ВСПМ). Параметры СА: • время анализа Та = NTд (эпоха анализа); • полоса анализа fа: 0 ± fд/2; • шаг анализа Δfа = 1/Та; • разрешение по частоте Δfр = α/Та. Особенность СА на основе ДПФ: • анализ выполняется по реализации конечной длины усеченной весовой функцией w(n), n = 0, 1, 2, …N – 1. 42

Математическое описание и базовая структура анализатора спектра (АС) на основе ДПФ Каждый канал ДПФ откликается на свою частоту и эквивалентен полосовому НФ. 43

Частотные характеристики многоканального анализатора спектра на основе ДПФ ЧХ канала АС определяется как отклик его на комплексный гармонический сигнал ЧХ канала АС совпадает с частотной характеристикой весовой функции W(j ), смещенной вправо к центральной частоте канала k > 0 или влево к частоте k < 0. ЧХ каналов имеют главный лепесток и боковые лепестки и перекрываются между собой. 44

ЧХАС с прямоугольной ВФ и ЧХ одного (2 -го) канала При ωх ≠ ωk имеет место явление размывания спектра 45

Частотные характеристики каналов анализатора спектра с весовой функцией Хэмминга На сигнал с частотой fх = fk откликаются три канала, на сигнал с частотой fх ≠ fk – 4 канала на уровне главных лепестков и все каналы на уровне боковых лепестков. 46

Параметры весовых функций, используемые при спектральном анализе. Выбор вида весовой функции Кког бл, д. Б АП , д. Б 13, 6 3, 92 27 1, 82 Хэмминга 1, 36 1, 30 / 1, 81 0, 54 41 1, 78 Блэкмана 1, 73 1, 68 / 2, 36 0, 42 57 1, 1 1, 8 – 1, 02 Тип ВФ бин Прямоугольная 1 0, 89 / 1, 21 Треугольная Кайзера, = 3 1 1, 33 1, 28 / 1, 78 0, 5 1. 71/2, 39 0, 4 – 69 47

Определение эквивалентной шумовой полосы весовой функции Мощность белого шума на выходе канала: σ2 шк = σ2 ш. вх /N. 48

Спектрально-корреляционный анализ дискретных случайных сигналов

Статистические характеристики дискретных случайных сигналов Виды СС: стационарные, эргодические. Среднее значение: Средний квадрат: 50

АКФ: ВКФ: (Е – символ математического ожидания) 51

Спектральные характеристики дискретных случайных сигналов СПМ – преобразование Фурье АКФ: (теорема Винера – Хинчина). ВСПМ – преобразование Фурье ВКФ: 52

Статистические оценки АКФ Для обеспечения точности оценок принимают mmax = M ≤ 0, 1 N. 53

Статистические оценки ВКФ 54

Статистические коррелограммные оценки СПМ и ВСПМ k = 0, 1, … 2 M – 1. Метод спектрального анализа случайных сигналов по оценкам АКФ (ВКФ) называется методом коррелограмм. 55

Статистические периодограммные оценки СПМ Периодограммные оценки Уэлча где k = 0, 1, . . . N 1 56

Вычисление спектральной плотности мощности методом периодограмм 57

Структурные схемы анализаторов СПМ и ВСПМ случайных сигналов по методу периодограмм 58

Структурные схемы анализаторов СПМ и ВСПМ случайных сигналов по методу периодограмм 59

Вычисление оценок корреляции коротких последовательностей с помощью ДПФ 60