Определение Две прямые на плоскости называются параллельными если

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности прямых Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. c а 1 2 b c Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны. 1 а 2 b c а 1 2 b

Аксиома параллельности и следствия из неё. c А Через точку, не лежащую на данной b прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. а с а b Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b, c b ⇒ c a Следствие 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с ⇒ a II b Следствие 2.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Дано: a II b, MN- секущая. Р 1 N 2 M а Доказать: b Доказательство: способ от противного. Допустим, что 1 2. 1= 2 (НЛУ) Отложим от луча МN угол NМР, равный углу 2. По построению накрест лежащие углы NМР= 2 РМ II b. Получили, что через точку М проходит две прямые (а и МР), параллельные прямой b !!! Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше допущение неверно!!! 1= 2. Теорема доказана.

Теорема об односторонних углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. Если две параллельные прямые пересечены секущей, условие то сумма односторонних углов равна 1800. заключение теоремы c 3 1 а 2 b Дано: а II b, c- секущая. Доказать: OУ 1+ 2=1800. Доказательство: 3+ 2 =1800, т. к. они смежные. 3 + 2 =1800 1 3, т. к. это НЛУ при а II b 1= Теорема доказана.

Если MN II AB, а угол 2 больше угла 1 на 300, то угол 2 равен… Решение: 1= х, 2= х+30 Задача В М A N х+3 0 2 0 х О х 1 С B 1= ВОС, они вертикальные. 2= х+30 1800, т. к. ОУ при а II b ВОА=х, Составь уравнение… Найди сам угол.

Теорема о соответственных углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. заключение теоремы c 2 а 3 1 b условие Дано: а II b, c- секущая. Доказать: СУ 1= 2. Доказательство: 2 = 3, т. к. они вертикальные. 3= 1 1= 3= 1, т. к. это НЛУ при а II b Теорема доказана. 22

Свойства углов при параллельных прямых. Дано: a. IIb a 1= 340 a. IIb. 1340 a 2= b 2 1 1= 2= Сумма углов 1 и 2 равна 760. a a. IIb 1= 2 3 3= b 1 1: a. IIb a 2 1 440 a 13 2 6 1= 1 b 2= 2 = 4 : 5. b 1= 2=

Дано: а II b, c – секущая. Один из односторонних углов на 20% меньше другого. Задача c 7 6 8 3 2 b 1 4 5 1= а 5= Найти: все углы. Решение: 2=х, 1 на 20% меньше, т. е. 80% 1=0, 8 х 2=х 1800, т. к. ОУ при а II b 2= 6= 1=0, 8 х 3= 7= Составь уравнение… Найди сам все углы… 4= 8=

Тренировочные упражнения Дано: а II b, с – секущая 1=4 2 Найдите: 1 и 2 c а Угол 1 в 4 раза больше угла 2 1 4 х х 2 b

Тренировочные упражнения Угол 1 на 300 больше угла 2 Дано: а II b, с – секущая 1 – 2 = 300 Найдите: 1 и 2 c а 1 х+30 c х 2 а b b

Тренировочные упражнения Дано: а II b, с – секущая 2 = 0, 8 1 Найдите: 1 и 2 c а х 1 0, 8 х 2 Угол 2 составляет 0, 8 части угла 1 b

Тренировочные упражнения Пусть х – 1 часть Дано: а II b, с – секущая 1: 2=5: 4 Найдите: 1 и 2 c а 5: 4 5 х 1 4 х 2 b

Тренировочные упражнения Дано: а II b, с – секущая 2 составляет 80% от 1 Найдите: 1 и 2 c % а х 1 0, 8 х 2 b

AB = BC, A=600, CD – биссектриса угла ВСЕ. Докажите, что АВ II CD. CD Дано: а II b, с – секущая b 1: 2=5: 4 Найдите: 1 и c Пусть х – 1 часть D а 5 х 1 би сс ек тр ис а B 600 A 1200 С 600 2 5: 4 E 4 х 2 b

Используя данные рисунка, найдите углы 1, 2 и 3. с 1200 1 2 3 d а 200 1600 b

Может ли еще один из семи остальных углов, образованных при пересечении прямых a и 1100? 600? Почему? b с прямой d, быть равен d m 1100 400 а b

На рисунке АС II ВD и Найдите СВD. A АС = АВ, МАС = 400. M 400 С 2 3 B 1 D

На рисунке АВ II ЕD. Докажите, что ВСD = B B+ D Подсказка A 1 N 2 3 D 4 C Построим CN II AB E

На рисунке АВ II ЕD. Докажите, что ВС СD CВА = 1400, СDE = 1300 Подсказка B A 1400 40 N C Построим CN II AB D 1300 50 E

a II b, c – секущая, DM и DN – биссектрисы смежных углов, образованных прямыми a и c. DE = 5, 8 см На рисунке Найдите MN. с 400 D 3 6 4 M 1 5 , 8 см 2 а E ? 5 N b

На рисунке АВ ED и KM ED, ABE = 340 MN – биссектриса КМС Найдите EMN. D K N A 73 E 1460 0 ? 340 B 730 C M

На рисунке АС II BD и KC II MD, CDK в 3 раза больше Найдите КDE. ACK = 480 EDM A B K C 480 M 3 x D x E