Определение Аксиома это утверждение не требующее доказательства

Определение Аксиома – это утверждение не требующее доказательства.

Определение Аксиомы стереометрии – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.

Аксиома A 1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. B A C Если C ∉ AB, то ∃α: A, B, C ∊ α, причем α – единственная.

Аксиома A 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. B A A ∊ α; B ∊ α; ⟹ AB ∊ α;

Аксиома A 3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. β M a M ∊ α; M ∊ β; ⟹

B A β C Аксиома 1 (существование плоскости) M B A a Аксиома 2 (плоскость и прямая) Аксиома 3 (две плоскости)

D Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; PE, MK, EC – прямые; Назвать: а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB; P A K M Решение: а) P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; E B C

D Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; PE, MK, EC – прямые; Назвать: а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB; P A K M Решение: а) P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ D ∊ ABD; B ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; PE ∊ ABD; ⟹ M ∊ ABD; K ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; E B C

D Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; PE, MK, EC – прямые; Назвать: а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB; P A K M Решение: а) M ∊ ABD; K ∊ ABD; P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ D ∊ ABD; B ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; A ∊ ABD; B ∊ ABD; A ∊ ABC; B ∊ ABC; ⟹ AB ∊ ABD, AB ∊ ABC; PE ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; E B C

D Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; PE, MK, EC – прямые; Назвать: а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB; P A K M Решение: а) M ∊ ABD; K ∊ ABD; P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ D ∊ ABD; B ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; A ∊ ABD; B ∊ ABD; A ∊ ABC; B ∊ ABC; ⟹ AB ∊ ABD, AB ∊ ABC; E ∊ ABC; C ∊ ABC; E ∊ CDE; C ∊ CDE; ⟹ EC ∊ ABC, AB ∊ CDE; PE ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; E B C

D Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; PE, MK, EC – прямые; Назвать: а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB; P A K M Решение: а) P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; E ⟹ MK ∊ ABD; B б) D ∊ ABD; B ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; A ∊ ABD; B ∊ ABD; A ∊ ABC; B ∊ ABC; ⟹ AB ∊ ABD, AB ∊ ABC; E ∊ ABC; C ∊ ABC; E ∊ CDE; C ∊ CDE; ⟹ EC ∊ ABC, AB ∊ CDE; С ∊ DK; C ∊ ABC; ⟹ C

D Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; PE, MK, EC – прямые; Назвать: а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB; P A K M Решение: а) P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; E ⟹ MK ∊ ABD; B б) D ∊ ABD; B ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; С ∊ DK; C ∊ ABC; ⟹ A ∊ ABD; B ∊ ABD; A ∊ ABC; B ∊ ABC; ⟹ AB ∊ ABD, AB ∊ ABC; E ∊ CE; E ∊ ABD; ⟹ E ∊ ABC; C ∊ ABC; E ∊ CDE; C ∊ CDE; ⟹ EC ∊ ABC, AB ∊ CDE; C

Задача 2 Дано: A, B, C, D – не лежат в одной плоскости D C Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой? B Решение. Пусть: A (A, B, C) ∊ m; D ∉ m; ∃α: (A, C, D) ∊ α (аксиома A 1) A ∊ α (аксиома A 2) C ∊ α ⟹ B ∊ α (A, B, C, D) ∊ α; Ответ: Нет. m

Задача 2 Дано: (A, B, C) ∊ m D Доказать: ∃α: (A, B, С) ∊ α Найти: Количество плоскостей Решение. Пусть: D ∉ m; ∃α: (A, C, D) ∊ α (аксиома 1) (A, C) ∊ α ⟹ B ∊ α (аксиома 2) ⟹ ⟹ C B A m (A, B, C, D) ∊ α; Плоскость α – искомая плоскость. Т. к. D – произвольная точка, то таких плоскостей бесконечное множество. Ответ: бесконечное множество.