Определение 1. 1. Случайным событием называется

Определение 1. 1. Случайным событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти (обозначают события А, В, С, …. ). Определение 1. 2. Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Определение 1. 3. Событие называется невозможным , если в результате испытания оно вообще не может произойти. Определение 1. 4. Два случайных события А и В называются несовместными , если появление одного из них исключает появление другого в данном испытании. Слайд 1

Определение 1. 5. События А и В называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. Определение 1. 6. События называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Определение 1. 7. Несколько событий образуют полную группу (Е), если они попарно несовместны и в результате испытания появится только одно из этих событий. Определение 1. 8. Два несовместных события А и А , из которых в результате испытания одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Слайд 2

Пример 1. 1. Произвели трехкратное бросание монеты. E={(0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 0) (1, 0, 0, ) (0, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (1, 1, 1)} Событие А – два раза выпал орел: EA={(0, 0, 1) (0, 1, 0) (1, 0, 0, )} Событие В – решка выпала не менее двух раз EB={ (0, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (1, 1, 1)} Слайд 3

Например, противоположные события: Слайд 4

Слайд 5

1. 3 Вероятность событий Понятие вероятности вводится для количественной оценки возможности появления случайного события. Статистическая вероятность определяется в результате проведения опытов. Классическая вероятность Р(А) - оценка осуществляется без опыта. Определение 1. 13. Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов ( m ) к общему числу всех равновозможных несовместных исходов (n), образующих полную группу формула классической вероятности Пример 1. 3. Игральная кость бросается один раз. Какова вероятность появления чётного числа очков? Решение. Обозначим событие А={четное число очков} Тогда ЕА={1, 2, 3, 4, 5, 6} → общее число исходов n=6. Благоприятные исходы {2, 4, 6} → число благоприятных исходов m=3. Следовательно Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26

Слайд 27

Слайд 28

Слайд 29

Слайд 30

Слайд 31

Слайд 32

Слайд 33

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Слайд 38

Слайд 39

Слайд 40

Слайд 41

Слайд 42

Слайд 43

Слайд 44

Слайд 45

Слайд 46

Слайд 47

Слайд 48

Слайд 49

Слайд 50

Слайд 51

Слайд 52

Слайд 53

Слайд 54

Слайд 55

Слайд 56

Слайд 57

Слайд 58

Слайд 59

Слайд 60

Слайд 61

Слайд 62

Слайд 63

Слайд 64

Слайд 65

Слайд 66

Слайд 67

Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины Способы задания двумерной случайной величины 1) Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называется перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел и их вероятностей , удовлетворяющих условию . 2) Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция , которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий и , то есть Слайд 68

Двумерные случайные величины. Закон распределения XY y 1 … yj … ym x 1 p 11 … p 1 j … p 1 m p 1 … … … … … xi pi 1 … pij … pim pi … … … … … xn pn 1 … pnj … pnm pn p 1 … pj … pm 1 Слайд 69

Закон распределения двумерной СВ. Условные законы распределения • Аналогично Условный закон распределения случайной величины Х при условии Y=yj Условный закон распределения случайной величины Y при условии X=xi Слайд 70

Ковариация Ковариацией (корреляционным моментом) K xy случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т. е. Свойства 1. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю. 2. Ковариация двух случайных величин равна 3. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений Слайд 71

Коэффициент корреляции Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношении их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: Свойства 1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [-1; 1], т. е. 2. Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т. е. ρ = 0. 3. Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость. Слайд 72