Опорные знания ¤ ¤ ¤ Средней линией треугольника

Опорные знания ¤ ¤ ¤ Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой

Построение фигуры ¤ Построим произвольный треугольник ¤ К каждой его стороне проведем высоту ¤ K, L, M – середины отрезков AH, BH, CH, лежащих на высотах

Эвристическая беседа ¤ Рассмотрим треугольники ABC и HBC ¤ Соединим точки L и M. Что можно сказать об этом отрезке? ¤ Построим среднюю линию треугольника ABC. Что можно о ней сказать? ¤ Какие выводы следует сделать?

Эвристическая беседа ¤ Рассмотрим треугольники ABH и HAC ¤ Что можно сказать об отрезках C’L и B’M? ¤ Какие выводы можно сделать, аналогичные предыдущему случаю? ¤ Рассмотрим четырехугольник B’C’LM. Какими свойствами он обладает? ¤ Что можно сказать о четырехугольниках A’B’KL и C’A’MK?

Эвристическая беседа ¤ Рассмотрим четырехугольники B’C’LM, A’B’KL и C’A’MK. Что можно сказать об их диагоналях? ¤ Чем они являются? ¤ Рассмотрим углы ADC, BEC, CFB. Каким свойством они обладают?

Выдвижение гипотезы Теорема Рассмотрим следующие точки: Основания трех высот произвольного треугольника; середины трех его сторон и треугольника, середины трех его отрезков, соединяющих Середины трех его сторон; его вершины с ортоцентром, лежат все на Середины трех его отрезков, соединяющие одной окружности радиуса его вершины с ортоцентром. R. Как они связаны между собой? Сформулируем теорему об этих девяти точках

План 1. C’B’=LM= BC. 2. C’L=B’M= AH. 3. B’C’LM – прямоугольник. 4. A’K, B’L, C’M – 3 диаметра окружности. 5. окружность проходит через точки D, E и F.

Доказательство BC – общая сторона ABC, HBC; C’A= C’B, B’A=B’C, LH=LB, MH=MC. Сл-но, C’B’ II LM II BC, C’B’=LM= BC(по теореме о средней линии треугольника) AH - общая сторона BAH, HAC. C’L II B’M II AH, C’L=B’M= AH(по теореме о средней линии треугольника) Сл-но, B’C’LM – параллелограмм. Т. к. BC AH, то B’C’LM – прямоугольник. Ан-но, A’B’KL , C’A’MK – прямоугольники.

Доказательство A’K = B’L = C’M и делятся точкой N пополам (свойство диагоналей прямоугольника) Сл-но, A’K, B’L, C’M – 3 диаметра окружности. A’DK = (по теореме о вписанном угле, опирающимся на диаметр окружности) Сл-но, окружность, построенная на отрезке A’K, как на диаметре, проходит через точки D, E и F.

Подумай – ка Какой является окружность по отношению к данному треугольнику?

Немного из истории Полученную окружность называют окружностью девяти точек. Данная теорема иногда приписывается Эйлеру. Европейские авторы часто называют эту окружность «окружностью Эйлера» . По теореме Эйлера центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности. Также полученную окружность называют «окружностью Фейербаха» . Теорема Фейербаха утверждает, что окружность девяти точек касается вписанных и всех вневписанных окружностей.

А K F H L В E M D С

А K E C’ F B’ H L В M D С

А K E C’ F B’ H L В M D A’ С

А K E C’ F B’ H L В M D A’ С

А K E C’ F B’ H N L В M D A’ С

А K E C’ F B’ H N L В M D A’ С

А K E C’ F B’ H N L В M D A’ С

А K E C’ F B’ H N L В M D A’ С

А K E C’ F B’ H N O L В M D A’ С