Описание точечных групп Существует несколько систем обозначения видов симметрии: 1. Формула симметрии – состоит из полного перечня всех элементов симметрии, входящих в вид симметрии. Элементы располагаются в следующем порядке: • • • на первом месте записываются оси симметрии от высших порядков к низшим, на втором плоскости зеркального отражения, в конце – центр инверсии. 2. Международные (интернациональные) символы – включает в себя только основные (порождающие) элементы симметрии. В качестве порождающих элементов предпочтение отдается плоскостям зеркального отражения. Смысл элемента симметрии зависит еще и от места в символе. Правила записи элементов тесно связаны с правилами установки кристаллов. 3. Символы Шенфлиса (1891 г. )– редко применяются, чаще всего в кристаллооптике и физике полупроводников. Состоит из одного символа с индексами. 4. Символы А. В. Шубникова - имеют ту же логику, что и международная символика, но отличается тем, что перпендикулярность обозначается двоеточием «: » , а параллельность точкой « » . Пример - - ( ).
Формула симметрии Пример формулы планаксиального класса кубической сингонии – Несмотря на то, что перечислены все элементы симметрии, их взаимное расположение можно установить только с помощью теорем о взаимодействии элементов симметрии.
Международные (интернациональные) символы Правила записи международного символа точечной группы. Категории Сингонии 1 -я позиция Низшая Триклинная Только один символ, соответствующий любому направлению в кристалле. Моноклинная Единственная ось 2 или плоскость m вдоль оси Y. Ромбическая Ось 2 (m)вдоль оси X. Ось 2 (m)вдоль оси Y. Ось 2 (m)вдоль оси Z. Тригональная Главная ось симметрии вдоль оси Z. Оси 2(m) вдоль оси X и Y. Диагональные оси 2(m). Координатные элементы симметрии. Оси 3, идущие вдоль пространственной диагонали куба. Диагональные элементы симметрии. Средняя Тетрагональная 2 -я позиция 3 -я позиция Гексагональная Высшая Кубическая Пример записи символа группы
Символы Шенфлиса В этой системе приняты следующие обозначения: -одна вертикальная ось порядка n. - одна вертикальная ось порядка n и n перпендикулярных ей осей второго порядка. -набор осей симметрии кубического тетраэдра. -набор осей симметрии кубического октаэдра. -одна вертикальная зеркальноповоротная ось порядка n. -сочетание трех взаимноперпендикулярных осей 2 -го порядка. Кроме того, используются индексы: v – для обозначения вертикальных плоскостей симметрии, h - для обозначения горизонтальных плоскостей, и d- для обозначения диагональных плоскостей. Например - одна вертикальная ось порядка n и перпендикулярная ей плоскость симметрии.
Теоремы к выбору кристаллографических осей, правила установки Теорема 1. Оси симметрии совпадают или параллельны рядам пространственной решетки и являются действительными или возможными ребрами кристалла. Теорема 2. Нормали к плоскостям симметрии совпадают или параллельны рядам пространственной решетки и являются действительными или возможными ребрами кристалла. Следствия из теорем: • оси кристаллографических систем координат совпадают с осями симметрии; • оси кристаллографических систем координат располагаются перпендикулярно плоскостям симметрии, если недостаточно осей симметрии ; • при малом числе элементов симметрии оси кристаллографических систем координат располагаются вдоль действительных или возможных ребер кристалла.
Теорема 1. Оси симметрии совпадают или параллельны рядам пространственной решетки и являются действительными или возможными ребрами кристалла. Доказательство для оси симметрии четного порядка : Пусть A – ближайший к оси узел, а B –узел, лежащий на произвольном расстоянии. Т. к. ось симметрии четного порядка всегда содержит в себе ось2 , то узлы A и B перейдут в узлы A` и B`. По свойству оси симметрии два узловых ряда AA` и BB` параллельны другу. Поэтому отношение n=BB`/ AA` всегда целое число. Для числа n возможны два случая: n - четное, тогда узел D лежит на оси 2; n - нечетное, тогда отрезок DD` делится осью 2 пополам В первом случае узел D образует с узлами A и A` ряды пространственной решетки. Во втором случае узел D является, как и узел A ближайшим к оси узлом решетки.
Теорема 2. Нормали к плоскостям симметрии совпадают или параллельны рядам пространственной решетки и являются действительными или возможными ребрами кристалла. m Узел A после отражения в плоскости симметрии образует A` с узловой ряд AA` , отрезок AA` m по свойству плоскости зеркального отражения.
Правила установки кристаллов включают в себя ориентацию кристаллографических осей относительно элементов симметрии и выбор единичной грани для каждой сингонии. Выбор единичной грани тождественен выбору единичных отрезков a, b и c вдоль каждой кристаллографической оси OX, OY и OZ. Категории Сингонии Выбор координатных осей Низшая Триклинная Три действительных или возможных ребра кристалла. Моноклинная Ось Y – ось 2 или m, оси X и Z – два действительных или возможных ребра кристалла, лежащих в плоскости m или оси 2. Ромбическая Три оси 2 или одна ось 2 и два m. Средняя Тригональная Тетрагональная Ось Z – ось симметрии высшего порядка, перпендикулярная плоскости XY. Оси X и Y – две оси 2 или m. Гексагональная Высшая Кубическая Три взаимно перпендикулярных оси 4, или 2.
Кристаллографические символы узлов, направлений и граней Знание класса симметрии не всегда однозначно описывает кристалл. Одному и тому же виду симметрии могут соответствовать кристаллы с различным расположением граней. Пример для тетрагональной призмы и дипирамиды, которые имеют один и тот же класс симметрии Для описания расположения граней в пространстве используются кристаллографические индексы граней. Индицирование граней проводят на основе закона отношения параметров. рациональности
Закон рациональности отношения параметров(закон целых чисел, закон Гайюи) Двойное отношение параметров, которые отсекаются двумя произвольными гранями на трех пересекающихся ребрах кристалла, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел. Отрезки, отсекаемые гранями на ребрах, называются параметрами граней. -целые числа. малые числа
Скачать презентацию Описание точечных групп Существует несколько систем обозначения видов
Крист_лк7.ppt