ОПІР МАТЕРІАЛІВ Семестр - 1 Лекція - 9 Основи теорії напруженого і деформованого стану твердого тіла проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р.
ЗМІСТ ЛЕКЦІЇ q Розділ 3. Основи теорії напруженого і деформованого стану твердого тіла Ø 3. 12 Узагальнений закон Гука Ø 3. 13 Повна система рівнянь пружності Ø 3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 2
3. 12 Узагальнений закон Гука До цих пір напружений стан і деформований стан тіла розглядалися незалежно один від одного і не пов’язувалися з властивостями матеріалу. Одержані при цьому співвідношення можна застосовувати до будь-яких суцільних тіл (пружних, пластичних, в’язких, однорідних, неоднорідних, твердих, газоподібних, рідких), так як ці співвідношення уявляють собою або рівняння статики, або рівняння геометрії. Тепер необхідно з’ясувати залежності, які пов'язують деформації з напруженнями – це вже задача фізики, в якій враховується поведінка реальних тіл. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 3
3. 12 Узагальнений закон Гука, продовження При експериментальному дослідженні розтягання зразка були встановлені залежності для повздовжніх і поперечних деформацій. Кінцева форма проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 4
3. 12 Узагальнений закон Гука Встановимо залежності між деформаціями і напруженнями в загальному випадку об’ємного напруженого стану. Розглянемо деформацію елемента тіла у вигляді прямокутного паралелепіпеда. По граням паралелепіпеда діють головні напруження (припускаємо, що всі вони додатні). Позначимо через 1, 2, 3 відносні деформації ребер паралелепіпеда, які паралельні відповідним напруженням проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 5
3. 12 Узагальнений закон Гука Значення 1, 2, 3 будемо визначати за принципом незалежності дії сил шляхом послідовного розгляду впливу кожного з головних напружень. В результаті дії головного напруження 1 головні деформації будуть мати вигляд: Перший індекс вказує напрямок відносної деформації, а другий – на джерело деформації. Так, наприклад, 21 є відносною деформацією у напрямку дії напруження 2 викликаною напруженням 1. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 6
3. 12 Узагальнений закон Гука Аналогічно від дії напружень 2 та 3 одержуємо Відносні деформації, які викликані одночасним впливом напружень 1, 2 та 3 дорівнюють проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 7
3. 12 Узагальнений закон Гука Після заміни відносних деформацій їх виразами останні формули приймуть такий вигляд Аналогічні формули можна одержати і для випадків, коли грані елементарного паралелепіпеда не співпадають з головними площадками (тобто коли на цих гранях крім нормальних напружень діють і дотичні напруження). проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 8
3. 12 Узагальнений закон Гука Для згаданих випадків формули мають вигляд Існує залежність між константами G, Е, . Одержані вирази встановлюють зв’язок між деформаціями і напруженнями при трьохвісному напруженому стані, звуться узагальненим законом Гука. Дані рівняння дійсні при напруженнях, які не перевищують границі пропорційності матеріалу. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 9
3. 12 Узагальнений закон Гука можна представити ще в такому вигляді: проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 10
3. 12 Узагальнений закон Гука Дія зовнішніх сил – не єдина причина утворення в твердому деформівному тілі внутрішніх напружень та деформацій. Вони виникають і під дією інших факторів, наприклад, теплових впливів, які викликають зміну лінійних розмірів тіла, що призводить до появи лінійних деформацій. Зміна температури викликає зміну лінійних деформацій, кутові деформації при цьому не виникають. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 11
3. 12 Узагальнений закон Гука з урахуванням температури має вигляд: ; ; проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 12
3. 13 Повна система рівнянь пружності ; ; Рівняння, що виражають узагальнений закон Гука, разом із статичними та кінематичними залежностями формують замкнену систему рівнянь. Розв’язуючи її, можна знайти всі компоненти напруженого та деформованого станів ідеального пружного тіла довільної форми при довільному навантаженні. Підлягають визначенню п’ятнадцять величин. Шість компонентів тензора напружень, шість компонентів тензора деформацій та три компоненти вектора переміщень. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 13
3. 13 Повна система рівнянь пружності Для визначення цих компонентів використати п’ятнадцять рівнянь: можна • Три рівняння рівноваги; • Шість кінетичних рівнянь Коші; • ; ; Шість фізичних рівнянь (узагальнений закон Гука). Наведені 15 рівнянь являють собою систему диференціальних рівнянь, яку треба розв’язувати з урахуванням граничних умов. Константи E, G та знаходять експериментально. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 14
3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації В результаті прикладання до деформівного тіла зовнішніх навантажень його точки отримують переміщення, на яких прикладені сили здійснюють роботу. ; ; Ця робота, у відповідності до закону збереження енергії, переходить в інші види енергії. Якщо знехтувати розсіюванням енергії, пов’язаним з тепловими втратами та іншими причинами, через їх малість, то при пружних деформаціях робота (А), яка здійснюється зовнішніми навантаженнями, перетворюється в потенціальну енергію пружної деформації (U). A=U проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 15
3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження В межах пружної деформації між зовнішньою силою та переміщенням, яке ця сила викликає, діє лінійна залежність. ; Робота дорівнює половині добутку сили на переміщення. ; Робота нормальних та дотичних сил проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 16
3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження У загальному випадку навантажування тіла по граням елементарного паралелепіпеда з розмірами ребер dx, dy, dz будуть діяти як нормальні, так і дотичні напруження. Потенціальна енергія, яка накопичується в елементі підчас деформування тіла, буде дорівнювати сумі робіт зовнішніх для виділеного елемента нормальних сил ; ; на видовження ребер паралелепіпеда і дотичних напружень на відповідних переміщеннях проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 17
3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження Таким чином, потенціальна енергія здеформованого пружного тіла має такий вигляд Питома потенціальна енергія, тобто енергія в одиниці об'єму елемента, буде дорівнювати Якщо використати узагальнений закон Гука і записати деформації через напруження, то одержимо проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 18
3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження При деформації елемента тіла змінюється як його об’єм, так і форма. Виходячи з цього, можна припустити, що повну питому потенціальну енергію деформації можна представити у вигляді такої суми ; ; де uф – питома потенціальна енергія формозміни, тобто енергія, яка накопичується за рахунок зміни форми елемента; uv – питома потенціальна енергія зміни об’єму, тобто енергія, яка накопичується за рахунок зміни об’єму. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 19
3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження Поділ внутрішньої потенціальної енергії на дві вказані складові є умовним і здійснюється таким чином. Припустимо, що напружений стан у точці тіла задається тензором напруження ; ; Представимо цей тензор у вигляді суми двох тензорів: де T 0 - шаровий тензор, а D 0 - девіатор напруженого стану. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 20
3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 21
3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження Представлення тензора напружень у вигляді суми двох тензорів – теж саме, що представлення даного напруженого стану через суму двох напружених станів. Питома потенціальна енергія деформації при усесторонньому розтяганні з напруженням m визначається з рівняння: Питома потенціальна енергія формозміни визначається так: проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 22
ДЯКУЮ ЗА УВАГУ! проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 9, 2009 -2010 н. р. 23