ОПІР МАТЕРІАЛІВ Семестр - 1 Лекція – 12 Кручення
ЗМІСТ ЛЕКЦІЇ q Розділ 5. Кручення. 5. 1 Кручення стержнів круглого перерізу n 5. 1. 1 Напруження і деформації n 5. 1. 2 Умови міцності й жорсткості при крученні вала з круглим поперечним перерізом n 5. 1. 3 Розрахунок валів на міцність і жорсткість при кручені n 5. 1. 4 Аналіз напруженого стану і руйнування 5. 2 Кручення стержнів з некруглим перерізом проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 2
Розділ 5. Кручення Під крученням розуміють такий вид навантаження, при якому з шести компонентів головного вектора і головного моменту в поперечних перерізах стержня діє тільки момент кручення. На характер напружено-деформованого стану стержнів суттєво впливає форма поперечного переріза. У зв'язку з цим стержні, що закручуються, прийнято класифікувати за формою поперечного переріза: суцільні, тонкостінні замкнутого профілю, тонкостінні відкритого профілю. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 3
5. 1 Кручення стержнів круглого перерізу 5. 1. 1 Напруження і деформації Теорія кручення стержнів з круглим суцільним або кільцевим перерізом ґрунтується на таких положеннях: • Матеріал повинен бути однорідним; • Матеріал є пружним і відповідає закону Гука; • Напруження не перевищує границю пружності або границю пропорційності; • Поперечні перерізи стержня плоскі і нормальні до його осі перед деформацією, залишаються плоскими і нормальними до осі і після деформування стержня (гіпотеза плоских перерізів). Перерізи лише обертаються на деякі кути навколо цієї осі. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 4
5. 1. 1 Напруження і деформації • Радіуси поперечних перерізів не викривляються і зберігають свою довжину; • Відстань вздовж осі стержня між поперечними перерізами не змінюється (σх = 0); • Бокова поверхня стержня вільна від навантаження. Формули, які були отримані на основі цих припущень, збігаються з формулами, які були отримані за допомогою більш точних методів теорії пружності та підтверджені експериментально. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 5
5. 1. 1 Напруження і деформації Припустимо, що на круглий суцільний стержень діє зовнішній момент T. Моменти кручення, які виникають у поперечних перерізах стержнів, визначаються через зовнішні моменти кручення за допомогою методу перерізів. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 6
5. 1. 1 Напруження і деформації • Розглянемо прямий стержень з круглим поперечним перерізом, який навантажено моментом кручення. • У результаті дії моменту кручення кінцеві перерізи стержня обертаються навколо осі на кут , який уявляє собою повний кут закручування на довжині L. • Звідси отримуємо або • Тобто деформація зсуву у певній точці перерізу є пропорційною до кута закручування та радіуса. та проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 7
5. 1. 1 Напруження і деформації • Помножуємо ліву та праву частини на модуль G, • Із закону Гука, , або • З останнього випливає, що дотичні напруження також змінюються за лінійним законом в залежності відстані до центру ваги перерізу. • Таким чином дотичні напруження визначаються з формул полярний момент опору проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 8
5. 1. 1 Напруження і деформації Із закону Гука, Звідси отримаємо формулу абсолютного кута закручування довжиною L для визначення круглого стержня Введемо поняття про відносний кут закручування: Тоді проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 9
5. 1. 2 Умови міцності й жорсткості при крученні вала з круглим поперечним перерізом • Умова міцності - допустиме дотичне напруження • Умови жорсткості: - допустимий відносний кут закручування проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 10
5. 1. 3 Розрахунок валів на міцність і жорсткість при кручені При проектуванні можна рекомендувати такий порядок розрахунку на міцність і жорсткість при крученні: • за схемою вала і моментами кручення будують епюри крутних моментів; • добирають матеріал для вала і визначають допустиме напруження; • записують умову міцності для відрізка вала з максимальним значенням крутного моменту Для суцільного вала проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 11
5. 1. 3 Розрахунок валів на міцність і жорсткість при кручені Для порожнистого вала спочатку задаються співвідношенням внутрішнього та зовнішнього діаметрів потім знаходять зовнішній діаметр вала Визначивши розміри вала з умови міцності, перевіряють вал на жорсткість. Допустиму відносну жорсткість вала, яка характеризується відносним кутом закручування [ ], вибирають залежно від умов навантаження. Якщо при перевірці виявиться, що умова жорсткості виконується, то розрахунок закінчують. Інакше розміри вала треба добирати з умови жорсткості. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 12
5. 1. 3 Розрахунок валів на міцність і жорсткість при кручені З умови жорсткості отримаємо Підставляючи полярний момент інерції, знайдемо для суцільного вала для трубчастого вала - статичне навантаження; - змінне навантаження; проф. С. М. Шукаєв - ударне навантаження Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 13
5. 1. 4 Аналіз напруженого стану і руйнування • В елементі матеріалу (a), уявно виділеного із зовнішніх шарів матеріалу вала перерізами, паралельними та перпендикулярними до твірної циліндричного вала, по гранях діятимуть тільки дотичні напруження. • В перерізах елемента (b), нахилених до осі, діятимуть також і нормальні напруження. • Найбільші нормальні напруження діють на головних площадках, елемента (с), які нахилені під кутом 45 o до осі валу, • На двох гранях елементу c діють розтягуючи головні напруження, а на двох інших стискаючи напруження. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 14
5. 1. 4 Аналіз напруженого стану і руйнування а b проф. С. М. Шукаєв • Отже, при крученні круглих валів небезпечними можуть бути як дотичні напруження в поперечних та поздовжніх перерізах вала, так і нормальні напруження, що виникають в площадках під кутом 450 до перших. • У зв'язку з цим характер руйнування вала при крученні залежатиме від здатності матеріалу протидіяти дотичним (a) і нормальним напруженням (b). • a – руйнування пластичних матеріалів (сталеві вали); • b – руйнування крихких матеріалів (чавун). Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 15
5. 2 Кручення стержнів з некруглим перерізом В інженерній практиці часто кручення зазнають стержні некруглих поперечних перерізів (прямокутних, трикутних, еліптичних і т. ін. ) У цих випадках гіпотеза плоских перерізів не може бути застосована, оскільки перерізи викривляються, тобто відбувається їх депланація. Точні розрахунки стержнів некруглого перерізу можна здійснити методами теорії пружності. Наведемо деякі остаточні результати. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 16
5. 2 Кручення стержнів з некруглим перерізом Формули для розрахунків: WК– момент опору при крученні; IК – момент інерції при крученні. Тільки для круглого перерізу Для інших перерізів WК і IК знаходять за довідником. Для прямокутного перерізу (h>b) Коефіцієнти і - за таблицею в залежності від проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 17
ДЯКУЮ ЗА УВАГУ! проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 12, 2009 -2010 18