ОПІР МАТЕРІАЛІВ Семестр — 1 Лекція 10

ОПІР МАТЕРІАЛІВ Семестр - 1 Лекція – 10 Питома потенціальна енергія пружної деформації проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009

ЗМІСТ ЛЕКЦІЇ q Розділ 3. Основи теорії напруженого і деформованого стану твердого тіла Ø 3. 13 Повна система рівнянь пружності. Ø 3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації q Розділ 4. Розрахунки на міцність. Критерії міцності Ø 4. 1 Методи розрахунків. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 2

3. 13 Повна система рівнянь пружності ; ; Рівняння, що виражають узагальнений закон Гука, разом з статичними та кінематичними залежностями формують замкнуту систему рівнянь. Розв’язуючи її, можна знайти всі компоненти напруженого та деформованого станів ідеального пружного тіла довільної форми за довільних навантажень. Підлягають визначенню п’ятнадцять величин: шість компонент тензора напружень, шість компонент тензора деформацій та три компоненти вектора переміщень. Для їх визначення можна використовувати п’ятнадцять рівнянь: • Три рівняння рівноваги; • Шість кінетичних рівнянь Коші; • Шість фізичних рівнянь -узагальнений закон Гука. Наведені рівняння являють собою систему диференціальних рівнянь, яку треба розв’язувати з урахуванням граничних умов. Константи E, G та знаходять експериментально. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 3

3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації В результаті прикладання до деформівного тіла зовнішніх навантажень його точки отримують переміщення, на яких прикладені сили здійснюють роботу. ; ; Ця робота, у відповідності до закону збереження енергії, переходить в інші види енергії. Якщо знехтувати розсіюванням енергії, пов’язаним з тепловими втратами та іншими причинами, через їх малість, то при пружних деформаціях робота (А), яка здійснюється зовнішніми навантаженнями, перетворюється в потенціальну енергію пружної деформації (U). A=U проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 4

3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження В межах пружної деформації між зовнішньою силою та переміщенням, яке ця сила викликає, діє лінійна залежність. ; Робота дорівнює половині добутку сили на переміщення. ; Робота нормальних та дотичних сил проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 5

3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження У загальному випадку навантажування тіла по граням елементарного паралелепіпеда з розмірами ребер dx, dy, dz будуть діяти як нормальні, так і дотичні напруження. Потенціальна енергія, яка накопичується в елементі підчас деформування тіла, буде дорівнювати сумі робіт зовнішніх для виділеного елемента нормальних сил ; ; на видовження ребер паралелепіпеда і дотичних напружень на відповідних переміщеннях проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 6

3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження Таким чином, потенціальна енергія здеформованого пружного тіла має такий вигляд Питома потенціальна енергія, тобто енергія в одиниці об'єму елемента, буде дорівнювати Якщо використати узагальнений закон Гука і записати деформації через напруження, то одержимо проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 7

3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження При деформації елемента тіла змінюється як його об’єм, так і форма. Виходячи з цього, можна припустити, що повну питому потенціальну енергію деформації можна представити у вигляді такої суми ; ; де uф – питома потенціальна енергія формозміни, тобто енергія, яка накопичується за рахунок зміни форми елемента; uv – питома потенціальна енергія зміни об’єму, тобто енергія, яка накопичується за рахунок зміни об’єму. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 8

3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження Поділ внутрішньої потенціальної енергії на дві вказані складові є умовним і здійснюється таким чином. Припустимо, що напружений стан у точці тіла задається тензором напруження ; ; Представимо цей тензор у вигляді суми двох тензорів: де T 0 - шаровий тензор, а D 0 - девіатор напруженого стану. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 9

3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 10

3. 14 Питома потенціальна енергія пружної деформації, продовження Представлення тензора напружень у вигляді суми двох тензорів – теж саме, що представлення даного напруженого стану через суму двох напружених станів. Питома потенціальна енергія деформації при усесторонньому розтяганні з напруженням m визначається з рівняння: Питома потенціальна енергія формозміни визначається так: проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 11

Розділ 4. Розрахунки на міцність. Критерії міцності Лінія руйнування проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 12

4. 1 Методи розрахунків Після визначення всіх компонент напруженого і деформованого стану необхідно дати вірну оцінку одержаних величин з точки зору безпечності роботи конструкції, тобто оцінити міцність і жорсткість конструкції. УМОВИ ЖОРСТКОСТІ. Нагадаємо, що під жорсткістю розуміють здатність конструкції та її елементів протистояти зовнішнім навантаженням, не змінюючи форми і розмірів. Жорсткість конструкції оцінюється шляхом порівняння отриманих максимальних переміщень із заданими нормативними значеннями. Для конкретних деформацій умови міцності записуються так: umax uгр fmax fгр φmax φгр проф. С. М. Шукаєв – для осьових деформацій; – для згинання; – для кручення. Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 Розрахунки на жорсткість завжди доповнюють розрахунками на міцність! 13

4. 1 Методи розрахунків, продовження УМОВИ МІЦНОСТІ Методи розрахунків на міцність: • за допустимими напруженнями; • на несучу здатність. Вони відрізняються визначенням граничного стану конструкції, який приймається за небезпечний. Розрахунок за допустимим напруженнями передбачає роботу матеріалу деталі тільки в умовах пружного навантаження. Розрахунок на несучу здатність допускає появу пластичних деформацій. В машинобудуванні найбільш поширеним є розрахунок за допустимими напруженнями. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 14

4. 1 Методи розрахунків, продовження Допустимі напруження [ ] становлять деяку частку від небезпечних (граничних) напружень. Для пластичних матеріалів такими небезпечними (граничними) напруженнями є границя текучості т. Для крихких матеріалів небезпечним напруженням є границя міцності в. Отже, для допустимого напруження маємо Величина коефіцієнта запасу n залежить від багатьох факторів: від умов експлуатації конструкції, строку служби, виду зусиль, характеру навантажень. проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 15

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ! проф. С. М. Шукаєв Опір матеріалів, Лекція № 10, 2008 -2009 16