ØПеременная величина ØФункция ØПредел функции ØОсновные теоремы о

ØПеременная величина ØФункция ØПредел функции ØОсновные теоремы о пределах ØВычисление пределов

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. В противном случае она называется постоянной. Переменные величины: x, y, z, u Постоянные величины: a, b, c

Множество всех числовых значений переменной величины называется Областью изменений этой переменной. Например: областью изменений переменной x=cosα, для всевозможных α есть отрезок [-1; 1], т. е. -1≤ x ≤ 1

Окрестностью данной точки Х 0 называется произвольный интервал (a; b), содержащий эту точку внутри себя. a x 0 b X Часто рассматривается ε- окрестность т. Х 0, когда т. Х 0 является Центром окрестности. ε x 0 -ε ε x 0+ε x 0 X В этом случае число ε>0 называется радиусом ε-окрестности, (x -ε; x +ε ) 0 0

В случае, когда известны и область изменения переменной Х, и порядок, в котором она принимает свои числовые значения, будем иметь дело с упорядоченной переменной величиной. Например: 1. Переменная величина есть числовая последовательность Хn= 1/n , nЄN, или 1; 1/2; 1/3; 1/4; … 2. Арифметическая прогрессия 3. Геометрическая прогрессия

Переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х из множества Х ставится в соответствие по некоторому правилу одно определенное значение у из множества значений Y. x - независимая переменная, аргумент у – функция (зависимая переменная) X, D(y) - область определения функции Y, E(y) - множество значений функции Обозначения для функции: y; y(x); f(x); F(x); φ(x)

У b 0 a x Число b называется пределом функции y=f(x) при x, стремящимся к а, если для любого ε>0 существует δ(ε)>0 такое, что для всех х≠a, удовлетворяющих неравенству: |x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x)-b|< ε. число f(x)→b при х→а lim f(x)=b x→a

Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Х такою, что для всех х из этой окрестности, кроме, быть может х=а, соответствующие значения у лежат в ε- окрестности точки b. У b+ε b b-ε 0 a-δ а а+δ X

Функция f(x) называется бесконечно малой, при х→а (х→∞), если: limf(x)=0 х→а (х→∞) Например: limsinx=0, х→ 0 lim(1/x)=0, х→∞ функции sinx (х→ 0) и 1/х (х→∞) есть бесконечно малые.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. 1. 2. Функция, обратная по величине бесконечно большой, есть бесконечно малая. Функция f(x), обратная по величине бесконечно малой, отличная от 0, есть бесконечно большая, т. е. limf(x)=∞ х→а

Если существует limf(x) и limg(x), то: x→а 1. lim(f+g)= limf + limg x→а 2. lim(fg)= limf limg x→а x→а 3. lim(f/g)= limf / limg , limg(x)≠ 0 4. lim. Cf(x)= Climf(x) , C= const. x→а x→а x→а

1. Некоторые наиболее употребительные пределы функций. lim(sinx/x)=1 x→ 0 - первый замечательный предел lim(1/x)= ∞ x→ 0 lim(1/x)= 0 n→∞ lim q n 0 , |q|<1, n Є N = x→∞ lim √x = √a , a>0 x→а lim. C=C , C=const x→а

2. Пределы непрерывных функций. Функция f(x) называется непрерывной в т. х0 , если x→x 0 lim f(x) = f(x 0) Отсюда следует правило для вычисления пределов непрерывных функций. К непрерывным в их области определе- ния относятся все известные элементарные функции, а также многочлены. Например: 1. lim cosх= cos 0 = 1 x→ 0 2. lim arcsin. X= arcsin 1 = /2 x→ 1 3. lim e x = e 0= 1 x→ 0 4. lim (x 3 - 2 x 2 - 1) = 8 -8 -1= -1 x→ 2

3. Пределы сложных функций. Пусть у=F(u(x)), т. е. у – сложная функция. Если F(u) и u(x) – известные элементарные функции, то: lim F(u(x)) = F(limu(x)) x→a

Примеры пределов сложных функций 1. 2. (x→∞) x→ 0 x→ 0 (x→∞)