Операторы физических величин Постулат. Физической величине

Операторы физических величин

Постулат. Физической величине можно поставить в соответствие определенный линейный эрмитовый оператор , такой что функция ψ(q) тогда и только тогда является волновой функцией состояния системы с определенным равным f значением нашей величины, когда эта функция является однозначным конечным непрерывно дифференцируемым нетривиальным решением уравнения на собственные состояния этой физической величины Уравнение (*) имеет однозначные конечные непрерывно дифференцируемые нетривиальные решения => f – допустимое значение величины, а сами решения – волновые функции состояний, в которых наша величина имеет определенное значение, равное f. Уравнение (*) не имеет ни одного однозначного конечного непрерывно дифференцируемого нетривиального решения => это ее значение является недопустимым

Импульс -однозначная конечная непрерывно дифференцируемая функция любое значение проекции импульса является допустимым. Другими словами, спектр проекции импульса на ось х является непрерывным и простирается от минус до плюс бесконечности Существует бесконечно много физически различных состояний, в которых проекция импульса имеет одно и то же определенное значение. - Волновые функции физически различных состояний, в которых px имеет одно и то же определенное значение

Момент импульса

- координаты одной и тойже точки в пространстве (*) – однозначная функция точки в пространстве тогда и только тогда, когда

Надо определить является ли допустимой комбинация значений f и g (существует ли общее собственное состояние величин, в котором величины одновременно имеют такие определенные значения) Ψ(q) – волновая функция с определенны значением f величины 1 уравнение на собственные состояния величины 1 имеет однозначные конечные непрерывно дифференцируемые нетривиальные решения. Ψ(q) – волновая функция с определенны значением g величины 2 уравнение на собственные состояния величины 1 имеет однозначные конечные непрерывно дифференцируемые нетривиальные решения. Ψ(q) – волновая функция состояния, с определенными значениями f и g величин 1 и 2 система уравнений имеет однозначные конечные непрерывно дифференцируемые решения

Задача. Определить допустимые комбинации значений двух проекций импульса и волновые функции их общих собственных состояний. - допустимая комбинация имеет однозначные конечные непрерывно дифференцируемые нетривиальные решения. - Волновые функции общих собственных состояний px и py (таких состояний бесконечно много)

Имеет однозначные конечные непрерывно дифференцируемые нетривиальные решения только в одном случае, когда Lx=Ly=0 Существует только одна единственная допустимая комбинация {Lx=0, Lx=0}. Две проекции момента импульса не являются одновременно измеримыми

Теорема. Две физические величины являются одновременно измеримыми тогда и только тогда, когда коммутируют их операторы величины являются одновременно измеримыми величины не являются одновременно измеримыми

Задача. Определить являются ли одновременно измеримыми две проекции импульса на координатные оси. Две проекции импульса являются одновременно измеримыми

Задача. Определить являются ли одновременно измеримыми координата х и проекция импульса px Координата и импульс не являются одновременно измеримыми Домашнее задание. Доказать, что проекции момента импульса не являются одновременно измеримыми.

- одновременно измеримые Если f – допустимое значение, то обязательно существует хотя бы одна допустимая комбинация со значением величины g (существует хотя бы одно собственное состояние значения f, в котором величина g также имеет определенное значение). Перебрав все допустимые комбинации одновременно измеримых величин найдем их спектры.

Задача. Найти допустимые значения квадрата момента импульса частицы. Данное значение L 2 квадрата момента является допустимым тогда и только тогда, когда найдется хотя бы одно допустимое значение z-компоненты Lz такое, чтобы система из уравнений на собственные состояния L 2 и Lz имела решения, удовлетворяющие стандартным требованиям к волновой функции

- присоединенная функция Лежандра

Спектр проекции квадрата момента импульса является дискретным:

px и py – одновременно измеримы, но не образуют полный набор Три проекции импульса образуют одновременно измеримую совокупность Любая комбинация трех проекций импульса является допустимой. 1) Три проекции импульса являются одновременно измеримыми; 2) Состояние с определенным значением p является единственным - Полный набор физических величин => из собственных состояний импульса можно сформировать базис

- Полная вероятность результата измерения px

Теорема. Среднее значение физической величины f в состоянии с волновой функцией ψ(q) можно вычислить с помощью выражения