ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Интеграл Лапласа. Аналитичность изображения Рассмотрим функцию f(t) вещественной переменной t, при этом будем предполагать выполнение следующих условий: • функция f(t) непрерывна для всех значений t ≥ 0, кроме конечного числа точек, в которых она может иметь разрывы непрерывности первого рода; • функция f(t) ≡ 0 для всех значений t < 0; • функция f(t)имеет ограниченный порядок возрастания.
Последнее условие означает, что можно указать такие постоянные числа M > 0 и c 0 > 0, при которых выполняется неравенство Величина c 0 является показателем роста функции f(t). Функция f(t), удовлетворяющая всем поставленным условиям, называется оригиналом. Если хотя бы одно из перечисленных условий не будет выполняться, функция f(t) не будет являться оригиналом. Функция F(p) комплексного переменного p = c + j , определяемая равенством (1)
называется изображением функции f(t) по Лапласу, а интеграл (1) – интегралом Лапласа. С помощью интеграла Лапласа устанавливается соответствие между оригиналом f(t) и его изображением F(p). Процесс получения изображения F(p) по заданному оригиналу f(t) называется преобразованием Лапласа. Символически преобразование Лапласа записывается так: (2) Если функция f(t) соответствует изображение F(p), то это изображается так: (3)
Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существует предел где ε → +0 означает правый предельный переход. Теорема 1. Если функция f(t) является оригиналом, то эта функция преобразуема по Лапласу и ее изображение F(p) определено в полуплоскости Rep > c 0, где c 0 – показатель роста функции f(t). Следовательно, функция f(t), являющаяся оригиналом, преобразуема по Лапласу и ее изображение F(p) определено в части плоскости комплексного переменного p, находящейся правее прямой, параллельной мнимой оси и проходящей на расстоянии c 0 от нее.
Интеграл Лапласа является не только сходящимся, но и абсолютно сходящимся. Поэтому число c 0 называется абсциссой абсолютной сходимости интеграла Лапласа. Теорема 2. Изображение F(p) оригинала f(t) в полуплоскости, для которой Rep > c 0 , где c 0 – показатель роста оригинала, является аналитической функцией.
Примеры изображений некоторых оригиналов • Пример 1. Найти изображение единичной ступенчатой функции 1(t) В соответствии с формулой (1): Абсцисса сходимости для f(t) = 1(t) c 0 = 0. Изображение имеет особую точку – полюс при p = 0. При p > 0 изображение будет аналитической функцией.
• Пример 2. Найти изображение функции где α – вещественное или комплексное число. По формуле (1): Абсцисса сходимости для c 0 = α. • Пример 3. Найти изображение функции f(t) = t. По формуле (1): ,
Обратное преобразование Лапласа. Формула обращения Для перехода от изображения F(p) к соответствующему оригиналу f(t) необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа. Теорема 8. 3. Оригинал f(t) в точках непрерывности определяется равенством (4) где F(p) - изображение по Лапласу оригинала f(t), а интеграл понимается в смысле его главного значения, то есть
и берется вдоль прямой, параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости. Формула (4) называется формулой обращения. С ее помощью устанавливается связь между изображением F(p) и соответствующим ему оригиналом f(t). Процесс получения оригинала по заданному изображению называется обратным преобразованием Лапласа и символически обозначается так: при t > 0.
Условие t > 0 указывает на то, что при t < 0 f(t) ≡ 0. Следует подчеркнуть, что формула (4) определяет оригинал только в ночках его непрерывности. Однако оригинал может иметь разрывы непрерывности первого рода. В точках разрыва для оригинала имеет место соотношение: где – значения оригинала слева и справа от точки разрыва.
Вывод. Формула обращения определяет оригинал f(t) по изображению F(p) с точностью до значений в точках разрыва непрерывности. Оригиналу всегда соответствует единственное изображение, которое может быть определено по формуле (1), т. к. значения оригинала в точках разрыва не изменяют изображения. Однако одному и тому же изображению может соответствовать множество оригиналов, значения которых отличаются друг от друга в точках разрыва непрерывности. Если оригинал является дифференцируемой функцией на интервале 0 < t < ∞, то оригинал по заданному изображению определяется однозначно.
Свойства преобразования Лапласа • 1. Теорема 4 (линейности) Если функции являются оригиналами и их изображения есть соответственно и если – величины, не зависящие от t и p, то (5) (6)
• Пример 4. Найти изображения по Лапласу функций sin t, cos t. Т. к. , то Из примера 2 Тогда по теореме линейности (формуле (5)):
Аналогично Таким образом, Теоремы смещения в области оригиналов и в области изображений. Изменение масштабов • 2. Теорема 5 (запаздывания). Если функция f(t) является оригиналом, а F(p) - его изображение, то изображение смещенного оригинала f (t – τ), где τ положительное число, определяется равенством (7)
• Пример 5. Найти изображение функции Т. к. то Тогда, согласно теореме запаздывания, то есть, по формуле (7), получим (8)
Часто встречаются оригиналы, составленные из линейных функций, различных на разных участках (кусочно-линейные оригиналы). Аналитически такой оригинал может быть задан в виде где ti – точки разрыва функции f(t) или ее производной; i = 1, 2, . . . , n – номер точки разрыва. Точка t 0 = 0 входит в число точек разрыва, если f(0+0) ≠ 0 или f'(0+0) ≠ 0. Легко показать, что изображение данного оригинала можно записать в виде суммы (9)
(10) (11) Для определения коэффициента наклона ki и смещения bi удобно пользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки: (12) • Пример 6. Найти изображение функции f(t), заданной графически
Здесь Функцию f(t) представим в виде где По формуле (12) определим параметры прямых f 1(t), f 2(t) и f 3(t) :
отсюда По формулам (10) и (11) рассчитаем коэффициенты Ai, B i:
Окончательно, в соответствии с формулой (9), изображение функции f(t) будет иметь вид:
• 3. Теорема 6 (смещения). Если функция f(t) является оригиналом, а F(p) – его изображение, и если a – любое комплексное число, то справедливо равенство (13) Из теоремы 6 следует, что умножение оригинала на экспоненциальную функцию приводит к смещению особых точек и нулей изображения. • Пример 7. Найти изображения функций и , если – положительное число. Из примера 4 известно, что тогда по формуле (13)
(14) (15) • 4. Теорема 7 (об изменении масштаба). Если функция f(t) является оригиналом, а F(p) – его изображение, и если a – любое положительное число то справедливо равенство (16) Формула (16) характеризует изменение изображения оригинала, если в оригинале изменяется масштаб изображения.
Дифференцирование оригиналов и изображений • Дифференцирование оригиналов • 5. Теорема 8. Если функция f(t) является оригиналом, а F(p) - его изображение, то справедливо равенство (17) где – начальное значение f(t). Если положить начальное значение f(t) равным нулю, то из формулы (17) получится выражение то есть операция дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях соответствует операции умножения изображения оригинала на оператор Лапласа p.
Для производных высших порядков имеет место равенство (18) Теорема 8 широко применяется при решении линейных дифференциальных уравнений операторным методом. • Пример 8. Найти изображение уравнения Пусть тогда
Тогда, используя формулу (18), получим или Далее, осуществляя обратное преобразование Лапласа для полученного изображения Y(p), получают оригинал y(t). • Дифференцирование изображений • 6. Теорема 9. Если функция f(t) является оригиналом, а F(p) - его изображение, то справедливо равенство (19)
Таким образом, операция дифференцирования изображения по оператору p соответствует умножению оригинала на параметр t с изменением знака производной. Справедлива общая формула (20) • Пример 9. Найти изображение оригинала Т. к. то по формуле (19) получим
Интегрирование оригиналов и изображений Интегрирование оригиналов • 7. Теорема 10. Если функция f(t) является оригиналом, а F(p) - его изображение, то интеграл также является оригиналом и справедливо соотношение (21) Следовательно, операция интегрирования оригинала соответствует делению изображения оригинала на оператор Лапласа p. Применяется для решения интегральных уравнений.
Интегрирование изображений • 8. Теорема 11. Если функция f(t) является оригиналом, а F(p) - его изображение, то интеграл сходится и справедливо соотношение (22) • Пример 9. Найти изображение оригинала
Т. к. то по формуле (22) получим Начальное и конечное значения оригинала • 9. Теорема 12 (о начальном значении оригинала). Если функция f(t) и ее производная f'(t) являются оригиналами, а F(p) - изображение оригинала f(t), то при существовании предела справедливо равенство
(23) • 10. Теорема 13 (о конечном значении оригинала). Если функция f(t) и ее производная f'(t) являются оригиналами, а F(p) - изображение оригинала f(t) и если p∙F(p) является аналитической функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси, то (24) Теорема о конечном значении оригинала широко применяется в теории цепей, теории автоматического управления и других областях науки и техники. Она позволяет на основе динамики исследовать установившиеся (статические) режимы работы устройств и систем.
Свертка функций. Умножение в вещественной области. Пусть заданы две функции и , определенные на интервале. Введем новую функцию которую на зовем сверткой функций и. Символически свертка обозначается так: и читается: функция свертывается функцией. Для получения свертки следует: • в функциях и заменить переменную t на переменную ; • заменить в функции аргумент на - ;
• сместить функцию на величину t, то есть преобразовать в функцию ; • перемножить функции и ; • проинтегрировать получившееся произведение на интервале Совокупность перечисленных действий называется свертыванием функций и. Свертывание обладает следующими свойствами: • коммутативности: • ассоциативности: • дистрибутивности относительно сложения:
• 11. Теорема 14 (свертывание в области оригинала). Если и являются оригиналами и их изображения соответственно и , то справедливо равенство: (25) С точки зрения обратного преобразования Лапласа: (26) С помощью формулы (26) иногда оказывается очень удобным получить оригинал по известным изображениям.
• Пример 10. Найти оригинал, изображение которого имеет вид: Известно, что формулой (26), получим: Тогда, в соответствии с
Скачать презентацию ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Интеграл Лапласа. Аналитичность
опер_исчисл.ppt