ОПЕРАЦИИ ОПЕРАЦИЕЙ НАЗЫВАЮТ ФУНКЦИЮ ВСЕ АРГУМЕНТЫ И

ОПЕРАЦИИ.

ОПЕРАЦИЕЙ НАЗЫВАЮТ ФУНКЦИЮ, ВСЕ АРГУМЕНТЫ И ЗНАЧЕНИЯ КОТОРОЙ ПРИНАДЛЕЖАТ ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ МНОЖЕСТВУ. 1. ФУНКЦИЯ ОДНОГО АРГУМЕНТА У = (Х), ИМЕЮЩАЯ ТИП : М М НАЗЫВАЕТСЯ УНАРНОЙ ОПЕРАЦИЕЙ. ПРИМЕРЫ УНАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ: - ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ LN X, SIN X И Т. Д. -операция над множествами –

2. Функция двух аргументов z = (x, y), имеющая тип: М М М называется бинарной операцией. Примеры бинарных операций: - арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень; - операции над множествами: пересечение, объединение, разность; - композиция функций, отображений, отношений.

Свойства бинарных операций: - ассоциативна, если для любых a, b, c из М (a b) c=a (b c) (арифметические операции сложения и умножения, операции объединения и пересечения множеств, композиция отображений);

- комутативна, если для любых a и b из M a b=b a (арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств);

- дистрибутивна слева относительно операции , если для любых a, b, c a (b c) = (a b) (a c) и дистрибутивна справа относительно операции , если: (a b) c = (a c) (b c) (арифметические операции умножения дистрибутивны относительно операций сложения и вычитания слева и справа, но не наоборот, операции объединения и пересечения множеств дистрибутивны относительно друга и слева и справа).

Способы задания операций: 1. Унарные операции. перечислением или парой строк: = (a 1 b 1, …, an bn) - списком всех пар: = {(а 1, b 1), …, (an, bn)} - формулой: = ln a = b

2. Бинарные операции. Таблицей Кэли – для чего слева и сверху таблицы выписываются все значения аргументов a и b из множества М, а на пересечении строки, Соответствующей первому аргументу и столбца, соответствующего второму аргументу записывается результат операции. Например. Операция «сложение по модулю 3» на множестве М={0, 1, 2} и обозначаемая «mod 3» или (результат равен остатку от деления суммы первых двух слагаемых) может бать задана таблицей Кэли:

mod 3 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

Списком троек (а; в; с) Формулой: префиксная форма: φ(а, в)=с инфиксная форма: аφв=с Например: Σ(2; 3)=5 2+3=5

Упражнения. 1. Являются ли ассоциативными: а) бинарные арифметические операции; б) бинарные операции над множествами? а) Арифметические операции сложения и умножения ассоциативны, т. к. выполняются условия: (a+b)+c=a+(b+c); (a b) c=a (b c). Операции вычитания и деления неассоциативны, т. к. (a-b)-c a-(d-c); (a: b): c a: (b: c).

2. Проиллюстрировать на примерах некомутативность операций: а) возведение в степень на множестве N; б) композиции элементарных функций; в) композиции перестановок типа А А. а) бинарная операция возведения в степень некоммутативна; б) Пусть

3. Какими свойствами отличаются операции φ и φ1, заданные таблицей Кэли? φ a b φ1 a b a b a b

Пусть R 1 и R 2– бинарные отношения, определенные на множестве M = 1, 2, 3, 4 }. Показать на примере заданных ниже отношений не коммутативность операции композиции отношений, т. е. R 1 R 2 R 1, если: а) R 1 – «быть больше» , R 2 – «быть больше, по крайней мере на 2» ; б) R 1 – «делиться на 2» , R 2 – «иметь общий делитель, отличный от 1» .

ЗАДАНИЯ: 1. 2. Построить таблицы Кели для операций +, mod 2 на множестве М={2, 3, 4, 5} Определить свойства этих операций используя эти таблицы.