ОП. 1. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ МЕДИАНЫ

ОП. 1. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ C* − D* −D A B* A* B Анализ. Построение. 1. D*− СЕРЕДИНА [С*В*]. 1. D− СЕРЕДИНА [СВ]. 2. [A*D*] − МЕДИАНА. 2. [AD] − МЕДИАНА − изображение медианы.

ОП. 2. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЦЕНТРА ДАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ A* C* G O* E F H* G* E* F* O H D* B* B Анализ. Построение. 1. [AB] − произвольная хорда. 1. [A*B*] − произвольная хорда. 2. Хорда [CD] || [AB]. 2. Хорда [C*D*] || [A*B*]. 3. Точки E и F− середины [AB] и [CD]. 3. Точки E* и F*− середины [A*B*] и [C*D*]. 4. Через точки E и F проводим диаметр [H G]. 4. Через точки E* и F* проводим диаметр [H* G*]. 5. O − середина [H G] изображение центра 5. O* − середина [H* G*] центр окружности. окружности.

ОП. 3. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПАРЫ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫХ ДИАМЕТРОВ ОКРУЖНОСТИ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ A* A C C* E F O* E* O F* G* G D* B* B Построение. Анализ. 1. [AB] − произвольный диаметр эллипса. 1. [A*B*] − произвольный диаметр. 2. Хорда [CD] || [AB]. 2. Хорда [C*D*] || [A*B*]. 3. Точка E − середина [CD]. 3. Точка E* − середина [C*D*]. 4. Через точки E и О проводим диаметр [FG]. 4. Через точки E* и О* проводим диаметр [F*G*]. 5. Диаметры [FG] и [AB] − сопряженные диаметры эллипса. Они являются изображением взаимно перпендикулярных диаметров окружности.

ОП 4. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ В ДАННОЙ НА ОКРУЖНОСТИ ТОЧКЕ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ C* C ℓ A* ℓ* B* A D* D Анализ. Построение. Касательная в точке В*параллельна диаметру С *D*, перпендикулярному 1. В ─ произвольная точка эллипса. диаметру A*B*. 2. [AB] и [CD] ─ сопряжённые диаметры. (ОП. 7) 3. Касательная в точке В параллельна диаметру СD эллипса. .

ОП. 5. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ СЕРЕДИНЫ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ B C A* O* M * O M* C* A B* Анализ. Точка М* ─ середина хорды А*В*. Построение. 1. Точка М ─ середина хорды АВ. [O*M*) пересекает окружность в точке М*. 2. [OM) пересекает эллипс в точке М С* ─ середина дуги А*В*. 3. С ─ изображение середины дуги А*В*.

ОП. 6. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ B* B M* N O* O A* C M D− D* N* A E* C* Построение. Анализ. 1. [BE] и [MN] ─ сопряжённые диаметры эллипса. (ОП. 7) 1. [M*N*] и [B*E*] ─ взаимно перпендикулярные 2. Точка D ─ середина [ОЕ]. диаметры окружности. 3. [АС] ║ [MN]. 2. Точка D* ─ середина [О*Е*]. 4. ∆ABC ─ изображение правильного треугольника, 3. [А*С*]║[M*N*] вписанного в окружность.

I. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТРЕУГОЛЬНИКА ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ C* −E* −E M* M A B* − A* D* − D B Анализ. Построение. 1. [A*E*] − медиана. 1. [AE] − медиана. 2. [CD] − медиана. 2. [C*D*] − медиана. 3. М − центр треугольника (изображение 3. М* − центр треугольника. центра треугольника).

II. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ РАВНОБЕДРЕННОЙ ТРАПЕЦИИ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ D C D* C* A H N B A* H* N* B* Анализ. Построение. 1. D*H*N*C* − прямоугольник. 1. Параллелограмм HNCD − изображение 2. [H*A*] = [N*B*]. прямоугольника H*N*C*D*. 2. [AH] || [HN]. 3. [NB] || [HN] , [NB] = [AH]. 4. [AD], [CD]. 5. ABCD − изображение равнобочной трапеции.

III. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИУГОЛЬНИКА ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ C* D* C D O B E G H G* O* H* B* E* A F Построение. A* F* 1. ACDF − параллелограмм. Анализ. 2. О − центр параллелограмма. 1. А*C*D*F*− прямоугольник. 3. [BG] = [GO] = [OH] = [HE] 2. [B*E*] || [C*D*] 4. [CB], [AB], [DE], [FE]. 3. [B*G*] = [G*O*] = [O*H*] = [H*E*]

IV. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ В C* A* B* С Анализ. Построение. 1. [A*B*] − произвольный диаметр. 1. [AB] − произвольный диаметр. 2. C*− произвольная точка окружности. 2. C− произвольная точка окружности. 3. ∆ A*B* C* − прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. 3. ∆ ABC − изображение прямоугольного треугольника, вписанного в окружность.

V. ПОСТРОЕНИИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ C* B B* O* A O * C D* A* D Анализ. Построение. Вершины A* , B* , C* и D* 1. Произвольные диаметры AС и ВD. прямоугольника являются концами произвольных диаметров окружности. 2. [DA], [AB], [BC] и [CD].

VI. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ КВАДРАТА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ B B* D* C* D C A* Анализ. A Построение. 1. Вершинами A*, B*, C* и D* 1. Сопряжённые диаметры [AB] и [CD](ОП. 7) квадрата, вписанного в окружность являются концы двух взаимно 2. [BC]. 3. [BD]. 4. [AC]. 5. [AD]. перпендикулярных диаметров.

VII. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРАВИЛЬНОГО ШЕСТИУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ C* D* D E C * F B* E* B A Построение. A* F* 1. Построение изображения правильного ∆АСЕ, вписанного в окружность. (ОП. 16) Анализ. 2. Построение изображения правильного ∆BDF, Вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность. (ОП. 16) вписанного в окружность, являются вершины двух 3. [AB], [BC], [CD], [DE], [EF], [FA]. правильных треугольников A*C*E* и В *D*F * , вписанных в окружность так, что стороны одного 4. Фигура ABCDEF ─ изображение правильного параллельны сторонам другого. шестиугольника, вписанного в окружность.

VIII. ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНОГО ВОСЬМИУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬ. ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ F* B* C* F G B E* G* O* D E H A* D* A H* Построение. 1. Параллелограмм ABCD ─ изображение Анализ. квадрата, вписанного в окружность. (ОП. 8) Вершинами правильного восьмиугольника, 2. [EG] и [FH] ─ изображение взаимно вписанного в окружность, являются вершины перпендикулярных диаметров окружности, квадрата A*B*C*D * , вписанного в окружность и параллельных сторонам квадрата. концы двух взаимно перпендикулярных диаметров E*G* и F*H*, параллельных сторонам квадрата. 3. [AE], [EB], [BF], [FC], [CG], [GD], [DH] и [HA].

IX. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ БИССЕКТРИСЫ УГЛА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ A M C* O* B O B* C • M* A* Построение. Анализ. 1. Построение изображения середины дуги Точка М* ─ середина дуги A*C* АС. (ОП. 12) 2. Точка М ─ изображение середины дуги А*С*. 3. [ВМ] ─ изображение биссектрисы угла АВС

X. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ КВАДРАТА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ B* C K* C* K B F O* O E* F* E D G A A* G* D* Построение. Анализ. Стороны квадрата A * B * C * D * являются 1. [KG] и [EF] ─ сопряжённые диаметры. (ОП. 7) касательными к окружности в концах 2. Касательные к эллипсу в концах сопряжённых диаметров двух взаимно перпендикулярных [KG] и [EF] ─ изображение сторон квадрата. (ОП. 9) диаметров E*F* и G*K*.

XI. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ B* B L P L* O P* M N │ N* M* O* C K A Построение. C* 1. [KL] и [MN] ─ сопряжённые диаметры. (ОП. 7) A* K* Анализ. 2. Касательная к эллипсу в точке Р эллипса. (ОП. 9) Катеты АС и ВС параллельны взаимно 3. ∆АВС ─ изображение прямоугольного треугольника, перпендикулярным диаметрам K*L* и M*N*. описанного около окружности. Гипотенуза А*В* ─ касательная в точке Р*.

XII. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ РОМБА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ ОРИГИНАЛ ИЗОБРАЖЕНИЕ C* B F* B* F C E* O E G O* A * H G* D* D H* Построение. Анализ. 1. EG и FH ─ произвольные диаметры эллипса. A* 2. [AB] и [СВ] ─касательные в точках E и G. (. ОП. 9) Стороны квадрата A*B*C*D* являются касательными к окружности в концах 3. [AD] и [BC] ─ касательные в точках F и H. (. ОП. 9) произвольных диаметров E*G* и F*H*.

XIII. ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЕ ОРИГИНАЛ A A* P* B* M C N M* N* P Построение. C* Анализ. B 1. ∆MNP ─ изображение правильного Стороны треугольника A*B*C*, описанного треугольника, вписанного в окружность. (ОП. 16) около окружности, являются касательными к окружности в вершинах правильного 2. Построение касательных к эллипсу в треугольника M*N*P* и параллельны точках M, N и P, параллельных сторонам NP, сторонам этого треугольника. MP и MN соответственно.