Онтология атомизма лекция Представители атомизма Древний мир

Онтология атомизма лекция

Представители атомизма Древний мир: Вавилонская планетная астрономия. Античность: Левкипп, Демокрит, Эпикур, Лукреций Кар. Средние века: Гильом из Конша, Аделард из Бата, Николай Орем. Возрождение: Лоренцо Валла, Леонардо да Винчи. Новое время: Ф. Бэкон, Галилей, Бойль, Ньютон, Гассенди, Локк. 18 – 20 века: Вольтер, Дидро, Лаплас, Больцано, неопозитивизм (логический атомизм Рассела и Витгенштейна).

Галилей • …вспомните о том, что мы имеем дело с бесконечными и неделимыми, постичь которые нашим конечным умом невозможно вследствие огромности одних и малости других. Мы убеждаемся здесь, что человеческая речь не приспособлена для выражения таких понятий. • …бесконечное для нас, по существу, непостижимо, равно как и неделимое. • …рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей.

Атомизм 20 века • Ричард Фейнман как-то выразился, что если бы уничтожить всю физику и позволить человечеству оставить себе всего лишь одну фразу, то он оставил бы утверждение: "Все тела состоят из атомов, находящихся в постоянном движении и взаимодействии друг с другом" как наиболее важное, из которого уже всё остальное можно вывести. • Известный физик-теоретик Ричард Фейнман как-то заметил, что хотя квантовая механика существует уже более полувека, ее до сих пор не понимает ни один человек в мире. • Любимый афоризм квантовиков: «Квантовую механику нельзя понять, к ней можно только привыкнуть» . • Бор заметил своим коллегам: “Если у человека при первом знакомстве с квантовой механикой голова не идет кругом, то он не понимает в ней ничего”. • Во всем мире едва ли дюжина людей по-настоящему понимают теорию Эйнштейна! (Д. Гамов)

Неверное понимание атомизма 1. Конечный атомизм Платона. Атом понимается как конечная геометрическая точка. 2. Атомизм эфирной традиции. Понимание атомов как корпускул. Атомы – это твердые частицы, которые делятся до бесконечности. Такого рода атомы либо находятся в узлах кристаллической решетки твердого тела, либо хаотично движутся в газах и жидкостях.

Актуально бесконечное деление • Потенциальное бесконечное деление постепенно шаг за шагом делит любую величину на части. Например, деление пополам в апории Зенона. Деление происходит до бесконечности, поэтому никогда не появляются атомы (не-делимые) и пустота. Апория «Дихотомия» . Суммирование: ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 +… А Е D C B • При актуально бесконечном делении отрезка получаются далее неделимые атомы - точки. В конечном отрезке присутствует бесконечное количество точек.

Галилей • • Если теперь сгибание линии под углами так, чтобы образовался квадрат или восьмиугольник или многоугольник с сорока, ста или тысячью сторон, представляется вам достаточным для действительного выявления тех четырех, восьми, сорока, ста или тысячи частей, которые, как вы говорите, содержались потенциально в первоначальной прямой линии, то, когда я образую из прямой линии многоугольник с бесконечным числом сторон, т. е. когда я сгибаю ее в окружность, не могу ли я с таким же правом утверждать, что я вызываю к действительности бесконечное множество частей, которое первоначально, пока линия была прямой, содержалось в ней, по вашему утверждению, в потенции? Предложенный же мною метод раздроблять и разделять бесконечность одним разом (прием, в котором мне не следует отказать) должен и их (перипатетиков) успокоить и заставить принять, что континуум состоит из абсолютно неделимых атомов.

Актуально бесконечное деление • При актуально бесконечном делении плоскости получаются далее неделимые атомы – линии.

Актуально бесконечное деление • При актуально бесконечном делении объема получаются далее неделимые атомы - плоскости.

Интегрирование (суммирование). • Бесконечное число точек дает конечное тело. • Сумма точек на линии – ∫dx=x.

Интегрирование (суммирование). Сумма линий на плоскости – ∫xdx=1/2 x², где х пробегает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Тогда треугольник ∫xdx будет равен половине (1/2) квадрата x² (например, при х = 5). 0+1+2+3+4+5 = ½ (5+5+5+5) 0 1 2 3 4 5

Интегрирование (суммирование) ∫x²dx=1/3 x³

Интегрирование (суммирование) • • Переконфигурация атомов может качественно изменить тело или даже уничтожить его. Если взять эти части и переставить их местами, то получится другое тело. В сочинении Квадратура параболы Архимед доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника.

Атомы (не-делимые) • «Согласно Фитцджеральду и Лоренцу, движущиеся тела испытывают в направлении своего движения сокращение вполне определенной величины, которое тем сильнее, чем больше скорость тела. Сокращение максимально, когда скорость тела достигает скорости света в пустоте; в этом предельном случае длина тела в направлении движения стала бы равной нулю» [1] • • [1] Льоции Марио. История физики. – М. , 1970. – С. 319 «Из этих двух принципов Эйнштейн вывел математически лоренцево сокращение движущихся тел при их наблюдении из покоящейся системы: если скорость движущегося тела приближается к скорости света, сжатие достигает максимума и тело сжимается в плоскую фигуру» [1] • • [1] Льоции Марио. История физики. – М. , 1970. – С. 324. Неделимые возникают в мире при скоростях, стремящихся к скорости света (предельная скорость). Каждый единичный протяженный элемент «схлопывается» в атом.

Время • При разгоне до скорости света временной интервал превращается, замедляется-уменьшается, «схлопывается» в … мгновение-атом времени. Время представляет собой совокупность атомов-мгновений: • Необходимо отличать мгновения атомизма (атомы времени) от конечных интервалов времени в обычном мире. Мгновенное взаимодействие - это не бесконечно большая скорость взаимодействия, а взаимодействие в мгновение-атом времени Демокрита. Атомизм описывает мгновенные взаимодействия. Мгновенные взаимодействия – это взаимодействия с предельной скоростью. Скорость света есть предельная скорость (например, электромагнитные и гравитационные взаимодействия, пи-мезоны в нуклонах при сильном взаимодействии). Галилей: …распространение света, совершается действительно мгновенно, потому что достаточно быстрое движение звука заставляет уже предполагать, что движение света должно быть крайне быстрым. • •

Атомизм • • • Частицы твердых тел, по Галилею, всегда конечны и делимы (но изначально тело состоит из неделимых). Галилей: «из неделимого родится постоянно делимое» . Тело в твердом агрегатном состоянии не состоит из неделимых актуально. Неделимые (атомы) появляются в теле актуально только при переходе в иное агрегатное состояние (жидкое состояние). Это означает, что при увеличении скорости частиц и их энергии конечные частицы превращаются в неделимые. Это то как раз и выражается в формуле Лоренц-сокращения. Жидкое состояние данного вещества является «более теплым» , чем его твердое состояние (тепловое излучение). Жидкость – промежуточное состояние между твердым и газообразным. Газ и огонь состоят из неделимых в большей концентрации. Галилей о твердых частицах: «…неделимые частицы огня или солнечных лучей растворяют и разлагают их, как я думаю, на первоначальные неделимые и бесконечно малые части» . При переходе в состояние плазмы тело достигает уровня энергии, когда оно само начинает излучать кванты (неделимые). То есть скорости к этому моменту уже достигают предельных значений (скорость света). Сначала начинается тепловое излучение. И именно изучение теплового излучения открыло мир квантовых явлений.

Пустота • • • Пустота существует внутри линий между точками-атомами, внутри плоскости между линиями-атомами, внутри объема между плоскостями-атомами. Степень пустоты (наполненность и разреженность) порождает стремление и силу (галилеева пустота в канате, температурные и электрические течения от плюса к минусу (разность потенциалов), процессы в ДВС). Увеличение пустоты как расстояния между атомами рождает увеличение притяжения и внутреннего напряжения. Галилей: …подобное противодействие образованию пустоты кажется мне достаточной причиной сцепления частиц твердого тела из камня, металла или какого угодно другого вещества, еще более прочного и еще сильнее противящегося разделению. Галилей: Раз мы уже дошли до парадоксов, то попробуем, нельзя ли какимлибо образом доказать, что в некоторой конечной непрерывной величине может существовать бесконечное множество пустот. Так 37/38 объема воды, по Ньютону, занимает пустое пространство. Симпличио. Мне кажется, что вы тут подходите к тем пустотам, которые признавал один древний философ. Сальвиати. Надеюсь, что вы не прибавите «отрицавший божественный промысел» …

Демокрит (460 -370 годы до нашей эры)

Онтология античного атомизма • «Древние свидетельства сообщают, что отец Демокрита принадлежал к богатейшим гражданам Абдер и что он принимал в своем доме царя Ксеркса, который отблагодарил его, прислав халдеев и магов для обучения его детей. Эти халдеи и маги были первыми учителями Демокрита, обучившими его астрономии и другим наукам» [1] • Вавилонская планетная астрономия. Постепенное изменение скорости движения планет описывается при помощи арифметической прогрессии. Также описывал движение атомист Галилей в 17 веке. [1] Маковельский А. О. Древнегреческие атомисты. –Баку, 1946. – С. 44.

Вавилонская планетная астрономия • Ступенчатые функции (тип А) • Линейными зигзагообразными функциями (тип В)

«Первичные» и «вторичные» качества. • Описание окружающего нас мира. Нет идеального космоса. Если божественный мир существует, то он в любом случае не является предметом описания философии (интермундии Эпикура). • Окружающий нас мир состоит, по Демокриту, из атомов и пустоты. • «Первичные» качества - это величина (протяженность) атома, плотность (непроницаемость, неделимость), форма (фигура), движение (перемещение), а также тяжесть. • Включение тяжести в число «первичных» качеств не было общепринято в рамках традиции, заложенной Демокритом. • Величина атома - от 0 -измерения до n-мерных многообразий. • «Вторичные» качества – это цвет, вкус, запах, осязание, звук. «[Лишь] в общем мнении существует цвет, в мнении — сладкое, в мнении — горькое, в действительности же [существуют только] атомы и пустота»

Софисты • • Протагор, Горгий, Гиппий, Продик, Антифонт, Критий. Софизм — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Такое понимание софизма неверно. Софизмы выражают атомистическую логику, а не классическую логику Платона и Аристотеля. Софисты признавали законность противоречий, а поэтому любые суждения можно считать обоснованными. Эта мысль Платона была развита в аристотелевском «принципе непротиворечия» . Квант света одновременно находится в двух местах. Это противоречит Аристотелю (тело одновременно не может находиться в двух местах). Кот Шредингера. Суперпозиция – квантовый феномен, при котором объект находится во всех возможных своих состояниях одновременно, пока он не наблюдается. Живой и мертвый кот одновременно. Софизм «Куча» и «Лысый» . Одно зернышко не есть куча (0). Два зернышка не есть куча (0+0). Три зернышка не есть куча (0+0+0). А сто зерен (0+0+…)? Галилей о количестве атомов в большей и меньшей линиях: …то я отвечаю ему, что их там не больше, не меньше и не одинаковое количество, но бесконечное множество в каждой. Парадокс «Лжец» . «Критянин Эпименид утверждал, что все критяне лжецы» . То есть, если Эпименид прав, что все критяне лжецы, то он тоже лжец. Если же Эпименид лжет, что все критяне лжецы, тогда он прав. И цепочка рассуждений возвращается в начало.

Одновременное пребывание фотона в двух местах сразу

Кот Шредингера • В закрытый ящик помещён кот. В ящике есть механизм, содержащий радиоактивное ядро и ёмкость с ядовитым газом. Параметры эксперимента подобраны так, что вероятность того, что ядро распадётся за 1 час, составляет 1/2. Если ядро распадается, оно приводит механизм в действие, который открывает ёмкость с ядовитым газом, и кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдение, то его состояние описывается суперпозицией (смешением) двух состояний — распавшегося ядра и нераспавшегося ядра, следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно.

Архиме д ( 287 до н. э. — 212 до н. э. )

Физика Архимеда • В трудах Архимеда впервые с полной ясностью изложен «метод неделимых» (атомизм Демокрита). • Статические методы атомизма. Взвешивание фигур на рычагах (весах). Чем больше плечо рычага, тем больше задействовано пустоты и тем больше порожденная пустотой сила. • Фигуры делятся на неделимые. • Нахождение центров тяжести. • Влияние Архимеда на новоевропейскую физикоматематическую традицию.

Иоганн Кеплер (1571 -1630)

Законы Кеплера • Первый закон. Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце (1609). • Второй закон. Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади (1609). • Третий закон. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет (1618). • Доказательство проводится методами математического атомизма.

Галилео Галилей (1564 - 1642)

Исаак Ньютон (1642 - 1727)

Галилей и Ньютон • «Метод неделимых» в 16 -17 веках (Кеплер, Стевин, Галилей, Бойль, Валлис, Кавальери, Ньютон). • Постепенно оформляется полное господство динамического атомизма над статическим атомизмом. Динамика атомизма – это механика. • Атом понимается как центр силы, особая точка, математическая точка, материальная точка. Сила понимается как движение атома (сила инерции, сила свободного падения, сила всемирного тяготения и так далее). • Сила есть истечение атомной жидкости (истечения Демокрита (видики), жидкость Галилея, атомарный эфир Ньютона, флогистон, теплород, электрические и магнитные жидкости атомизма, излучение фотонов). • Три закона Ньютона.

Первый закон Галилея-Ньютона S V • Форономическая традиция. • Атом должен быть изначально один, поэтому его должна окружать пустота. Пустота отделяет его от других атомов. Атом субстанционален и автономен. • Равномерное прямолинейное движение. Актуально бесконечное множество натуральных чисел. 0 1 2 3 4 5 1 1 1

Второй закон Галилея-Ньютона. S V a • Два атома в пустоте. Атомы взаимодействует между собой мгновенно через пустоту. Равноускоренное движение. Это выход (актуально бесконечное количество мгновенных перемещений) из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения. 0 1 4 9 16 25 1 3 5 7 9 2 2 • Актуально бесконечное множество квадратов натуральных чисел.

Третий закон Галилея-Ньютона. • Бесконечный степенной ряд как взаимодействие бесконечного числа точек на прямой. Такое бесконечное взаимодействие обеспечивается третьим законом Ньютона. • Один атом: • Два атома: • Три атома: • N-атомов: • Бесконечное число атомов:

Пьер Гассенди (1592 — 1655 )

Гассенди • • • Гассенди склоняется на сторону Эпикура, расходясь с ним только в теологических вопросах Материю Гассенди представляет состоящей из множества мельчайших компактных эластичных атомов, отделенных друг от друга пустым пространством. Атомы не заключают в себе пустоты и потому неделимых физически, но измеримы. Число атомов и их форм конечно и постоянно (поэтому количество материи постоянно), но число форм меньше числа атомов Различие атомов (кроме формы) заключается в различии их главного свойства — веса или прирождённого их стремления к движению атомы не рождаются и не исчезают, то и количество живой силы в природе остается неизменным Действия на расстоянии не существует, и если одно тело притягивает другое, не соприкасаясь с ним, то это можно объяснить так, что от первого исходят потоки атомов, которые соприкасаются с атомами второго. Атомы вечны, поскольку вечна вселенная, но они, как и вселенная, сотворены Богом; по его же воле они сгруппировались в тело, ибо как из простого смешения букв не может возникнуть поэмы, так и из случайной группировки атомов не могли при сотворении мира произойти тела без содействия Бога Произвольное самозарождение даже в царстве минеральном Гассенди отрицает: всякое тело (не родившееся от себе подобного) обязано своим происхождением семени Своё исследование Гассенди заканчивает доказательством существования Бога, его свойств и его провидения. Гассенди объясняет это предрасположением разума к допущению существования Бога при первом указании чувств на единство и гармонию вселенной.

Джон Локк (29 авг. 1632 - 28 окт. 1704)

Джон Локк • Идеи Локка сложилось под влиянием атомистики Эпикура, Гассенди и Бойля, а также механики Ньютона. Два начала: атомы и пустота. • Считал атомы пассивными. Бог есть источник движения атомов. Религиозный атомизм. Хотя идею бога Локк характеризовал как неясную и спутанную. • В понимании пространства (пустоты) Локк колебался между свойственной Ньютону абсолютизацией пространства и пониманием его как несамостоятельного условия движения. • Утверждал существование "мыслящих тел". Локк допускал, что материя способна к мышлению. Отрицание способности материи к мышлению означало бы ограничение могущества Бога. • Принцип ассоциации.

Пьер Лаплас (1749 — 1827)

Лаплас • Представление о потенциале. Решения дифференциальных уравнений через разложение в бесконечные ряды в 17 -18 веках. • Мир существует сразу и в прошлом, и в настоящем, и в будущем. Сейчас мы это называем четырехмерным пространством-временем. «Демон Лапласа» . • Лаплас изложил гипотезу о происхождении Солнечной системы из газовой туманности, ранее высказанную Кантом. • Еще в 1695 году Галлей обнаружил, что Юпитер в течение нескольких веков постепенно ускоряется и приближается к Солнцу, а Сатурн, наоборот, замедляется и удаляется от Солнца. Некоторые учёные полагали, что в конце концов Юпитер упадёт на Солнце. Необходимость Бога для поддержания системы мироздания (Галилей, Ньютон). • Лаплас доказал, что всё возвращается в исходное положение каждые 929 лет. Лаплас исключил Бога из астрономии.

Поле потенциала

Бернард Больцано (1781— 1848)

Атомизм в 19 -20 веках • Патологические кривые. Эти функции были непрерывны, но не дифференцируемы. Ломаная Больцано. Такие функции представляются как множество точек-атомов. • Функция Вейерштрасса: F(x)=∑aⁿ cos(bⁿ πx), где 01+3/2 π, суммирование производится от 0 до бесконечности • Функция Дарбу: F(x)=∑ 1/k! sin[(k+1)! πx] , суммирование производится от 0 до бесконечности.

Гео рг Ка нтор (1845 — 1918)

Кантор • Идея актуальной бесконечности и атомизм. Действительное число π должно существовать актуально сразу со всем бесконечным количеством чисел после запятой, а не потенциально цифра за цифрой. π ≈ 3, 1415926535. . . • Кантор предполагал существование множеств или последовательностей чисел, имеющих актуально бесконечно много элементов (натуральные числа, действительные числа и так далее). • Иерархия бесконечностей. Взаимно-однозначное сравнение бесконечностей по мощности. • Гипотеза континуума (следующее после счетного множества идет множество мощности континуума или мощность множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств). Теорема Кантора-Бендиксона (Всякое множество вещественных чисел есть объединение совершенного множества своих точек конденсации и счётного множества). Теорема Кантора — Бернштейна (о равномощности множеств A и B при условии равномощности A подмножеству B и равномощности B подмножеству A). • Парадоксы теории множеств. Целое равно части. Софизм «Лжец» .

Целое равно части • • • Возьмем два множества: множество всех натуральных чисел (четные+нечетные числа) и множество только четных чисел. Очевидно, что множество только четных чисел есть часть всего множества натуральных (четные+нечетные) чисел. Но они, по Галилею и Кантору, оказываются равны. Часть равна целому.

Парадокс Рассела • «Применение доказательства Кантора привело меня к рассмотрению классов, не являющихся членами самих себя; эти классы, видимо, должны образовывать некоторый класс. Я задался вопросом, является ли этот класс членом самого себя или нет. Если он член самого себя, то должен обладать определяющим свойством класса, то есть не являться членом самого себя. Если он не является членом самого себя, то не должен обладать определяющим свойством класса, и потому должен быть членом самого себя. Таким образом, каждая из альтернатив ведет к своей противоположности. В этом и состоит противоречие» . • Таково множество всех своих подмножеств (континуум). • Критяне, которые говорят правду, есть класс (совокупность индивидов), не являющийся членом самого себя (то есть критян, ибо все критяне говорят неправду). Но они все равно критяне и здесь суть противоречия. 1. Если он (класс правдивых критян) член самого себя (критяне вообще=обманывающие критяне), то должен обладать определяющим свойством класса (обманывающие критяне), то есть не являться членом самого себя (ибо они говорят правду). Ведь критяне вообще = обманывающие критяне. Правдивые критяне не должны туда входить. 2. Если он (класс правдивых критян) не является членом самого себя (критяне вообще=обманывающие критяне), то не должен обладать определяющим свойством класса (обманывающие критяне), и потому должен быть членом самого себя (должны быть не обманывающими, а правдивыми критянинами). Но они (правдивые критяне) все равно оказываются критянами, а все критяне – лжецы.

Бертран Рассел (1872 — 1970) Людвиг Витгенштейн (1889 — 1951) Рассел Витгенштейн

Неопозитивизм. Представители. • Логический позитивизм: 1. Готлоб Фреге, Бертран Рассел, Людвиг Виттгенштейн. Венский кружок (Мориц Шлик, математик Курт Гёдель, логик Рудольф Карнап, социолог Отто Нейрат, физик Герберт Фейгль, Филипп Франк, Фридрих Вайсманн и математик Ханс Хан ). Львовско-Варшавская школа (К. Твардовский, Я. Лукасевич, А. Тарский). 2. 3. • • Лингвистическая философия: Райл, Остин, поздний Витгенштейн. Постпозитивизм: Поппер, Лакатос, Тулмин, Фейерабенд, Кун.

Неопозитивизм • • Философия – это логический анализ языка науки (логический позитивизм). А язык науки – это математика (теория множеств и математическая неклассическая логика (логика атомизма)). Логический атомизм. Все науки сводятся к теории множеств. Философия – это лингвистический анализ языка (лингвистическая философия). Философия – это логико-эмпирическая реконструкция динамики науки (постпозитивизм). Логический позитивизм ищет связь языка науки и непосредственного опыта. Принцип верификации предполагает, что каждое научно осмысленное высказывание должно быть доступно эмпирической проверке. Философия более не есть суммирование или систематизация специально-научного знания (классический позитивизм). Философия не занимается решением коренных проблем миропонимания. Метафизика – это ложное и невозможное учение. Метафизика противоречит логическим нормам языка. Метафизика возникает в результате дезориентирующего воздействия обыденного языка на мысль. Необходима формализация языка (искусственные языки). Обыденный язык содержит архаизмы допозитивных этапов истории человечества. Философия занимается анализом и решение актуальных методологических проблем, связанных с развитием современной науки (математизация и формализация знания, отношение знаковых систем к эмпирическому базису науки). Лингвистическая философия возникла в результате кризиса логического позитивизма. Теорема Геделя. Результат Коэна. Лингвистическая философия исследует повседневный язык и его влияние на язык науки. Постпозитивизм рассматривает науку в ее историческом развитии.

Венский кружок • • Манифест «Венского кружка» (1929): «Мы охарактеризовали научное миропонимание в основном посредством двух определяющих моментов. Вопервых, оно является эмпиристским и позитивистским: существует только опытное познание, которое основывается на том, что нам непосредственно дано (das unmittelbar Gegebene). Тем самым устанавливается граница для содержания легитимной науки. Во-вторых, для научного миропонимания характерно применение определенного метода, а именно метода логического анализа» . Мориц Шлик писал: «Первоначально под „протокольными предложениями“ понимались — как это видно из самого наименования — те предложения, которые выражают факты абсолютно просто, без какого-либо их переделывания, изменения или добавления к ним чего-либо ещё, — факты, поиском которых занимается всякая наука и которые предшествуют всякому познанию и всякому суждению о мире. Бессмысленно говорить о недостоверных фактах. Только утверждения, только наше знание могут быть недостоверными. Поэтому если нам удается выразить факты в „протокольных предложениях“, без какого-либо искажения, то они станут, наверное, абсолютно несомненными отправными точками знания» .

Курт Гёдель (1906 — 1978) • Теорема о неполноте: Любой язык, достаточно сильный для определения натуральных чисел (например, логика второго порядка или русский язык), является неполным. То есть содержит высказывания, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом языка.