Окружность и касательная Некоторые теоремы

Окружность и касательная Некоторые теоремы Автор Календарева Н. Е. © 2011 г.

План 1. Окружность и хорда 2. Диаметр 3. Теорема о хорде и диаметре, проходящем через ее середину 4. Свойство пересекающихся хорд 5. Определение касательной 6. Признак и свойство касательной 7. Теорема об угле между касательной и хордой, проведенной из точки касания

Продолжение плана 8. Теорема о квадрате длины отрезка касательной 9. Секущая 10. Взаимное расположение двух окружностей 11. Внешняя и внутренняя касательные

Внимание Во время демонстрации будет предложено 13 вопросов и 5 задач. За правильный ответ на вопрос 1 балл (синий купон), за правильно решенную задачу 5 баллов (красный купон). Также можно доказывать теоремы и тоже получать купоны.

Окружность и радиус Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности.

Хорда и диаметр Отрезок, соединя- ющий две точки окружности, назы- вается хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Теорема о хорде и диаметре, проходящем через ее середину Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, О перпендикулярен А В ей. С Доказательство в обе стороны.

Доказательство О А В С

Вопрос 1 В каком случае диаметр, проходящий через середину хорды, может быть не перпендикулярен этой хорде?

Ответ

Вопрос 2 Сколько окружностей можно провести через две заданные точки?

Ответ: бесконечно много.

Вопрос 3 Сколько окружностей заданного радиуса можно провести через две заданные точки?

Ответ

Вопрос 4 В каком случае одну?

Ответ Когда точки являются концами диаметра.

Вопрос 5 В каком случае через две заданные точки нельзя провести окружность данного радиуса?

Ответ В случае, если радиус меньше половины отрезка, соединяющего заданные точки.

Свойство пересекающихся хорд Теорема. Если хорды АВ и КМ окружности пересекаются в точке Р, то АР ∙ ВР = КР ∙ МР. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны между собой.

Доказательство Δ АКР и МВР подобны. К В Р А М Сл-но, АР ∙ ВР = КР ∙ МР.

Задача 1 В окружности радиуса 7 см хорда АВ длиной 10 см пересекает диаметр КМ в точке Е и делит его в отношении МЕ : КЕ = 1 : 6. Найдите отношение В АЕ : ВЕ. К Е М А

Решение Вычислим диаметр 14 см. КЕ = 12, В МЕ = 2 см. Е К М Обозначим АЕ = х. Тогда ВЕ = 10 – х. х(10−х) = 12 ∙ 2 (т. о хордах). А х2 − 10 х + 24 =0; х1 = 6 см; х2 = 4. Ответ: 3 : 2.

Вопрос 6 Каким свойством обладают диагонали вписанного четырехугольника?

Вопрос 7 Пусть АВ – диаметр окружности, т. О – ее центр, а АС и ВС – равные хорды. Чему равна величина угла СОВ?

Ответ: 90.

Задача 2 На бумаге нарисована дуга окружности. Как с помощью циркуля и линейки найти центр окружности?

Ответ

Определение касательной Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к этой окружности. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания. Установим, что касательная к окружности существует.

Пусть радиус окружности равен r и точка А лежит на окружности. Проведем через т. А прямую m, перпендикулярную ОА. ОА m. Докажем, что прямая m является касательной. Для этого надо пока- А зать, что т. А− единст- О венная. m

От противного. Пусть есть К еще точка К, лежащая на пр. m и окружности. А ΔОАК – прямоугольный с гипотенузой ОК, О m большей катета ОА. ОA = r, сл-но, ОК > r. Значит, точка К не лежит на окружности. Получили противоречие.

Таким образом, касательные к окружности существуют. Прямая, проходящая через конец диаметра окружности перпендикулярно этому диаметру, является касательной к окружности.

Свойство касательной Теорема. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство А m Пусть пр. m касается Н окружности в т. А. В ОА = r. И предположим, что ОА не пр. m. О

Опустим ОН на прямую m. Тогда А ≠ Н. Отложим НВ = НА. В Δ ОАВ отрезок ОН является А m высотой и медианой. Н Сл-но, ОА = ОВ. В Проведем окружность с центром в точке О и О радиусом ОА. Эта окружность пройдет и через точку В.

Получается, что прямая m и окружность имеют две точки А m пересечения. Противоречие с тем, В Н что прямая m является касательной. О

Отрезки касательных Пусть точка В – точка касания, и точка А лежит на касательной и В не совпадает с т. В. Пусть АС – вторая касательная. А О С

Теорема. Отрезки касательных, прове- денных к окружности из одной точки, равны. В Доказательство ОВ АВ, ОС АС. А О Δ АВО = Δ АСО Сл-но, АВ = АС. С

Теорема об угле между касательной и хордой, проведенной из точки касания Градусная мера угла, образованного касательной и хордой, проведенной из точки касания, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство Пусть AN – касательная и АВ – хорда. Пусть точка О – центр α окружности. Обозначим NAB буквой α. Так как ОА AN, то ОАВ = 90 −α. OAB = OBA. Найдем АОВ.

Сумма углов ΔОАВ равна 180. Тогда АОВ = 2α, α α = ½ AOB.

Следствие Угол, образованный касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.

Секущая Секущей называется прямая, пересекающая окружность в двух точках. Сколько секущих можно провести из точки, лежащей вне окружности? Из одной точки вне окружности можно провести бесконечно много секущих.

М

Теорема о квадрате касательной Пусть к окружности проведены из одной точки М касательная МК и секущая МВ, пересекающая окружность в точках В и А. Тогда справед- ливо равенство МК 2 = МВ ∙МА.

Доказательство По теореме об угле между касательной и хордой МКА = МВК. Угол КМВ общий. Из подобия МКА и МВК Имеем МК 2 = МВ∙МА. Теорема доказана.

Следствие Произведение длины всей секущей на длину ее внешней части есть величина постоянная. М

Взаимное расположение двух окружностей Теорема. Общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры окружностей, и делится этой прямой пополам. А Н О 2 О 1 В

Вопрос 8 Могут ли две разные окружности иметь общий диаметр? Ответ: не могут.

Вопрос 9 Деталь имеет форму круга. Как на практике можно найти центр круга, чтобы просверлить через него отверстие?

Ответ

Вопрос 10 Где расположены центры окружностей данного радиуса r, проходящих через данную точку А?

Ответ

Линия центров двух окружностей Линией центров двух окружностей называется прямая, проходящая через центры окружностей.

Внешнее касание двух окружностей О 1 О 2 r 1 r 2 O 1 O 2 = r 1 + r 2

Внутреннее касание двух окружностей О 1 О 2 r 1 O 1 O 2 = r 1 − r 2

Концентрические окружности Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Внешние и внутренние касательные Две окружности могут иметь общую касательную. m k

Задача 3 Докажите, что отрезок АB = CD m В А С D n

Задача 4 Докажите, что отрезки внутренних касательных равны: АВ = CD B С А D

Задача 5 Даны две окружности, имеющие внешнее касание. Докажите, что внутренняя касательная делит пополам отрезок внешней касательной С B А К

Окружность, вписанная в угол Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Вопрос 11 Можно ли в произвольный треугольник вписать окружность? Если да, то сколько?

Вопрос 12 Можно ли в ромб вписать окружность?

Вопрос 13 Можно ли в произвольную трапецию вписать окружность? Всегда? В равнобедренную всегда?

Ответы

Домашнее задание 1. Выучить формулировки основных теорем о хордах, касательной и секущей 2. Уметь решать задачи на касательные с применением теорем