Окрестность Задание топологии с помощью окрестности LOGO Замкнутое

Окрестность. Задание топологии с помощью окрестности. LOGO Замкнутое множество. Задание топологий с помощью замкнутых множеств Выполнил: студент группы ЭМА-12 Назаров Антон

LOGO Открытые множества Множество L называется открытым тогда и только тогда, когда множество L может быть представлено как объединение открытых интервалов Пример 1. (3; 4)U(5; 7) – открытое множество? Да (3; 4) – открытое множество? (3; 4)=(3; 4)U(3, 5; 4) Тогда (3; 4) – Открытое множество

LOGO Топологическое пространство Пусть Т-множество, F – совокупность его подмножеств Каждое объединение множеств из F содержится в F Тогда множество T – топологическое пространство Каждое конечное пересечение множеств из F содержится в F F – его открытое топология T содержится в F и пустое множество содержится в F Множества, входящие в F – открытые множества

LOGO Окрестность (открытая окрестность) Пусть Х – топологическое пространство. Каждое открытое множество L содержащее точку p называется открытой окрестностью этой точки, то есть , где L – открытое множество Каждая точка в топологическом пространстве имеет хотя бы одну окрестность Каждое открытое множество содержащее точку p является открытой ее окрестностью Открытое множество является открытой окрестностью каждой своей точки

LOGO Примеры окрестностей Пример 2 - открытый интервал – окрестность - является ли данный интервал окрестностью? ? ? Проверим Да 1)Точка 3 принадлежит ему? Окрестность Да 2)Интервал открытый?

LOGO Примеры окрестностей Пример 3 Например возьмем точку а выпишем все ее окрестности А например если точку с? Важный момент – если точка не имеет никаких окрестностей, всегда есть одна – само пространство

LOGO Внутренняя точка t-внутренняя точка множества М тогда и только тогда, когда существует открытое множество L: Пример 4 Все ли точки внутренние? Введем обозначение что дополнение до множества М – является СМ

LOGO Пример 4 (продолжение) -2 – внутренняя точка дополнения множества М Точка р – внешняя точка множества М, когда точка р внутренняя точка дополнения множества М Есть ли такие точки которые не являются не внутренними, не внешними? Не является внутренней и внешней Что же это за точка? - граничная

LOGO Граничные точки t-граничная точка множества М тогда и только тогда, когда каждая окрестность t имеет непустое пересечение как с М, так и с СМ Какие еще точки в данном примере граничные?

LOGO Замкнутое множество М – замкнутое тогда и только тогда, когда его дополнение до всего пространства открыто Замкнутый интервал или отрезок – это и есть замкнутое множество – Почему? 3 4 Рассмотрим дополнение до всего пространства НО если дополнение открыто – оно состоит из внутренних точек (ни одна граничная точка не принадлежит дополнению) Каждая точка открытого множества - внутренняя Каждое замкнутое множество состоит из внутренних и граничных точек Это не так

LOGO Замкнутое множество Рассмотрим такой случай 4 Его дополнение - замкнутое множество(внутренних точек нет) Есть одна граничная точка – 4. Замкнутое множество может состоять из граничных точек А как же замкнутые множества связаны с топологическим пространством? Обратимся к формулам Де Моргана (из теории множеств) Дополнение от объединения = пересечению их дополнений Дополнение от пересечения = объединению их дополнений Напоминает аксиомы топологии

LOGO Замкнутое множество Вспомним определения замкнутости Стоп Смотрим на правую часть Двойственное утверждение к объединению открытых множеств Каждое утверждение по поводу замкнутых множеств сопровождается двойственным утверждением по поводу замкнутых

LOGO Свойства замкнутых множеств Семейство всех замкнутых подмножеств любого топологического пространства обладает следующими свойствами: Само пространство, а также его пустое подмножество замкнуты. Пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто. Объединение любого конечного набора замкнутых множеств замкнуто.