ОГЭ — 2015 Модуль ГЕОМЕТРИЯ 11 1

ОГЭ - 2015 Модуль ГЕОМЕТРИЯ № 11 1

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 С Найти площадь треугольника. 8 В 30⁰ 3 Повторение (3) А Ответ: 6. 2

Повторение Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними 3

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 В 7 С Катет АС на 2 больше катета ВС. Найти площадь треугольника А Повторение (3) АС=ВС+2=7+2=9 Ответ: 31, 5. 4

Повторение Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов 5

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 А В Найти площадь треугольника 4 С Ответ: Повторение (3) . 6

Повторение Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице 7

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 С В H АВ=3 CH. Найти площадь треугольника АВС 3 А Повторение (2) АВ=3 CH=3∙ 3=9 Ответ: 13, 5. 8

Повторение Высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины к противоположной стороне под прямым углом Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту 9

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 В P∆ABC =6. O С Найти S∆ABC Повторение (1) А Ответ: 1, 5. 10

Повторение Вписанной в треугольник окружностью называется окружность, которая касается всех сторон треугольника Если в треугольник вписана окружность, то площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности 11

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 С D В 8 Найти S∆ABC 5 А Ответ: Повторение (2) . 12

Повторение Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице 13

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 А В D С Диагонали ромба равны 12 и 7. Найти площадь ромба. Повторение (2) Ответ: 42. 14

Повторение Ромб – это параллелограмм с равными сторонами Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей 15

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 В АH С 14 ABCD – трапеция. ВС в 2 раза меньше AD. Найти площадь трапеции D Повторение (2) ВС=14: 2=7 BC=DH=7 Ответ: 73, 5. 16

Повторение Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту 17

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 В 60⁰ О А С АС=10. Найти площадь прямоугольника D Повторение (5) АО=ВО=10: 2=5 В ∆АОВ, где ∠ВАО= ∠АВО=(180⁰-60⁰): 2=60⁰ ⇒ АВ=5 По теореме Пифагора в ∆АВD Ответ: . 18

Повторение Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Если угол разбит на части, то его градусная мера равна сумме его частей В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон 19

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 В А М H С 135⁰ 8 К D ABCD – равнобедренная трапеция MK=8, боковая сторона равна 5. Найти площадь трапеции. Повторение (4) ∠АВH=90⁰=135⁰-90⁰=45⁰ ⇒ ∠ВАH= ∠АВC=45⁰ По теореме Пифагора в ∆АВH, где AH=BH=х ⇒ ⇒ Ответ: . 20

Повторение Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту Средняя линия трапеции равна полусумме оснований Если в прямоугольном треугольнике острый угол равен 45⁰, то и другой острый угол равен 45⁰ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 21

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 С P∆ABC =98. Повторение (4) 25 А H Найти S∆ABC В АВ=P∆ABC – 2 ВС=98– 2∙ 25=48 Т. к. ∆АВС равнобедренный, то АH=HB=48: 2=24 По теореме Пифагора в ∆АСH Ответ: 168. 22

Повторение Периметр треугольника – это сумма длин сторон треугольника Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию является медианой В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту 23

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 С А H В В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна медиане, проведенной из того же угла, АВ=6. Найти S∆ABC Повторение (4) Если высота треугольника равна медиане, то ∆АВС – равнобедренный с основанием АВ ⇒ ∠А=∠В=45 ∆HBC прямоугольный и равнобедренный, ⁰ как∠В=45⁰ так ⇒ CH=HВ=AB: 2=3 Ответ: 9. 24

Повторение Если высота треугольника является и медианой, то такой треугольник равнобедренный Если прямоугольный треугольник равнобедренный, то его острые углы равны 45⁰ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту 25

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 А Найти S∆ABC Повторение (4) 6 В H С ⇒ Т. к. ∆АBC равнобедренный, то AH – медиана По теореме Пифагора в ∆АВH Ответ: ⇒ ⇒ BC=2 BH= . 26

Повторение Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе Высота прямоугольного треугольника, проведенная к основанию, является медианой В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту 27

А D Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 5 4, 5 О 15 В С Четырехугольник АВСD описан около четырехугольника, радиуса 4, 5. Найти S∆ABCD. Повторение (4) Соединим центр окружности с вершинами четырехугольника Получим треугольники, высоты которых равны радиусу окружности AB+DC=AD+BC ⇒ S∆AОB +S∆BOC =S∆COD +S∆AOD Ответ: 90. ⇒ SABCD =2(S∆AОB +S∆BOC) 28

Повторение Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей ее частей Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту 29

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 А 18 60⁰ В O С ABCD – ромб. Найти площадь ромба. Повторение (3) D В ∆АОB ∠ВОА=30⁰ ⇒ По теореме Пифагора в ∆АВО BD=2 BO=18, Ответ: . 30

Повторение Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей 31

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 С 3 5 4 D С А 3 В 5 D В 4 Найти площадь параллелограмма Повторение (2) Так как ∆АВС – прямоугольный, то параллелограмм трансформируется в прямоугольник А Ответ: 12. 32

Повторение Треугольник, в котором стороны равны 3, 4, 5 называется Пифагоровым (т. е. треугольник является прямоугольным) Площадь прямоугольника равна произведению его измерений 33

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 А O 30⁰ Дуга сектора равна 8π. Найти площадь сектора. Повторение (2) В Сокр. =360⁰: 30⁰∙ 8π=96π Сокр. =2πr ⇒ Ответ: 192π. 34

Повторение Длина окружности равна удвоенному произведению числа π на радиус окружности Площадь кругового сектора вычисляется по формуле 35

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 Найти площадь кольца 3 5 Повторение (2) ⇒ Ответ: . 36

Повторение Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса круга Если фигура разделена на части, то его площадь равна сумме площадей его частей 37

С Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 Найти площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник А Повторение (3) В ⇒ ⇒ Ответ: . 38

Повторение Сторона правильного треугольника, в который вписана окружность, равна Радиусы вписанной и описанной окружности около правильного многоугольника связаны формулой Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса круга 39

Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 11 18 Найти площадь круга, вписанного в квадрат со стороной 18. Повторение (3) ⇒ ⇒ Ответ: . 40

Повторение Сторона правильного четырехугольника, в который вписана окружность, равна Радиусы вписанной и описанной окружности около правильного многоугольника связаны формулой Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса круга 41