ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ Доверительный интервал ПАРАМЕТРЫ

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ Доверительный интервал

ПАРАМЕТРЫ ВЫБОРКИ • Показатель уровня развития признака - Среднее арифметическое значение • Показатели разнообразия - Дисперсия - Среднее квадратическое отклонение - Коэффициент вариации

ПАРАМЕТРЫ ВЫБОРКИ • Показатели связи - Коэффициент корреляции - Корреляционное отношение - Коэффициент регрессии

1. Насколько надежны полученные в исследовании результаты 2. Какова вероятность того, что различия между полученными в исследовании результатами и ожидаемыми на основании гипотезы случайны

Mn С О ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ В О M 5 К У П M 4 Н О С M 1 M 2 M 3 Т И В Ы Б О Р О Ч Н Ы Е

Среднее для выборки Число выборок 3, 983 1 4, 070 11 4, 157 19 4, 244 64 4, 332 128 4, 419 247 4, 506 226 4, 594 259 4, 681 231 4, 768 121 4, 855 61 4, 942 23 5, 030 6 5, 117 3 Изучили 1400 выборок по 5 объектов в каждой Среднее выборочных средних 4, 548 Среднее квадратическое отклонение выборочных средних 0, 1778 Выборочные средние: lim 3, 94 – 5, 16 Даты: lim 3, 6 – 5, 5

• Средние для выборок из генеральной совокупности с нормальным распределением признака в свою очередь распределены нормально независимо от объема выборок

Нормальное распределение 95, 45% 99, 73%

• Распределение средних для выборок из генеральной совокупности с любым распределением признака приближается к нормальному распределению по мере увеличения объема выборок

Распределение t Стьюдента Форма кривой зависит только от числа степеней свободы

Среднее квадратическое отклонение выборочных средних зависит от объема выборок N = 5 объектов N = 35 объектов Среднее квадратическое 0, 178 0, 058 отклонение Это среднее квадратическое отклонение выборочных средних называется ошибкой средней, его можно оценить по среднему квадратическому отклонению в выборке

Ошибки репрезентативности • m. M – ошибка средней арифметической • mσ – ошибка среднего квадратического отклонения • m. Cv – ошибка коэффициента вариации • m. R – ошибка коэффициента регрессии

С вероятностью B можно утверждать, что M – tm ≤ μ ≥ M + tm μ – среднее арифметическое генеральной совокупности

• Если B = 95% M – 1, 96 m ≤ μ ≥ M + 1, 96 m Крайние значения, в пределах которых может с заданной вероятностью находиться генеральный параметр, называют доверительными границами

• Граница M – tm нижняя доверительная граница, или гарантированный минимум • Граница M + tm верхняя доверительная граница, или вероятный (возможный) максимум

Сравнение параметров генеральных совокупностей Достоверность разности выборочных средних

Mn С О ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ В О M 5 К У П M 4 Н О С M 1 M 2 M 3 Т И В Ы Б О Р О Ч Н Ы Е

Крайние значения, в пределах которых может с заданной вероятностью находиться генеральный параметр, называют доверительными границами Если B = 95% M – 1, 96 m ≤ μ ≥ M + 1, 96 m

Когда определены доверительные границы, можно с заданной надежностью утверждать, что в других выборках из этой генеральной совокупности среднее значение признака будет не ниже M – tm и не выше M + tm

Сравнение генеральных параметров > → ? ? ? >

ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ 1 ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ 2 2 1 M 2 В Ы Б О Р О Ч Н Ы Е СОВОКУПНОСТИ

Гипотезы Нулевая гипотеза H 0 → = → Альтернативная гипотеза Ha → ≠ →

если H 0 → = → Распределение выборочных разностей подчиняется закону распределения t Стьюдента cо средней арифметической, равной 0, и средним квадратическим отклонением, равным md

= 1) 2) 3) 4) 5). . . M 11 M 12 M 13 M 14 M 15 – – – M 21 M 22 M 23 M 24 M 25 = d 1 = d 2 = d 3 = d 4 = d 5 n) M 1 n – M 2 n = dn → Распределение выборочных разностей подчиняется закону распределения t Стьюдента cо средней арифметической, равной 0, и средним квадратическим отклонением, равным md

КРИТЕРИЙ ДОСТОВЕРНРСТИ

Стандартные значения критерия t Стьюдента ν B 1 B 2 B 3 1 12, 7 637, 0 13 2, 2 3, 0 4, 1 2 4, 3 9, 9 31, 6 14 -15 2, 1 3, 0 4, 1 3 3, 2 5, 8 12, 9 16 -17 2, 1 2, 9 4, 0 4 2, 8 4, 6 8, 6 18 -20 2, 1 2, 9 3, 9 5 2, 6 4, 0 6, 0 21 -24 2, 1 2, 8 3, 8 6 2, 4 3, 7 6, 0 25 -28 2, 1 2, 8 3, 7 7 2, 4 3, 5 5, 3 29 -30 2, 8 3, 7 8 2, 3 3, 4 5, 0 31 -34 2, 0 2, 7 3, 7 9 2, 3 3, 3 4, 8 35 -42 2, 0 2, 7 3, 6 10 2, 2 3, 2 4, 6 43 -62 2, 0 2, 7 3, 5 11 2, 2 3, 1 4, 4 63175 2, 0 2, 6 3, 4 12 2, 2 3, 1 4, 2 176 - 2, 0 2, 6 3, 3

• td < tst - разность недостоверна • td ≥ tst - разность достоверна

ОЦЕНКА РАЗНОСТИ ГЕНЕРАЛЬНЫХ СРЕДНИХ Разность выборочных средних достоверна. Это означает, что > → >

Разность выборочных средних недостоверна. Это означает, что > > → = <

ПРИМЕР • Сравнивали вес взрослых индеек двух пород после одинакового откорма. Получены следующие показатели: Порода № 1 N 1=20 M 1=4, 0 кг m 1=0, 3 кг Порода № 2 N 2=25 M 2=4, 6 кг m 2=0, 4 кг

• Разность выборочных средних M 1 – M 2 d = 4, 6 – 4, 0 = 0, 6 • Ошибка разности md = 0. 5 • td = 1, 2 ν = 20 + 25 – 2 = 43 • tst = {2, 0 – 2, 7 – 3, 5}

• Заключение: разность выборочных средних недостоверна • Повторили исследование с бóльшими выборками. Получены следующие показатели: N 1 = 100 M 1 = 4, 1 кг m 1 = 0, 1 кг N 2 = 100 M 2 = 4, 7 кг m 2 = 0, 1 кг

• Разность выборочных средних d = 4, 7 – 4, 1 = 0, 6 • Ошибка разности md = 0. 14 • td = 4, 3*** ν = 100 + 100 – 2 = 198 • tst = {2, 0 – 2, 6 – 3, 4}