Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 4 Уравнение первого

Скачать презентацию Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 4  Уравнение первого Скачать презентацию Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 4 Уравнение первого

lk4.ppt

  • Размер: 289.0 Кб
  • Автор:
  • Количество слайдов: 17

Описание презентации Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 4 Уравнение первого по слайдам

Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция

Уравнение первого порядка  Функциональное уравнение  F ( x , y ) =Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F ( x , y ) = 0 или y = f ( x , y ), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение дифференциального  уравнения  Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y =Решение дифференциального уравнения Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y = ( x ), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y = ( x ), обращает его в тождество относительно x.

Общее решение дифференциального уравнения 1 -го порядка  Общим решением  дифференциального уравнения первогоОбщее решение дифференциального уравнения 1 -го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = ( x , C ), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения.

  Уравнение Ф( x , y , C ) =0, определяющее общее решение Уравнение Ф( x , y , C ) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Уравнение, разрешенное относительно производной Если уравнение 1 -го порядка разрешить относительно производной, то оноУравнение, разрешенное относительно производной Если уравнение 1 -го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C. ), (yxfy

Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения      Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при , называется задачей Коши для уравнения 1 -го порядка. ), (yxfy 0 yy 0 xx

  Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения    Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через данную точку . ), (yxfy ), (000 yx. M

Уравнение с разделяющимися  переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. ( )fУравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. ( )f x dx g y dy

  Дифференциальное уравнение 1 -го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными , если Дифференциальное уравнение 1 -го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными , если оно имеет вид: . Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций , а затем интегрируют. M x N y dx M x N y dy 1 1 2 2 0( ) ( ) )()( 21 x. My. N

Пример  Разделим переменные в уравнении  Интегрируем: Имеем:     .Пример Разделим переменные в уравнении Интегрируем: Имеем: . ()()110 22 yxdxxdy xdx x dy y 11 22 1 2 1 11 2 22 dx x dy y () . )1 ln( 2 12 Carctgyx

Понятие однородной функции Функция z=f(x, y) называется однородной порядка k , если при умноженииПонятие однородной функции Функция z=f(x, y) называется однородной порядка k , если при умножении ее аргументов на t получаем: Если k=0 , то имеем функцию нулевого порядка. Например, функция нулевого порядка. ), (yxfttytxf k yx yx yxf ), (

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если его можно привести кОднородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если его можно привести к виду y = или к виду где и – однородные функции одного порядка. )( x y f Mxydx. Nxydy(, )0 Mxy(, )Nxy(, )

Пример Решить уравнение . 3 22 yyxyx Пример Решить уравнение . 3 22 yyxyx

Линейные уравнения 1 -го порядка  Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным , еслиЛинейные уравнения 1 -го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным , если оно содержит и в первой степени, т. е. имеет вид . Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv , где u и v -вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия. yy y. Pxy. Qx()()

Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1 -го порядка, имеющее вид   Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1 -го порядка, имеющее вид , где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки y P x y Q x y m ( )m 0 m 1 yuv

Пример  Решить уравнения 1) 2))1( 1  xe x y y x 2Пример Решить уравнения 1) 2))1( 1 xe x y y x 2 y x y