Общий вид симплекс матрицы С Р А 0 Показатели критерия оптимальности Номера неизвестных Значение целевой функции Коэффициенты при неизвестных А 0/ Хj Целевой столбец Номера неизвестных Показатели критерия оптимальности Целевая строка (двойственные оценки)
Первоначальная таблица будет иметь следующий вид: 5 4 2 0 0 0 М М М С Р А 0 Х 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х 5 Х 6 Х 7 Х 8 Х 9 М Х 7 20 0 2 1 -1 0 0 М Х 8 8 2 4 0 0 -1 0 0 1 0 М Х 9 60 10 4 2 0 0 -1 0 0 1 Если X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 положить равными нулю, то коэффициенты при X 7, X 8, X 9 образуют единичную подматрицу, и система уравнений примет вид: X 7=20, X 8=8, X 9=60.
• Согласно стратегии поиска оптимального решения, из допустимого плана необходимо выводить наименее эффективную переменную (узкое место), а вводить – наиболее эффективную. В случае поиска минимума наиболее эффективная вводимая переменная определяется по самому большему числу среди двойственных оценок, а в случае минимума – по наименьшему. Узкое место, т. е. выводимая переменная, определяется по наименьшему положительному значению отношения • где - элементы вектора А 0, а - соответствующие элементы вводимого вектора. Двойственные оценки определяются по формуле Для удобства при записи двойственных оценок нижняя строка разделяется на две. В верхней записывается коэффициент перед числом М, а в нижней – собственно число.
• • • Для нашего примера: для столбца А 0: 20 М + 8 М + 60 М = 88 М, для столбца Х 1: 0 М + 2 М + 10 М – 5 = 12 М – 5, для столбца Х 2: 2 М + 4 М – 4 = 10 М – 4, для столбца Х 3: 1 М + 0 М + 2 М – 2 = 3 М – 2, для столбца Х 4: -1 М + 0 М – 0 = -М, для столбца Х 5: 0 М - 1 М + 0 М – 0 = -М, для столбца Х 6: 0 М + 0 М - 1 М – 0 = -М, для столбца Х 7: 1 М + 0 М – М = 0, для столбца Х 8: 0 М + 1 М + 0 М – М = 0, для столбца Х 9: 0 М + 1 М – М = 0. Наибольшая из двойственных оценок Хi – (12 М – 5), поэтому в следующий план вводится переменная Х 1. Определим с помощью узкого места, какую переменную будем выводить. • Наименьшее отношение равно 4, поэтому будет выводиться переменная X 8.
5 4 2 0 0 0 М М М С Р А 0 Х 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х 5 Х 6 Х 7 Х 8 Х 9 М Х 7 20 0 2 1 -1 0 0 М Х 8 8 2 4 0 0 -1 0 0 1 0 4 М Х 9 60 10 4 2 0 0 -1 0 0 1 10 88 12 10 3 -1 -1 -1 0 0 0 0 -5 -4 -2 0 0 0 При введении столбца Х 1 и выведении строки Х 8 симплекс-таблица изменится. Элементы ключевой строки изменяются следующим образом: каждый элемент ключевой строки делится на ключевой элемент. В нашем случае ключевой элемент равен 2, и все элементы ключевой строки делятся на два. Все остальные элементы симплекс-таблицы определяются по формуле, где r – индекс ключевой строки:
5 4 2 0 0 0 М М М С Р А 0 Х 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х 5 Х 6 Х 7 Х 8 Х 9 М Х 7 20 0 2 1 -1 0 0 5 Х 1 4 1 2 0 0 -0, 5 0 0 0, 5 0 -8 М Х 9 20 0 -16 2 0 5 -1 0 -5 1 4 40 0 -14 3 -1 5 -1 0 -6 0 20 0 6 -2 0 -2, 5 0 0 2, 5 0 Поскольку среди двойственных оценок есть положительные, то оптимальный план не найден и требуется следующая итерация. Будем вводить столбец с максимальной двойственной оценкой (Х 5), а выводить Х 9, так как новое «узкое место» необходимо определять в новой симплекс-таблице.
5 4 2 0 0 0 М М М С Р А 0 Х 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х 5 Х 6 Х 7 Х 8 Х 9 М Х 7 20 0 2 1 -1 0 0 1 0 0 10 5 Х 1 6 1 0, 4 0, 2 0 0 -0, 1 0 0 0, 1 15 0 Х 5 4 10 -3, 2 0, 4 0 1 -0, 2 0 -1 0, 2 -1, 25 20 0 2 1 -1 0 0 0 -1 -1 30 0 -2 -1 0 0 -0, 5 0 0 0, 5 Поскольку опять среди двойственных оценок есть положительные, то оптимальный план не найден, и мы должны перейти к следующей итерации. Наибольшая положительная оценка у столбца Х 2, а выводиться должен столбец Х 7, так как 5 4 2 0 0 0 М М М С Р А 0 Х 1 Х 2 Х 3 Х 4 Х 5 Х 6 Х 7 Х 8 Х 9 4 Х 2 10 5 Х 1 2 0 Х 5 36 0 0 0 0 -1 -1 50 0 -1 0 -0, 5 1 0 0, 5
• Следовательно, • Подставим эти значения в исходные уравнения. Мы получим, что ни одно из неравенств не нарушено • Можно показать, что наше оптимальное решение не единственно.
