Общие сведения о численных методах Два класса расчетных

Общие сведения о численных методах Два класса расчетных задач при проектировании строительных конструкций: 1. Задачи строительной механики по определению напряженно-деформированного состояния конструкций при действии нагрузок и воздействий; 2. Задачи по определению параметров конструктивных решений в соответствии с указаниями используемых норм проектирования. Основная терминология: Строительная конструкция – часть здания или строительного сооружения, выполняющая определенные несущие, ограждающие или эстетические функции. Основание – часть массива грунта, воспринимающая воздействия, передаваемые через фундамент. Воздействия – нагрузки, изменение температуры, влияние на строительный объект окружающей среды, действие ветра, осадка оснований, смещение опор, деградация свойств материалов во времени и другие эффекты, вызывающие изменение напряженнодеформированного состояния строительных конструкций. При проведении расчетов воздействия допускается задавать как эквивалентные нагрузки. Конструктивная система – совокупность взаимосвязанных строительных конструкций и основания.

Расчетная схема - модель взаимосвязи конструктивной системы и системы воздействий, используемая при проведении прочностных расчетов. Расчетная схема отражает фактическую работу конструкции только с определенной долей приближения. Основные отличия расчетной схемы от конструктивной: 1. Чаще всего основные элементы расчетной схемы, в отличие от конструктивной схемы, являются одномерными или двумерными (за исключением 3 Dобъемных элементов). Остальные их характеристики (толщина, площадь поперечного сечения, моменты инерции и т. д. ) задаются численно. 2. В расчетной схеме ненесущие элементы обычно учитываются только в виде нагрузок, а также могут удаляться и те несущие элементы, работа которых не оказывает существенного влияния на результаты расчета данного элемента или модели в целом. 3. Применяются существенные упрощения при задании внешних воздействий и нагрузок. 4. Вводятся упрощающие предпосылки и накладываются дополнительные ограничения, касающиеся работы конструкций. Факторы, незначительно влияющие на напряженнодеформированное состояние системы, не учитываются. Расчетные схемы, которые применяются в конечно-элементных программных комплексах могут быть произвольными, и решения по их выбору принимаются пользователями комплексов. Проблема выбора адекватной расчетной схемы сооружения является одной из самых основных и сложных проблем, возникающих при расчете конструкций.

Конечно-элементная (КЭ) модель – расчетная схема в терминах метода конечных элементов. Элемент - простейшая неделимая часть чего-либо (системы, модели). Компонент - составная часть, элемент чего-либо (системы, модели). Матричный метод перемещений (ММП) Основные гипотезы ММП 1. Деформации растяжения сжатия малы по сравнению с деформациями изгиба, поэтому ими можно пренебречь, т. е. считать, что перемещения узлов происходят только за счет изгиба стержней; 2. Перемещения системы малы, поэтому пренебрегаем сближением концов стержней при изгибе. Т. е. длина стержня остается равной длине хорды, соединяющей его концы после искривления. 3. В шарнирно-стержневых системах (фермах) учитываются только деформации растяжения-сжатия. За неизвестные в ММП принимаются возможные линейные перемещения узлов системы и возможные углы поворота жестких узлов.

Zi – возможные перемещения системы; Pi – внешние узловые силы и моменты, приложенные в направлении возможных перемещений; Si – усилия в стержневых элементах: в фермах осевые силы, а в рамах моменты по концам стержней.

Вектор внешних сил по возможным перемещениям: Вектор усилий в стрежнях:

Статическая матрица А имеет размер m n, где m число возможных перемещений узлов, а n - число столбцов, равное числу внутренних усилий. 1. При m > n – система изменяема. Число степеней свободы W = m – n. 2. При m = n – система неизменяема и статически определима, если ее определитель Det A 0. Если Det A = 0 – – система мгновенно изменяема. 3. При m < n – система неизменяема и статически неопределима. Уравнения статического равновесия: Тогда m < n – следовательно система статически неопределима

Уравнения неразрывности деформаций: Деформации элементов при перемещении Z 1

Деформации элементов при перемещении Z 2

В матричном виде: где B – матрица деформаций, выражающая деформации элементов через перемещения ее узлов:

Статическая матрица А и матрица деформации В являются транспонированным друг относительно друга. или Доказательство выводится из закона сохранения энергии: работа внешних сил на возможных перемещениях равна работе внутренних усилий на возможных деформациях.

Связь между усилиями и деформациями системы определяется законом Гука: Sn – вектор усилия в элементе; n – вектор деформаций; kn - матрица жесткости элемента. а) Шарнирный элемент Осевая сила в элементе равна: или

б) Элемент с шарниром на одном конце и заделкой на другом конце. Изгибающий момент в опорном сечении равен:

в) Элемент, жестко защемленный по концам.

- вектор внутренних усилий (моментов); - вектор деформаций - матрица жесткости.

Построим матрицу жесткости фермы, показанной на рисунке. Величина (E·F) для всех элементов постоянна, меняется только их длина.

Разрешающая система уравнений 1. Уравнения равновесия: 2. Уравнения неразрывности деформаций: 3. Закон Гука После подстановки: К-1 – обратная матрица для матрицы жесткости Поскольку вычисление обратной матрицы – трудоемкая процедура, то вектор Z получают непосредственным решением системы уравнений: Проверка: 4. При расчете на внеузловую нагрузку, к расчетным усилиям добавляются усилия от внеузловой нагрузки:

Порядок расчета ММП: 1. Выбираем основную систему метода перемещений и строим расчетную схему, определяя направления неизвестных перемещений Z и искомых усилий S. 2. В случае внеузловой нагрузки строим эпюру Mp и приводим нагрузки к узловой. Строим векторы P, S 0. 3. Строим статическую матрицу А и матрицу жесткости К всех элементов. 4. Выполняем операции: и 5. Решаем систему уравнений равновесия и находим вектор Z. 6. Определяем внутренние усилия. 7. Выполняем проверку. 8. Определяем окончательное значение усилий 9. По найденным усилиям строим окончательные эпюры.

Проведем данный алгоритм для нашей фермы.

Решаем систему уравнений

Определяем внутренние усилия: Метод ММП является промежуточным звеном между классическим методом перемещений и МКЭ. Отличие МКЭ от ММП в методике получения матрицы жесткости системы.