ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 1. Выпуклость графика

ОБЩЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 1. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. 2. Асимптоты графика функции. 3. Общее исследование функции.

Вопрос 1. Выпуклость графика функции. Точки перегиба Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (а; b). Тогда в любой точке M(x, f(x)), где х (а; b), существует касательная к графику функции y = f(x). 0. 1. 1. График функции y = f(x) называется вогнутым (выпуклым) на интервале (а; b), если он расположен выше (ниже) любой своей касательной на этом интервале. Другие названия: вогнутый – выпуклый вниз; выпуклый – выпуклый вверх.

Т. 1. 1. (достаточное условие выпуклости или вогнутости графика функции) Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (а; b). Если во всех точках этого интервала f″(x) < 0, то график функции в этом интервале – выпуклый, если же f″(x) > 0 - вогнутый. О. 1. 2. Точкой перегиба графика дифференцируемой функции y = f(x) называется его точка, при переходе через которую график меняет направление выпуклости.

M(x 0, f(x 0)) - точка перегиба В точке перегиба касательная пересекает график функции. Т. 1. 2. (необходимое условие существования точки перегиба) Для того чтобы график дифференцируемой в точке х0 функции y = f(x) имел перегиб в точке с абсциссой х0, необходимо, чтобы в этой точке вторая производная f″(x 0) = 0 или не существовала.

Не всякая точка M(x 0, f(x 0)), для которой f″(x 0) = 0 или не существует, является точкой перегиба графика функции. Пример 1. Для функции f(x) = х4 имеем: f′(x) = 4 х3, f″(x) = 12 х2. Очевидно, что f″(x) = 12 х2 = 0 при х = 0, но точка О(0, 0) не является точкой перегиба графика функции.

Т. 1. 3 (достаточное условие существования точки перегиба) Если вторая производная f″(x) при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет свой знак, то точка графика с абсциссой х0 является точкой перегиба.

Правило исследования функции у = f(х) на выпуклость и точки перегиба 1. Найти область определения D(y). 2. Найти производные f′(x) и f″(x). 3. Найти точки, в которых f″(x) = 0 или не существует. 4. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба. 5. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример 2. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции Решение 1. D(y) = R. 2.

3. Точки х = ‒ 4, х = 0 D(y) в этих точках возможен перегиб. 4. 5. у(0) = 0(0 ‒ 8) = 0; Точки перегиба:

Вопрос 2. Асимптоты графика функции 0. 2. 1. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Асимптоты могут быть: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

О. 2. 2. Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы одно из предельных значений является бесконечным, т. е. равно + или ‒. Замечание Вертикальные асимптоты графика функции y = f(x) следует искать в точках разрыва данной функции или на концах области определения.

О. 2. 3. Прямая у = kx + b (1) называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x + , если эта функция представима в виде f(x) = kx + b + (x), где Т. 2. 1. График функции y = f(x) имеет при x + наклонную асимптоту (1) тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела (2) (3)

Замечание 1. Аналогично определяется наклонная асимптота для случая x ‒ : у = k 1 x + b 1 где 2. Если хотя бы один из пределов (2) и (3) не существует или равен бесконечности, то кривая y = f(x) не имеет наклонной асимптоты при x + (аналогично для x ‒ ).

3. В частности, для k = 0 наклонная асимптота у = kx + b при x + (x ‒ ) называется горизонтальной асимптотой при x + (x ‒ ), т. е. горизонтальная асимптота задается уравнением y = b где (4) Если конечен только один из пределов (4) или они разные, то y = b 1 - правосторонняя горизонтальная асимптота; y = b 2 - левосторонняя горизонтальная асимптота.

Пример 3. Найти асимптоты графика функции Решение 1. D(y): x ≠ 2. 2. Так как x = 2 D(y), то в этой точке возможна вертикальная асимптота. х = 2 - вертикальная асимптота.

3. Найдем наклонные асимптоты у = kx + b: у = х + 2 – наклонная асимптота. 4. Горизонтальных асимптот нет.

Вопрос 3. Общее исследование функции При исследовании функции и построении ее графика будем использовать следующую схему: 1. Найти область определения функции D(y). 2. Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями координат. 3. Исследовать функцию на четность и нечетность. График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной – относительно начала координат. 4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти асимптоты графика функции. Если асимптот нет, то полезно изучить поведение функции в граничных точках области существования, т. е. найти пределы приближении к этим точкам. 6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции. 7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции. 8. Построить график функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

Пример 4. Исследовать функцию и построить ее график. Решение 1. D(y): x ≠ 2. Точки пересечения с осями координат. Ох: у = 0 x 2 + 1 = 0 точек пересечения нет; Оу: х = 0 A(0, ‒ 1/2).

3. Так как область определения D(y) не симметрична относительно начала координат, то данная функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. это функция общего вида. 4. Функция непериодична. 5. Асимптоты: х = 2 - вертикальная асимптота, у = х + 2 – наклонная асимптота (см. решение примера 3).

6. Найдем интервалы монотонности и экстремумы.

7. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. - перегиба в этой точке быть не может.

8. Составим дополнительную таблицу значений:

у 2 у = х+2 0 2 х х=2