Общая задача линейного программирования имеет вид: Линейная функция f называется целевой функцией задачи. Все остальное, за исключением условий неотрицательности переменных xj, - ограничения. 1
Геометрический метод решения задач ЛП Применение метода к задачам с двумя переменными. Пусть дана задача ЛП в виде: Каждое ограничение геометрически определяет полуплоскость, следовательно, множество допустимых решений Х представляет собой пересечение конечного числа полуплоскостей, т. е. если Х (не пустое множество), то Х есть либо многоугольник либо многоугольное множество. 2
Целевая функция Рассмотрим целевую функцию f(x)=c 1 x 1+c 2 x 2 Линии уровня c 1 x 1+c 2 x 2=a образуют прямых. семейство параллельных Вектор n=(c 1, c 2) является вектором нормали к этим прямым и показывает направление возрастания целевой функции. Вектор –с будет показывать направление убывания целевой функции. 3
Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей. Область допустимых решений любой задачи имеет не более двух опорных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное решение. Целевая функция достигает экстремума в двух угловых точках. Множество решений может быть записано следующим образом: X= (1 -t)*A+t*B, где t изменяется от 0 до 1. 4
Теорема Целевая функция задачи ЛП достигает своего экстремального значения в угловой точке многогранника решений. 5
Алгоритм графического метода 1. Построить область допустимых решений (ДР). 2. Если область ДР – пустое множество, то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений. 3. Если область ДР является непустым множеством, строим нормаль линий уровня и одну из линий. 4. Перемещаем линию уровня до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, а в задаче на минимум- в противоположном направлении. 5. Если при перемещении линии уровня по области ДР в направлении, соответствующем приближению к экстремуму, линии уровня уходят в бесконечность, то задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции. 6. Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то для его нахождения необходимо решить совместно уравнения прямых, ограничивающих область ДР и имеющих общие точки с соответствующей опорной прямой. 7. Если целевая функция достигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек. 6
Задача 7
Каноническая форма задач ЛП Будем считать, что задача линейного программирования записана в канонической форме, если: 1. её целевая функция максимизируется; 2. ограничения имеют вид равенств с неотрицательной правой частью; 3. и все переменные неотрицательны. 8
Задача ЛП в канонической форме имеет вид: (1 ) Если задача ЛП представлена моделью: 9
Чтобы привести задачу к каноническому виду, необходимо к левой части ограничений добавить неотрицательные переменные. Эти переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами, чтобы не изменить ее значение. Переменные называются дополнительными или балансовыми. 10
Привести к каноническому виду 11
12
Двойственность в линейном программировании Двойственная задача- это вспомогательная задача ЛП, получаемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной задачи. 1. Если целевая функция f исходной задачи максимизируется, то целевая функция z двойственной задачи – минимизируется и наоборот. 2. Количество ограничений (m) исходной задачи равно количеству переменных двойственной задачи, а количество переменных (n) исходной задачи равно количеству ограничений двойственной. Переменные двойственной задачи обозначим yi (i=1, 2, m). 3. Поскольку переменные исходной задачи связаны с ограничениями двойственной, то каждой переменной xj 0 соответствует в двойственной задаче ограничения вида « » (f→max) или « » (f→min) и наоборот. 13
4. Каждой переменной xj неограниченной по знаку, соответствует ограничение вида «=» двойственной задачи, и наоборот. 5. Свободные члены ограничений исходной задачи bi (i=1, 2. . m) в двойственной задаче являются коэффициентами при переменных yi (i=1, 2, m) в целевой функции z. Коэффициенты cj (j=1, 2 n) при переменных xj (j=1, 2 n) в целевой функции исходной задачи являются свободными членами ограничений двойственной. 6. Матрица А коэффициентов при неизвестных в ограничениях исходной задачи в двойственной задаче транспонируется АТ. 14
Теоремы двойственности позволяют установить взаимосвязь межу оптимальными решениями пары двойственных задач. Решив одну из пары двойственных задач, можно или найти оптимальное решение другой задачи, не решая ее, или установить его отсутствие. Возможны следующие случаи: 1. Обе задачи из пары двойственных имеют оптимальные решения. 2. Одна из задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, а другая не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений. Теорема 1. Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и двойственная к ней имеет оптимальное решение, причем значение целевых функций задач на своих оптимальных решениях совпадают. Если одна из пары двойственных задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, то другая не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений. 15
Теорема 2. Для того чтобы решения и являлись оптимальными решениями пары двойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства: 16
Скачать презентацию Общая задача линейного программирования имеет вид Линейная функция
Лекц_уст_2014 методы опт. решений.ppt