Общая теория статистики
Ряды динамики Лекция
Ряды динамики ряды статистических величин, отражающие развитие явления во времени
Различают ряды динамики • по времени: моментные и интервальные • по способу выражения: ряды абсолютных, относительных и средних величин
Пример 1 Численность постоянного населения Удмуртской Республики, чел. (на начало года) 2006 г. 2007 г. 2008 г. 2009 г. 2010 г. 1544426 1537858 1532736 1528488 1525798 t Y Данный ряд динамики по времени – моментный, т. к. уровни представлены на моменты времени
по способу выражения – ряд динамики абсолютных величин, т. к. уровни ряда представлены в чел. (абсолютных единицах измерения) В каждом ряду имеются 2 элемента: t - время (моменты или периоды), Y - уровни ряда
Пример 2 Численность занятых в экономике Удмуртской Республики, тыс. чел. 2006 г. 766, 0 2007 г. 766, 3 2008 г. 769, 9 2009 г. 750, 5 Данный ряд динамики по времени – интервальный, уровни представлены за периоды времени (за каждый год) по способу выражения – ряд динамики абсолютных величин, т. к. уровни ряда представлены в тыс. чел.
Пример 3 Индекс потребительских цен в России в 2008, 2009 г. г. (в %) 2008 г. Период 1 квартал 2 квартал 3 квартал 2009 г. 4 квартал 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал Индекс 104, 8 103, 8 101, 7 102, 8 105, 4 101, 9 100, 6 100, 1 в%к предыд ущему году
Данный ряд динамики по времени – интервальный, уровни представлены за периоды времени по способу выражения – ряд динамики относительных величин, т. к. уровни ряда представлены в %
Определение среднего уровня ряда динамики
В моментном ряду динамики с равностоящими датами средний уровень определяется по формуле средней хронологической: Данная формула применима для примера 1
В интервальном ряду динамики с равными интервалами расчет среднего уровня ряда производится по формуле средней арифметической: где n – число уровней ряда. Данная формула применима для Примера 2
• В ряду динамики относительных величин средний уровень ряда определяется по средней геометрической, если уровни ряда представлены на цепной основе
где m – число уровней ряда Данная формула применима для Примера 3
Расчет среднего уровня в моментных рядах с неравностоящими датами и интервальных рядах с неравными интервалами производится по формуле средней арифметической взвешенной:
где t – интервал времени
Пример 4 Динамика остатков оборотных средств в апреле Дата Размер остатков оборотных средств, тыс. руб. (уровень ряда Y) Количество дней в периоде t Y t 01. 04 49 10 490 11. 04 52 5 260 16. 04 50 15 750 Х – складывать нельзя 30 1500
Данный ряд динамики – моментный с неравными интервалами (Х – складывать нельзя) = 1500 / 30 = 50 тыс. руб.
• Для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени рассчитывают абсолютные и относительные показатели изменения рядов динамики:
- уровень ряда Y, - абсолютные приросты Y, - коэффициенты роста К, - темпы роста Тр (%), - темпы прироста Тпр (%), - абсолютное значение одного процента прироста %, - средние показатели динамики.
Пример 5 Динамика численности населения УР, на начало года, тыс. чел. Годы Уровни Абсолютн. прирост Yi 2006 2007 2008 2009 2010 1544, 4 1537, 8 1532, 7 1528, 5 1525, 8 Баз Yб Цеп Yц Темп роста, % Баз Трб Абсолютно Темп прироста, е значение % Цеп Баз Цеп Трц Тпрб Тпрц 1% прир.
Среднегодовой уровень ряда определяем по средней хронологической (пример 1) = 1533, 525 тыс. чел.
Показатель абсолютного прироста Y - показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, то есть за определенный период времени Базисный: Y = Yi – Yб Цепной: Yц = Yi – 1
Годы Уровни Yi 2006 1544, 4 Абсолютный Темп прироста, % Баз Yб - Цеп Баз Цеп Y Трб Трц - -6, 6 (1537, 81544, 4) -6, 6 -11, 7 -5, 1 2008 1532, 7 (1532, 71544, 4) (1532, 71537, 8) 2009 1528, 5 -15, 9 -4, 2 2010 1525, 8 -18, 6 -2, 7 2007 1537, 8 Темп Абс. прироста, % значение Баз Тпрб Цеп 1% Тпрц прироста
Среднегодовой абсолютный прирост Y где ц = ———, m m = n – 1, m – число интервалов в ряду динамики;
Y бn Yn – Yб = ——, или = ——— m m – 18, 6 = –––– = – 4, 65 тыс. чел. 4
• Коэффициент роста показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным или предыдущим уровнем. Он определяется как отношение уровня изучаемого периода к уровню, принятому за базу сравнения
Базисный: Цепной: Yi К б = ––– Yб Yi К ц = –––– Yi – 1
Темп роста вычисляется в процентах и представляет собой произведение коэффициента роста на 100%, все преобразования коэффициентов роста сохраняются и для темпов роста Тр = Кр 100%
Между цепными и базисными коэффициентами роста существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь соответствующий период: ПКц = Кб где П – знак произведения
Среднегодовой темп роста определяется через среднегодовой коэффициент роста Средний коэффициент роста может быть вычислен через цепные коэффициенты роста, через базисные коэффициенты роста и через уровни ряда динамики. где К i – цепные коэффициенты роста;
=СТЕПЕНЬ(5; 2) Число 5 в квадрате Ответ: 25 =СТЕПЕНЬ(98, 6; 3, 2) Число 98, 6, возведенное в степень 3, 2 Ответ: 2401077 =СТЕПЕНЬ(4; 5/4) Число 4, возведенное в степень 5/4 Ответ: 5, 656854
где Кб – базисный темп роста в форме коэффициента; Yn – конечный уровень ряда динамики; Yб – базисный уровень ряда динамики.
Годы Уровни Абсолютный прирост Yi 2006 1544, 4 Баз Yб - Темп роста, % Цеп Баз Трб Цеп Трц Y - - - 99, 57 2007 1537, 8 -6, 6 (1537, 8: 1544, 4) 99, 24 99, 67 2008 1532, 7 -11, 7 -5, 1 (1532, 7: 1544, 4) (1532, 7: 1537, 8) 99, 73 (1528, 5: 1532, 7) 2009 1528, 5 -15, 9 -4, 2 98, 97 2010 1525, 8 -18, 6 -2, 7 98, 80 99, 82 Темп прироста, Абс. % значение Баз Тпрб Цеп Тпрц - - 1% прир.
• Среднегодовой темп роста составит: или 99, 7%
Темп прироста показывает, на сколько процентов изменился уровень ряда по сравнению с базисным или предыдущим периодом. Базисный: Цепной: Среднегодовой Тпр б = Тр б – 100. Тпр ц = Тр ц – 100. = – 100% = – 0, 3%
Годы Уровни Абсолютный Темп роста, % прирост Yi Базис Цеп Yб Yц 2006 1544, 4 2007 1537, 8 -6, 6 2008 1532, 7 -11, 7 2009 1528, 5 -15, 9 2010 1525, 8 -18, 6 Базисн Трб Цепн Трц Темп прироста, % Базис Тпрб -6, 6 -5, 1 -4, 2 -2, 7 99, 57 99, 24 99, 67 98, 97 99, 73 98, 80 99, 82 (99, 57 -100) значение Цепной Тпрц -0, 43 Абс. 1% прир. 15, 35 -0, 43 (-6, 6, : -0, 43) -0, 76 -0, 33 15, 45 (99, 24 -100) (99, 67 -100) (-5, 1: -0, 33) -1, 03 -0, 27 15, 56 (98, 97 -100) (99, 73 -100) (-4, 2: -0, 27) -1, 20 -0, 18 15, 00 (98, 8 -100) (99, 82 -100) (-2, 7: -0, 18)
Показатель абсолютного значения одного процента прироста А% определяется как отношение в каждом периоде абсолютного прироста Yц к темпу прироста Кц. Расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе: А% = Y ц / К ц % При разных уровнях явления абсолютное значение 1% является разной величиной.
-6, 6 А% 2007 = ––––– -0, 43 = 15, 3
Годы Yi Темп роста, % Темп прироста, % Базис Цеп Yб Yц Уровни Абсолютный прирост Базисн Трб Базис Тпрб 2006 1544, 4 2007 1537, 8 Цепн Трц 2 Абс. значение Цепной Тпрц 1% прир. 2 5 -6, 6 99, 57 -0, 43 15, 35 2008 1532, 7 -11, 7 -5, 1 99, 24 99, 67 -0, 76 -0, 33 15, 45 2009 4 -15, 9 -4, 2 98, 97 99, 73 -1, 03 -0, 27 15, 56 2010 1525, 8 -18, 6 -2, 7 98, 80 99, 82 -1, 20 1533, 525 4 -0, 18 5 15, 00 3 1 -4, 65 = -18, 6/4 3 -0, 3 0, 997 = 99, 7% -100%
Общие выводы: 1. В период 2006 -2010 гг. в Удмуртской Республике ежегодно проживало в среднем 1533, 5 тысяч человек. 2. Наиболее резкое снижение численности произошло в 2007 году по сравнению с 2006 годом на 6, 6 тысяч человек или на 0, 43%.
3. В течение всего периода складывается негативная тенденция: ежегодно численность населения Удмуртии снижается на 4, 65 тысяч человек или на 0, 3%. 4. За исследуемый период (5 лет) численность населения снижена на 18, 6 тысяч человек или на 1, 2%.
5. Если в 2007 году на 1 % снижения приходилось 15, 35 тыс. чел. населения, то к 2010 году на 1 % снижения приходилось 15, 0 тыс. чел. , т. е. происходит медленное затухание 1 % процента снижения численности населения.
Выявление тенденции развития в рядах динамики: 1. Укрупнение периодов (например, сравнивают объем продукции, товарооборота, количества обращений граждан не за отдельные годы, а за трёхлетия, пятилетия и т. д. ).
2. Сглаживание ряда динамики методом скользящей средней. Если построить линейную диаграмму (динамические ряды изображаются с помощью линейных диаграмм), то часто бывает трудно охарактеризовать тренд.
• Способ скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем – средний уровень из такого же числа уровней начиная со второго, далее – начиная с третьего и т. д.
При расчете среднего уровня «скользят» по временному ряду от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя следующий.
Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период.
Динамика количества зарегистрированных преступлений в Удмуртской Республике Годы Уровни, У 1995 Суммирование уровней (за каждые 3 года) 31409 1996 Скользящая средняя, Ус 29008 85171 28390= (31409+29008+24754)/3 1997 24754 82147 27382 1998 28385 85713 28571 1999 32574 91085 30362 2000 30126 93203 31068 2001 30503 85092 28364 2002 24463 87961 29320 2003 32995 94438 31479 2004 36980 124130 41377 2005 54155 156395 52132 2006 65260 182238 60746 2007 53035 163235 54412 2008 44940
Пример 6 Рис. 12. 1 -Динамика количества зарегистрированных преступлений в Удмуртской Республике в период 1995 -2008 гг. Линия скользящей средней сглаживает различия фактических значений.
Аналитическое выравнивание ряда – выравнивание ряда динамики способом наименьших квадратов. Метод состоит в отыскании аналитической формулы кривой, которая наиболее точно отражала бы основную тенденцию изменения уровней в течение периода. Расчетные уровни определяют на основе уравнения соответствующей кривой, параметры которой находят способом наименьших квадратов.
Уравнение, выражающее уровни ряда динамики в виде некоторой функции времени, называют трендом.
• Аналитическое выравнивание рядов динамики следует производить по одному из математических уравнений: а) прямая: Yt = а 0 + а 1 t, где Yt – теоретический уровень, t – время; а 0, а 1–параметры прямой;
б) показательная функция: Yt = а 0 * а 1 t; в)парабола второго порядка: Yt =а 0+а 1 t +а 2 t 2 г) полулогарифмическая: Yt = а 0 + а 1 lg t Аналитическое выравнивание ряда динамики позволяет выявить более четкое направление основной тенденции
Рассмотрим технику выравнивания ряда по уравнению прямой. Параметры а 0 и а 1 искомой прямой определяются по методу наименьших квадратов.
Составляется система нормальных уравнений:
где t – порядковый номер интервала или момента времени.
Расчет параметров а 0 и а 1 упрощается, если за начало отсчета t = 0 принять центральный интервал или момент.
Тогда t = 0, и система уравнений примет следующий вид:
• Отсюда: Y а 0 = ——; n Yt а 1 = —— 2 t
Исходные данные для расчета параметров уравнения прямой по ряду динамики численности населения УР Год Численность населения УР, тыс. чел. , t t 2 (Y– Y t )2 (Y - )2 Y 2006 1544, 4 -2 4 -3088, 80 1543, 10 1, 69 112, 36 2007 1537, 8 -1 1 -1537, 80 1538, 45 0, 42 16, 00 2008 1532, 7 0 0 0, 00 1533, 80 1, 21 2009 1528, 5 1 1 1528, 50 1529, 15 0, 42 28, 09 2010 1525, 8 2 4 3051, 60 1524, 50 1, 69 64, 00 Сумма 7669 0 10 -46, 5 7669 5, 435 221, 66
Система уравнений примет вид: n = 5 (количество лет в примере)
По методу наименьших квадратов вычислим значения а 0 = 1533, 8 и а 1 = – 4, 65; уравнение будет иметь вид: = 1533, 8 – 4, 65 t
Показатели а 0, а 1 – коэффициенты регрессии Коэффициент а 0 – условное начало
Коэффициент а 1 = – 4, 65 означает, что при увеличении времени на 1 период (1 год), численность населения будет снижаться на 4, 65 тысяч человек.
Рассчитаем значения уровней ряда и занесем их в таблицу 2006 год = 1533, 8 – 4, 65 × (-2) = 1543, 10 2007 год = 1533, 8 – 4, 65 × (-1) = 1538, 45 2008 год = 1533, 8 – 4, 65 × (0) = 1533, 8 и т. д. Условие проверки: Сумма Y = Сумма
Показатели надежности уравнения Абсолютный показатель отклонения фактических уровней от тренда – среднее квадратическое отклонение:
Относительной мерой колеблемости служит модифицированный коэффициент вариации:
Самый важный показатель - эмпирическое корреляционное отношение
где – теоретические уровни ряда, согласно полученному тренду; Y – фактические значения уровня динамического ряда; – средний уровень фактического динамического ряда Чем ближе показатель к 1, тем уравнение надежней
Квадратическое отклонение: = =1, 043 тыс. чел. (5, 435 – взято из таблицы)
Коэффициент вариации: 1, 043 = –––––– × 100% = 0, 07 % 1533, 8 Коэффициент вариации должен быть не больше 25%, иначе моделью пользоваться нельзя.
Проверим надежность рассчитанного уравнения h= = 0, 987 Связь весьма высокая (на основе шкалы Чеддока)
Для получения выводов о практической значимости показаниям тесноты связи дается качественная оценка на основе шкалы Чеддока Характеристика связи Показания тесноты связи 0, 1 - 0, 3 0, 5 Характери-ка слабая умерен силы связи ная 0, 5 -0, 7 заметная 0, 70, 99 высокая весьма высок.
Это означает, что уравнение можно использовать для составления прогнозов на будущий период с приближения, так как чем ближе эмпирическое корреляционное отношение к 1, тем уравнение надежней.
Построим прогноз на 2011, 2012 год : ~ Y =1533, 8 – 4, 65 × 3 =1519, 85 (тыс. чел. ) ~ Y =1533, 8 – 4, 65 × 4 =1515, 20 (тыс. чел. )
Y = -6, 2 X + 1550 R 2 = 0, 9959 Вычислено на компьютере
Итого: 1. Сделать 5 выводов по ряду динамики. 2. Вычислить уравнение аппроксимации. 3. Сделать прогноз на 2 года вперед 4. Вычислить надежность прогноза. 5. Нарисовать график с уравнением аппроксимации.
Уравнение апроксимации (вычислено ПЭВМ) y= 3 -4 x + 2 74 x - 262 x + 574 Надежность: R² = 0, 696 (0, 7 связь высокая)
Рассмотрим технику выравнивания ряда по уравнению параболы
Исходные данные для расчета параметров уравнения прямой по ряду динамики численности населения УР Численность населения УР, тыс. чел. , t t 2 Y t Y 16 Год Y t 2 t 4 1544, 4 Y 2006 1544, 4 -2 4 -3088, 80 6177, 6 2007 1537, 8 -1 1 -1537, 80 1537, 8 1 1537, 8 2008 1532, 7 0 0 0, 00 0 0 1532, 7 2009 1528, 5 1 1 1528, 50 1528, 5 1 1528, 5 2010 1525, 8 2 4 3051, 60 6103, 2 16 1525, 8 Сумма 7669 0 10 -46, 5 15347, 1 34 7669
Исходные данные для расчета параметров уравнения прямой по ряду динамики численности населения УР (Y–Yr)2 (Y– Yср)2 Год 2006 0, 00 112, 36 2007 0, 00 16 2008 0, 45 1, 21 2009 0, 00 28, 09 2010 0, 00 64 Сумма 0, 45 221, 66
= 1532, 5 – 4, 65 t +0, 65 t 2
Конец лекции
Скачать презентацию Общая теория статистики Ряды динамики Лекция
Тема_7_Ряды динамики - копия.ppt