Общая физика 1) Механика, молекулярная физика и термодинамика 2
Лекция 1 Система отсчета. Материальная точка. Радиус-вектор и вектор перемещения, их связь с координатами точки. Траектория. Средняя и мгновенная скорости. Ускорение. Закон равноускоренного движения. • Тело относительно, которого происходит определение положения рассматриваемого нами тела, называется телом отсчета. • Совокупность тела отсчета, связанной с ним координатной системы и синхронизированных между собой часов образует систему отсчета . • Тело размерами, которого можно пренебречь в условиях данной задачи называется материальной точкой.
Кинематика. 1. 3 • Тело размерами, которого можно пренебречь в условиях данной задачи называется материальной точкой. Положение материальной точки в пространстве можно определитьс помощью радиус вектора. • Радиус вектор r – это вектор проведенный из начала координат системы отсчета в место где находится материальная точка в данный момент времени При движении радиус вектор материальной точки изменяется как по модулю, так и по направлению r(t). • Геометрическое место концов радиуса вектора r называется траекторией движения материальной точки
Кинематика. 1. 4 Пусть при своем движении материальная точка двигалась вдоль траектории из начального положения в конечное, тогда • Длина траектории называется путем s пройденным материальной точкой. • Разница радиус векторов начального и конечного положений материальной токи называется перемещением Δr 12. Всякое движение можно разложить на два вида: поступательное и вращательное. • Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая связанная с движущимся телом остается параллельной самой себе.
Кинематика. 1. 5 • В случае вращательного движения все точки тела движутся по окружностям центры, которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться и вне тела. При движении материальной точки за время Δt из начального положения в конечное ее перемещение составляет величину Δr. Тогда отношение Δr/Δt называют средним вектором скорости <v> за время Δt. При стремлении Δt к нулю средний вектор скорости <v> стремится к определенному пределу – этот предел называется скоростью материальной точки в данный момент времени v.
Кинематика. 1. 6 Модуль вектора скорости v определяется следующим способом
Кинематика. 1. 7 Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от t 1 до t 2 равен определенному интегралу: На графике зависимости модуля вектора скорости от времени пройденный путь графически изображается, как площадь под графиком между двумя моментами времени.
Кинематика. 1. 8 Движение материальной точки характеризуется также ускорением. Вектор ускорения w определяет скорость изменения вектора скорости материальной точки со временем, т. е равен производной от вектора скорости по времени: Прямолинейное движение с постоянным ускорением называется равнопеременным. В зависимости от поведения скорости со временем различают равномерно-ускоренное и равномерно-замедленно движения.
Кинематика. 1. 9 • Зная, проекции радиус вектора r(t) на оси X, Y, Z декартовой системы координат связанной с телом отсчета: x=x(t), y=y(t), z=z(t), можно получить координатное представление радиус вектора: Взяв производную по времени от выражения для радиус вектора, получим: Аналогично получаем координатное выражение для ускорения w
Кинематика. 1. 10 Для полного решения задачи о движении материальной точки – определения ее скорости v и положения r в зависимости от времени – не достаточно знать зависимость w(t), еще необходимо знать и начальные условия. Рассмотрим случай движения материальной точки с постоянным ускорением w=const. . v=v 0+Δv r=r 0+Δr
Лекция 2 Движения тела по окружности. Угловая скорость, нормальное и тангенициальное ускорение. Движение по криволинейной тракектории. Введем единичный вектор τ, связанный с движущейся материальной точкой и направленный по касательной к траектории в сторону скорости. Вектор скорости v материальной точки направлен по касательной к траектории, поэтом его можно определить следующим образом: Тогда ускорение материальной точки: После ряда преобразований получаем выражение для ускорения материальной точки
Кинематика. 2. 2 При стремлении начальной и конечной точек траектории друг к другу отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке , а радиус R соответствующей окружности - радиусом кривизны траектории в данной точке Первое слагаемое в этом выражении называется тангенциальным ускорением wτ, второе нормальным wn:
Кинематика. 2. 3 Таким образом, полное ускорение w материальной точки может быть представлено как сумма двух векторов тангенциального и нормального ускорений. Один из, которых wn перпендикулярен к вектору скорости v, а второй wτ направлен по касательной к траектории • Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Если скорость по величине не изменяется, тангенциальное ускорение равно нулю. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Если направление скорости не изменяется, движение происходит по прямолинейной траектории.
Кинематика. 2. 4 • Ускорение материальной точки, движущейся по произвольной кривой, также будет зависеть от кривизны траектории, которая в разных точках будет различна. Модуль полного ускорения Предположим, что материальная точка движется вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси по окружности радиуса r.
Кинематика. 2. 5 • Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором dφ, модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью вращения, причем так, что направление поворота отвечает правилу правого винта по отношению к направлению вектора dφ. Тогда элементарное перемещение материальной точки при таком повороте связано с углом поворота соотношением: . или в векторном виде:
Кинематика. 2. 6 ω называется угловой скоростью тела. Вектор ω направлен вдоль оси, вокруг которой движется материальная точка, в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой аксиальный вектор.
Кинематика. 2. 7 • при равномерном вращении ω показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Поскольку промежутку времени Т соответствует угол поворота 2π, откуда период Т равен: Число оборотов в единицу времени ν, равно:
Кинематика. 2. 8 • Из предыдущего соотношения следует, что угловая скорость равна 2π, умноженное на число оборотов в единицу времени Вектор угловой скорости может изменяться, как по величине, так и по направлению. В первом случае изменяется значение вектора линейной скорости материальной точки, тогда как во втором случае изменяется ось вращения. Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуют величиной называемой угловым ускорением: Направление вектора β совпадает с направлением dω – приращения вектора ω.
Кинематика. 2. 9 • Зная радиус окружности, по которой движется материальная точка, угловую скорость, можно определить линейную скорость движения материальной точки по окружности. Для этого разделим в формуле, определяющей перемещения материальной точки, левую и правую части на dt. Так как dr/dt=v и dφ /dt=ω, то Продифференцировав выражения связывающее угловую и линейную скорости найдем полное ускорение материальной точки
Кинематика. 2. 10 • В рассматриваемом случае ось вращения неподвижна, поэтому вектор представляет собой тангенциальное ускорение - это нормальное ускорение wn. Вектор Модули этих ускорений равны: Окончательно получаем модуль полного ускорения:
Лекция 3 Инерциальные системы отсчета, первый закон Ньютона. Масса и импульс материальной точки. Сила. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Преобразования Галилея. • Классическая динамика основана на трех законах сформулированных Ньютоном. Классическая ньютоновская динамика (механика) описывает обширный круг явлений. Однако существуют границы ее применимости. Классическая динамика применима при скоростях на много меньших скоростей света 3 108 м/с и на расстояниях значительно больших атомных 10 -13 см. Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерно и прямолинейно движется, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба этих состояния характеризуются тем, что ускорение тела равно нулю. Формулировке первого закона можно придать следующий вид: скорость любого тела остается постоянной, пока воздействие на это тело со стороны других тел не вызовет ее изменение
Динамика. 3. 2 • Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной. • Система отсчета в которой первый закон Ньютона не выполняется называется неинерциальной системой отсчета. Любая система, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно тоже будет инерциальной. Для инерциальных систем справедлив • принцип относительности, согласно которому все инерциальные системы по своим механическим свойствам эквивалентны другу. Данное утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея.
Динамика. 3. 3 • Пусть инерциальная система К’ движется со скоростью V относительно другой инерциальной системы К. Выберем оси координат x’, y’, z’ K‘-системы параллельно соответствующим осям x, y, z К-системы так, чтобы оси x’ и x совпадали между собой и были направлены вдоль вектора V. Взяв за начало отсчета времени момент, когда начала координат О’ и О совпадали, запишем соотношение между радиус-векторами r’ и r одной и той же материальной точки в K’- и К-системах: и, кроме того,
Динамика. 3. 4 Подразумевается, что длина отрезков и ход времени не зависят от состояния движения и, следовательно, одинаковы в обеих системах отсчета. В координатах преобразования Галилея имеют вид: Продифференцировав по времени преобразования Галилея, найдем классический закон преобразования скорости материальной точки при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой Дифференцируя это выражение по времени с учетом того, что V=const, получаем w’=w, т. е. ускорение точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета.
Динамика. 3. 5 В динамике рассматривается движение материальной точки в связи с теми причинами (взаимодействиями), которые обуславливают тот или иной характер движения. • Влияние другого тела или тел, вызывающее ускорение тела (изменение скорости), называют силой. Опыт показывает, что всякое тело оказывает сопротивление при любых попытках изменить его скорость – как по модулю, так и по направлению. • Свойство, выражающее степень сопротивления тела изменению его скорости, называют инертностью. • Мерой инертности служит величина, называемая массой
Динамика. 3. 6 • Понятие массы m, вводится по определению отношений масс двух различных тел по обратному отношению ускорений, сообщаемых им равными силами: В рамках ньютоновской механики масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами: 1) масса – величина аддитивная, т. е. масса составного тела равна сумме масс его частей; 2) масса тела как такового – величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.
Динамика. 3. 7 • Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение всякого тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела. Опыт показывает, что если на тело действуют несколько сил, то результирующая сила F определяется следующим образом:
Динамика. 3. 8 Во всех случаях, когда в опытах участвуют два тела А и В и тело А сообщает ускорение телу В, обнаруживается, что и тело В сообщает ускорение телу А. Отсюда мы заключаем, что действия тел друг на друга имеют характер взаимодействия. Ньютон постулировал общее свойство всех сил взаимодействия третьим законом Ньютона: • силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки, т. е. Чтобы свести нахождение закона движения частицы к чисто математической задаче, необходимо, прежде всего, знать зависимость силы от определяющих ее величин. Такие зависимости являются следствием обобщения результатов опыта. Наиболее часто встречаемые силы это гравитационные, электрические, сила упругости, сила трения скольжения, однородная сила тяжести.
Динамика. 3. 9 Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя телами в соответствии с законом всемирного тяготения имеет вид: где γ – гравитационная постоянная. r – растояние между центрами масс тел.
Динамика. 3. 10 Кулоновская сила действующая между двумя точечными зарядами q 1 и q 2 где r – расстояние между зарядами k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. Упругая сила – сила, пропорциональная смещению материальной точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия: Fупр=-χr, где r – радиус-вектор, характеризующий смещение материальной точки из положения равновесия; χ – положительный коэффициент, зависящий от упругих свойств среды.
Динамика. 3. 11 Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого тела: , где k – коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей; N – сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила F направлена в сторону противоположную направлению движения данного тела относительно другого
Лекция 4 Замкнутая система материальных точек. Закон сохранения импульса. Момент импульса, закон сохранения момента импульса. Любое тело или совокупность тел представляет собой систему материальных точек. Для описания системы материальных точек необходимо знать закон движения каждой материальной точки системы, т. е. знать зависимость координат и скоростей каждой материальной точки от времени. Оказывается, есть общие принципы, которые можно применить к описанию системы в целом. Это законы сохранения. Существуют такие величины, которые обладают свойством сохраняться во времени. Среди этих величин наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса. Эти три величины имеют важное общее свойство аддитивности: их значения для системы, равно сумме значений для каждой из частей системы в отдельности. По определению, импульс материальной точки: где m и v – ее масса и скорость.
Законы сохранения. 4. 2 Воспользовавшись определением импульса, запишем второй закон Ньютона в иной форме: т. е. производная импульса материальной точки по времени равна результирующей всех сил действующих на материальную точку. Например если F=0 то p=const. Это уравнение позволяет найти приращение импульса материальной точки за любой промежуток времени, если известна зависимость силы F от времени: Таким образом, приращение импульса частицы за любой промежуток времени зависит не только от значения силы, но и от продолжительности ее действия
Законы сохранения. 4. 3 Материальные точек, входящие в систему могут взаимодействовать, как между собой, так и с другими телами не входящими в систему. В соответствие с этим • силы взаимодействия между материальными точками системы называются внутренними, • а силы обусловленные взаимодействием с телами не входящими в систему называются внешними. • В случае если на систему не действуют внешние силы, она называется замкнутой. Импульс системы определим, как векторную сумму импульсов ее отдельных частей:
Законы сохранения. 4. 4 Рассмотрим импульс системы состоящей из двх материальных точек. Тогда импульс такой системы равен p=p 1+p 2. Напишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона: Сложим эти два уравнения вместе. Сумма внутренних сил будет равна нулю (по третьему закону Ньютона, F 12=-F 21), вследствие чего получим:
Законы сохранения. 4. 5 Если на систему не действуют внешние силы то получается, что следовательно для замкнутой системы р постоянен. Аналогичные рассуждения можно обобщить и на систему из N материальных точек. Закон сохранения импульса формулируется следующим образом: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Импульс остается постоянным и для не замкнутой системы при условии, что внешние силы, действующие на материальные точки системы, в сумме дают ноль. Даже если сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторую ось равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось будет оставаться постоянной.
• Законы сохранения. 4. 6 Момент импульса относительно точки О равен: где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в ту точку пространства, в которой находится материальная точка. Из этого определения следует, что L является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки О направлении вектора р и вектор L образуют правовинтовую систему. Модуль вектора L равен: где α – угол между r и р, l=rsinα – плечо вектора р относительно точки О
Законы сохранения. 4. 7 • Момент импульса материальной точки может изменяться со временем, продифференцировав выражение для момента импульса, можно определить причину вызывающую изменение момента импульса Первое слагаемое в правой части равенства обращается в ноль так, как dr/dt=v, а скорость параллельна импульсу р. Далее, согласно второму закону Ньютона, dp/dt=F, получаем: Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют моментом силы F относительно точки О. Обозначим ее буквой М:
Законы сохранения. 4. 8 Модуль этого вектора равен M=l. F. Таким образом производная от момента импульса относительно некоторой точки О равна моменту М равнодействующей силы относительно той же точки О Это уравнение называют уравнением моментов. Из уравнения моментов, в частности, следует, что если М=0, то L=const. Другими словами, если относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени.
Законы сохранения. 4. 9 Для определения приращения момента импульса частицы относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы необходимо проинтегрировать выражение d. L=Mdt. В результате найдем приращение вектора L за конечный промежуток времени t: Момент импульса системы - векторная сумма моментов импульсов ее отдельных частиц: Подобно тому, как это делалось для импульса системы. Рассмотрим случай системы состоящей из двух материальных точек.
Законы сохранения. 4. 10 Момент внутренней силы действующей на 1 частицу со стороны второй обозначим M 12, результирующий момент внешних сил действующих на эту частицу M 1. Аналогично введем обозначения и для второй материальной точки M 21 и M 2. Тогда уравнения моментов для материальных точек системы будут выглядеть следующим образом: Сложив эти выражения получим: Рассмотрим сумму двух первых слагаемых в правой части :
Законы сохранения. 4. 11 Радиус-вектор r 12 коллинеарен силе F 12, поэтому векторное произведение этих двух векторов равно нулю. Таким образом, получаем: Данное соотношение можно обобщить на систему из произвольного числа материальных точек. Следовательно, получаем, что изменение момента импульса системы обусловлено действием на нее момента внешних сил. Если же внешние силы не действуют, то момент импульса остается постоянным. Таким образом, мы пришли к закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
Лекция 5 Работа и мощность силы. Консервативные силы, работа консервативных сил. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии Пусть на материальную точку действует сила F, и под действием этой сила произошло перемещение по некоторой траектории из точки 1 в точку 2. В общем случае сила F меняется в процессе движения. • Действие силы F на перемещении dr характеризуют величиной, равной скалярному произведению Fdr, эту величину называю работой силы F на перемещении dr: где α – угол между вектором силы и перемещения, ds – элементарный отрезок пути, Fs – проекция вектора силы на перемещение.
Законы сохранения. 5. 2 • Работа А – величина алгебраическая: в зависимости от угла между силой и перемещением работа может быть как положительной, отрицательной так и равной нулю. Если же необходимо определит работу, совершенную силой F на всей траектории необходимо вычислить интеграл: Построив график зависимости проекции силы Fs от положения материальной точки (s) на траектории. Можно придти к выводу, что графически элементарная работа d. A будет выглядеть как площадь под графиком между двумя точками. При этом площадь над осью s будет положительной, а под ней отрицательной.
Законы сохранения. 5. 3 На практике часто имеет значение не само значение работы, а то время, за которое данная работа была выполнена. Поэтому вводится • величина, характеризующая работу, совершаемую в единицу времени – мощность. Если работа, совершаемая за одинаковые промежутки времени не одинакова то можно определить мгновенную мощность: Пусть за время dt точка получает перемещение dr. Тогда элементарная работа равна d. A=Fdr и мощность можно представить в виде:
Законы сохранения. 5. 4 • Если в каждой точке пространства на помещенную туда материальную точку действует сила, то говорят, что материальная точка находится в поле сил. Поле, остающееся постоянным во времени, называют стационарным. Стационарные силовые поля, в которых работа не зависит от пути между точками 1 и 2, называют консервативными. Силы, не являющиеся консервативными, называют неконсервативными. Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы называют центральными
Законы сохранения. 5. 5 Тот факт, что работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положения материальной точки, дает возможность сопоставить полю некоторую функцию координат(радиус-вектора) U(r). Таким образом, работа сил поля на пути 1 -2 равна убыли потенциальной энергии материальной точки в данном поле.
Законы сохранения. 5. 6 Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия U(r). Именно так и были получены работы в полях упругой, гравитационной и кулоновской сил В поле упругой силы: В кулоновском поле материальной точки: В однородном поле силы тяжести:
Законы сохранения. 5. 7 При перемещении материальной точки из одной точки поля консервативных сил в другую работа сил поля равна убыли потенциальной энергии. В случае элементарного перемещения получим: Так как Fdr=Fsds имеем: В декартовых координатах это соотношение имеет вид: Величину, стоящую в скобках, называют градиентом скалярной функции U и обозначают grad U или
Законы сохранения. 5. 8 • Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила при элементарном перемещении dr Отсюда видно, что работа результирующей силы F идет на приращение некоторой величины, которую называют кинетической энергией: Таким образом, при конечном перемещении из точки 1 в точку 2: приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на материальную точку на том же перемещении.
Законы сохранения. 5. 9 Результирующая всех сил может быть представлена как F=Fконс. +Fстор. Тогда работа этих сил идет на приращение кинетической энергии: Аконс. +Астор. Так же работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии Аконс. =-ΔU. В итоге получаем: ΔT=-ΔU+Aстор. Δ(T+U)=Астор. Из этого соотношения видно, что работа сторонних сил идет на приращение величины T+U. Эту величину – сумму кинетической и потенциальной энергий – называют полной механической энергией материальной точки и обозначают Е.
Законы сохранения. 5. 10 Полная механическая энергия, как и потенциальная, определяется с точностью до произвольной постоянной. Изменение полной механической энергии материальной точки обусловлено совершением над ней работы сторонними силами. Отсюда непосредственно следует закон сохранения механической энергии: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течении интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной за это время. Если же рассматривать не одну материальную точку, а систему, то помимо потенциальной энергии во внешнем поле сил необходимо также учитывать энергию взаимодействия между отдельными материальными точками системы Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют диссипативные силы, сохраняется в процессе движения т. е
Лекция 6 Упругие и квазиупругие силы. Закон Гука. Гармонические колебания: частота, период, амплитуда и фаза колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Гармонические колебания пружинного и математического маятников. • Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания. • Свободными называют такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия. • Вынужденными называют такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Простейшим примером по характеру описания являются гармонические колебания. Это такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.
Колебания. 6. 2 • Простейшим примером системы, где возникают свободные гармонические колебания, является движение тела под действием силы упругости пружины. Примером такой системы является тело массы m, прикрепленное к пружине жесткостью k, движущееся по горизонтальной поверхности без трения. В этом случае х – растяжение пружины (смещение тела из положения равновесия). Начало координат выбирается в точке, соответствующей положению конца нерастянутой пружины, поэтому x=l-l 0 – растяжение пружины. Если силы вида имеют другую природу (т. е. не являются силами упругости) то их называют квазиупругими. В этом случае k – коэффициент квазиупругой силы.
Колебания. 6. 3 Напишем второй закон Ньютона, в проекции на ось х, для этой системы Дифференциальное уравнение, описывающее колебания данной системы: Преобразуем это уравнение следующим образом: Введя обозначение получим окончательный вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, описывающего гармонические колебания:
Колебания. 6. 4 Решение данного уравнения имеет вид: Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебаний А. стоящая под знаком косинуса, называется Величина начальной фазой колебания. Величину ω0 называют циклической или круговой частотой колебаний. Промежуток времени Т, за который фаза колебаний изменится на 2π, называется периодом колебания. Он определяется из следующего условия Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания ν.
Колебания. 6. 5 Продифференцировав зависимость смещения от времени x(t) получим выражение для зависимости скорости от времени. Взяв вторую производную, получим зависимость ускорения от времени: Как следует из этих соотношений ускорение, и смещение находятся в противофазе. Т. е. в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего отрицательно значения, и наоборот.
Колебания. 6. 6 Другим примером колебательной системы может служить математический маятник. • Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из легкой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. В такой системе при малых углах отклонения нити происходят гармонические колебания. В этом случае собственная частота период
Колебания. 6. 7 Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной, которая достигает своего максимального значения Umax:
Колебания. 6. 8 При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Тmax: Определим, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергии гармонических колебаний. Кинетическая энергия в произвольный момент времени равна: Потенциальная энергия выражается формулой:
Колебания. 6. 9 • Сложив вместе кинетическую и потенциальную энергии, получим формулу для полной энергии:
Колебания. 6. 10 • Сложение колебаний одного направления Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Лекция 7 Затухающие колебания. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания. Энергия гармонических и затухающих колебаний. При движении тела в среде последняя всегда оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. При этом энергия движущегося тела, в конце концов, переходит в тепло. В таких случаях говорят, что имеет место диссипация энергии. если движение тела в среде достаточно медленное по сравнению со скоростью внутренних диссипативных процессов, то реакция среды на движение тела в некоторых случаях может быть приближенно описана введением так называемой силы трения, действующей на тело и зависящей лишь от скорости последнего. Такая ситуация возникает, например, при движении тела в вязкой среде, жидкости или газе. В ряде случаев можно считать, что сила сопротивления пропорциональна величине скорости
Колебания. 7. 2 Уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника в присутствие сил сопротивления имеет вид: Перепишем его следующим образом: Где применены следующие обозначения: ω0 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т. е. при r=0. Наличие сопротивления среды приводит к тому, что размах колебаний уменьшается. Поэтому в зависимости смещения от времени амплитуда колебаний должна изменяться.
Колебания. 7. 3 При небольшой силе трения полученное выше дифференциальное уравнение имеет следующее решение:
Колебания. 7. 4 В соответствии с видом функции движение системы можно рассматривать как гармонические колебания частоты ω с амплитудой, изменяющейся во времени по закону: Скорость затухания колебаний определяется величиной которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. откуда βτ=1. По определению Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е раз. Период затухающих колебаний равен:
Колебания. 7. 5 • Видно, что период затухающих колебаний больше, чем период незатухающих колебаний с теми же параметрами колебательной системы. При незначительном сопротивлении среды , период колебаний практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При приближении коэффициента затухания(сопротивления среды) к величине равной ω0 период колебаний становится равным бесконечности и колебания становятся апериодическими – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Запас механической энергии тела к моменту его возвращения в положение равновесия полностью расходуется на преодоление трения.
Колебания. 7. 6 Апериодические колебания
Колебания. 7. 7 Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например А’, А”’ и т. д. ) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если то Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:
Колебания. 7. 8 Выразив β через λ и Т, закон убывания амплитуды можно записать в виде: За время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить Ne=τ/T колебаний. Из условия получается, что Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина: называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Колебания. 7. 9 Найдем импульс системы, совершающей затухающие колебания. Продифференцировав зависимость, смещение в затухающих колебаниях по времени и умножив полученный результат на массу m, получим: Это выражение может быть преобразовано к виду то, исключив t из этих уравнений, мы Если бы не множитель получили бы в координатах x и p уравнение эллипса, повернутого по отношению к координатным осям. Наличие экспоненциального множителя приводит к тому, что эллипс превращается в скручивающуюся спираль. Эта спираль и представляет собой фазовую траекторию затухающего колебания. Она будет наклонена по отношению к координатным осям тем сильнее, чем больше коэффициент затухания
Колебания. 7. 10 При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, однако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, иначе они могут уменьшить колебания системы и даже прекратить их совсем. Можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания – автоколебаниями.
Лекция 8 Вынужденные колебания. Резонанс Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер. Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие порции энергии из некоторого резервуара энергии. Тем самым поддерживаются собственные колебания, которые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает. В случае вынужденных колебаний система подталкивается посторонней силой. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0. Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.
Вынужденные колебания. 8. 2 Уравнение второго закона Ньютона для пружинного маятника, на который действует периодически изменяющаяся сила, будет иметь вид: Разделив это уравнение на m, и перенеся члены с x и в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка: Решение данного уравнения имеет следующий вид: Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет свободные колебания их частота ω определяется внутренними свойствами системы, а амплитуда А 0 и фаза φ’ — начальными условиями и внешними воздействиями. Второе слагаемое, называемое вынужденными колебаниями, обусловлено наличием внешней (вынуждающей) силы.
Вынужденные колебания. 8. 3 Первое слагаемое в этом выражении играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль первого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое.
Вынужденные колебания. 8. 4 Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, соответствующая частота – резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функции определяющей зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Продифференцировав выражение по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее ωрез:
Вынужденные колебания. 8. 5 Данное уравнение имеет три решения: ω=0 и . Решение равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не подходит, как не имеющее физического смысла. В результате, для резонансной частоты получается значение: Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.
Вынужденные колебания. 8. 6 При очень большом затухании выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает. При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному т. е. . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F 0
Вынужденные колебания. 8. 7 При резонансе амплитуда Арез колебания может во много раз превосходить амплитуду А колебаний свободного конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот
Вынужденные колебания. 8. 8 Зависимость φ от ω при различных значения коэффициента затухания β. Частоте ω0 соответствует φ=π/2.
Вынужденные колебания. 8. 9 Оказывается, существует иной вид воздействия извне, с помощью которого можно сильно раскачать систему. • Этот вид воздействия заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом изменении какого-либо параметра системы, вследствие чего само явление называется параметрическим резонансом. Простейшим примером системы, в которой возможен параметрический резонанс, является простейший маятник – шарик на нитке. Если периодически изменять длину маятника l, увеличивая ее в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшается в моменты, когда маятник находится в среднем положении, то маятник сильно раскачается.
Вынужденные колебания. 8. 10 • Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую совершает сила, действующая на нить. Сила натяжения нити при колебаниях маятника непостоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника максимальна. Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая при укорочении маятника. В итоге работа внешней силы за период оказывается больше нуля.
Лекция 9 Основные положения молекулярно-кинетической теории. Масса и размеры молекул. Термодинамическая система и параметры ее состояния В основе молекулярно-кинетической теории лежат три основных положения: 1) Все вещества – жидкие, твердые и газообразные – образованы из мельчайших частиц – молекул, которые сами состоят из атомов ( «элементарных молекул» ). Молекулы химического вещества могут быть простыми и сложными и состоять из одного или нескольких атомов. Молекулы и атомы представляют собой электрически нейтральные частицы. 2) Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении. 3) Частицы взаимодействуют друг с другом силами, имеющими электрическую природу. Гравитационное взаимодействие между частицами пренебрежимо мало.
Основы МКТ. 9. 2 • Идеальным газом называется газ, молекулы которого являются материальными точками, то есть расстояния между молекулами намного превосходят их размеры, а единственный вид их взаимодействий между собой – упругие механические столкновения. Модель идеального газа достаточно хорошо описывает поведение реальных газов в широком диапазоне давлений и температур. Относительной молекулярной (или атомной) массой вещества Мr называют отношение массы молекулы (или атома) m 0 данного вещества к 1/12 массы атома углерода m 0 c: В молекулярно-кинетической теории количество вещества принято считать пропорциональным числу частиц. Единица количества вещества называется молем (моль). Моль – это количество вещества, содержащее столько же частиц (молекул), сколько содержится атомов в 0, 012 кг углерода 12 C
Основы МКТ. 9. 3 Таким образом, в одном моле любого вещества содержится одно и то же число частиц (молекул). Это число называется постоянной Авогадро NA=6. 02 1023 моль-1. Количество вещества ν определяется как отношение числа N частиц (молекул) вещества к постоянной Авогадро NA Молярной массой μ вещества называют массу вещества, взятого в количестве 1 моля. Молярная масса равна произведению массы m 0 одной молекулы данного вещества на постоянную Авогадро:
Основы МКТ. 9. 4 Всякая система может находиться в различных состояниях, отличающихся температурой, давлением, объемом и т. д. Подобные величины, характеризующие состояние системы, называются параметрами состояний. Не всегда какой-либо параметр имеет определенное значение. Например, если температура в разных точках тела не одинакова, то телу нельзя приписать определенное значение параметра Т. В этом случае состояние называется неравновесным. То же самое может иметь место и для других параметров. Равновесным состоянием системы называется такое состояние, при котором все параметры системы имеют определенные значения, остающиеся при неизменных внешних условиях постоянными сколь угодно долго. Процесс, состоящий из непрерывной последовательности равновесных состояний, называется, равновесны процессом.
Основы МКТ. 9. 5 Состояние некоторой массы газа определятся значениями трех параметров: давления р, объема V и температуры T. Эти параметры связаны друг с другом, так что изменение одного из них влечет за собой изменение других. Данная связь может быть задана аналитически в виде функции: Оказывается, что для идеального газа уравнение состояния принимает следующий вид:
Основы МКТ. 9. 6 где В – постоянная для данной массы газа величина. В соответствии с законом установленным Авогадро одинаковые количества различных идеальных газов при одинаковых условиях (давление, температура) занимают одинаковый объем. Следовательно, когда количество газа равно одному молю, величина В будет одинакова для всех газов. Обозначив соответствующую величину через R можно записать: Это уравнение называют уравнением Клайперона. Оно связывает параметры состояния моля идеального газа и, следовательно, представляет собой уравнение состояния идеального газа. Его обычно пишут в виде Величина R называется универсальной газовой постоянной. Ее значение можно вычислить, подставив атмосферное давление, объем 22. 4 л и температуру 273 К:
Основы МКТ. 9. 7 От уравнения для одного моля легко перейти к уравнению для любой массы газа m, приняв во внимание, что при одинаковых давлении и температуре n молей газа будут занимать в n раз больший объем чем один моль: V=n. V. Умножив уравнение Клайперона на и заменив n. V через V, получаем: Это и есть уравнение состояния идеального газа, написанное для любой массы газа m. Изотермическим процессом называют равновесный процесс, протекающий при постоянной температуре T. Из уравнения состояния идеального газа следует, что при постоянной температуре T и неизменном количестве вещества ν в сосуде произведение давления p газа на его объем V должно оставаться постоянным:
Основы МКТ. 9. 8 На плоскости (p, V) изотермические процессы изображаются при различных значениях температуры T семейством гипербол p ~ 1 / V, которые называются изотермами. Так коэффициент пропорциональности в этом соотношении увеличивается с ростом температуры, изотермы, соответствующие более высоким значениям температуры, располагаются на графике выше изотерм, соответствующих меньшим значениям температуры. Уравнение изотермического процесса было получено из эксперимента английским физиком Р. Бойлем (1662 г. ) и независимо французским физиком Э. Марриотом (1676 г. ). Поэтому это уравнение называют законом Бойля–Мариотта.
Основы МКТ. 9. 9 • Изохорный процесс – это процесс равновесного нагревания или охлаждения газа при постоянном объеме V и при условии, что количество вещества ν в сосуде остается неизменным. Как следует из уравнения состояния идеального газа, при этих условиях давление газа p изменяется прямо пропорционально его абсолютной температуре: p ~ T или На плоскости (Т, р) изохорные процессы для заданного количества вещества ν при различных значениях объема V изображаются семейством прямых линий, которые называются изохорами. Большим значениям объема соответствуют изохоры с меньшим наклоном по отношению к оси температур. Экспериментально зависимость давления газа от температуры исследовал французский физик Ж. Шарль (1787 г. ). Поэтому уравнение изохорного процесса называется законом Шарля.
Основы МКТ. 9. 10 • Изобарным процессом называют квазистатический процесс, протекающий при неизменным давлении p. Уравнение изобарного процесса для некоторого неизменного количества вещества ν имеет вид: На плоскости (V, T) изобарные процессы при разных значениях давления p изображаются семейством прямых линий, которые называются изобарами. Зависимость объема газа от температуры при неизменном давлении была экспериментально исследована французским физиком Ж. Гей. Люссаком (1862 г. ). Поэтому уравнение изобарного процесса называют законом Гей-Люссака.
Лекция 10 Связь кинетической энергии молекул газа с температурой и давлением. Равнораспределение энергии по степеням свободы. Число степеней свободы и средняя энергия многоатомной молекулы. Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) устанавливает связи между макро- и микропараметрами идеального газа. Основное уравнение МКТ выражает связь давления газа со средней кинетической энергией поступательного движения молекул. Давление газа на стенки сосуда является результатом многочисленных ударов молекул. При каждом ударе стенка получает силовой импульс, величина которого зависит от скорости молекул и, следовательно, от энергии их движения. При огромном числе ударов создается постоянное давление газа на стенку. Число ударов зависит от концентрации молекул n. Таким образом, можно ожидать, что давление газа связано с концентрацией молекул и с энергией их движения. Для нахождения этой связи введем некоторые упрощения: 1) все молекулы движутся по взаимно перпендикулярным направлениям; 2) скорости всех молекул одинаковы.
Основы МКТ. 10. 2 При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс, численно равный изменению импульса молекулы. Каждый элемент поверхности d. S непрерывно подвергается бомбардировке большим количеством молекул, в результате чего за время dt получает суммарный импульс dp направленный по нормали к d. S. Отношение dр к dt дает, как известно из второго закона Ньютона, силу, действующую на d. S, а отношение этой силы к d. S дает давление Р. До удара о стенку импульс молекулы направлен по внешней нормали к d. S и равен mv. В результате удара импульс меняет знак. Таким образом, приращение импульса молекулы оказывается равным:
Основы МКТ. 10. 3 По третьему закону Ньютона стенка получает при ударе импульс 2 mv, имеющий направление нормали. За время dt до элемента стенки d. S долетят все движущиеся по направлению к нему молекулы, заключенные в объеме цилиндра с основанием d. S и высотой vdt. Число этих молекул равно: где n – число молекул в единице объема. Таким образом, число ударов о единицу поверхности за единицу времени будет равно:
Основы МКТ. 10. 4 Умножив число ударов на импульс, сообщаемый стенке при каждом ударе, получим суммарный импульс dp, сообщаемый элементу стенки d. S за время dt: Отнеся импульс dp к промежутку времени dt, получим силу, действующую на d. S. Наконец, отнеся полученную силу к площадке d. S, получим давление газа, оказываемое им на стенки сосуда. Следовательно представляет собой кинетическую энергию Учитывая, что поступательного движения молекулы, выражению для давления можно придать следующий вид: Основное уравнение МКТ
Основы МКТ. 10. 5 Отказ о предположении, о равенстве всех скоростей приводит к тому, что необходимо учитывать среднюю квадратичную скорость молекул газа или среднюю кинетическую энергию. Давление равно двум третям кинетической энергии поступательного движении молекул, заключенных в единице объема. Из полученного закона следует, что давление пропорционально средней кинетической энергии поступательного движение молекул. Вместе с тем оно пропорционально температуре газа. Следовательно, средняя кинетическая энергия пропорциональна температуре газа. Первое соотношение получается из основного уравнение МКТ умножением на V, второе это уравнение состояния идеального газа. Приравняв правые части получим:
Основы МКТ. 10. 6 Принимая во внимание, что получим: Введя обозначение окончательно получим: постоянная Больцмана,
Основы МКТ. 10. 7 Получается, что кинетическая энергия зависит только от температуры и не зависит от массы молекулы. Заменив в уравнении состояния идеального газа R на Nak и учитывая, что n/V равно концентрации n, получим: Для смеси газов справедлив закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов: где k – номер газовой компоненты в смеси, Pk – ее парциальное давление, т. е. то давление, которое имел бы k–ый газ, если бы только он один занимал весь объём, занимаемый смесью.
Основы МКТ. 10. 8 Очевидно, что число координат в трехмерном пространстве, а следовательно и число степеней свободы одноатомного газа, равно трем. Газ может быть двухатомным, трёхатомным и т. д. Для молекул таких газов характерно наличие внутренней структуры и, соответственно, дополнительных степеней свободы. Если атомы в молекуле жестко связаны между собой, в качестве дополнительных степеней свободы выступают вращательные степени, характеризующие угловое положение молекулы в пространстве.
Основы МКТ. 10. 9 • В одноатомном газе молекула имеет три степени свободы, соответствующие трем пространственным координатам. Вследствие равноправности этих координат, можно, на основании связи кинетической энергии с температурой, сделать предположение, что на каждую степень свободы молекулы одноатомного газа приходится в среднем кинетическая энергия, равная В случае многоатомного газа распределение энергии по степеням свободы его молекул подчиняется закону равнораспределения энергии по степеням свободы, который гласит: Средняя кинетическая энергия, приходящаяся при тепловом равновесии на одну степень свободы молекулы равна
Основы МКТ. 10 Таким образом, средняя энергия молекулы должна равняться: где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: i=nпост + nвращ + 2 nколеб Для молекулы с жесткой связью между атомами i совпадает с числом степеней молекулы.
Лекция 11 Внутренняя энергия термодинамической системы. Теплоемкость. Работа, совершаемая газом при изменении объема Полная энергия термодинамической системы представляет собой сумму кинетической энергии движения всех тел, входящих в систему, потенциальной энергии взаимодействия их между собой и с внешними телами и энергии, содержащейся внутри тел системы. Если из полной энергии вычесть кинетическую энергию, характеризующую макроскопическое движение системы как целого, и потенциальную энергию взаимодействия её тел с внешними макроскопическими телами, то оставшаяся часть будет представлять собой внутреннюю энергию термодинамической системы. • Внутренняя энергия термодинамической системы включает в себя энергию микроскопического движения и взаимодействия частиц системы, а так же их внутримолекулярную и внутриядерную энергии. Вследствие того, что молекулы идеального газа на расстоянии не взаимодействуют друг с другом внутренняя энергия такого газа будет складываться из энергий отдельных молекул. Следовательно, внутренняя энергия произвольной массы идеального газа m будет равна произведению числа молекул в данной массе газа на энергию одной молекулы
Термодинамика. 11. 2 Как показывают результаты экспериментов, во многих случаях приращение температуры тела прямо пропорционально количеству теплоты, сообщенного ему. Для количественного описания этого соотношения вводится коэффициент пропорциональности Стела между количеством теплоты, сообщаемого телу, и изменением его температуры, называемый теплоемкостью: Этот коэффициент позволяет определить количество теплоты d. Q’, которое необходимо сообщить телу для повышения его температуры на величину d. T.
Термодинамика. 11. 3 Очевидно, что теплоемкость термодинамической системы изменяется при изменении количества вещества в ней. Для систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, их теплоемкость пропорциональна количеству вещества. Это позволяет ввести для описания свойств тела удельную теплоемкость: и, соответственно, молярную теплоемкость: Эти теплоемкости связаны между собой через молярную массу μ следующим соотношением:
Термодинамика. 11. 4 Теплоемкость, так же как и количество переданной телу теплоты, зависит от того, каким образом, а точнее при осуществлении какого процесса, теплота передавалась этому телу. Обычно рассматриваются два значения теплоемкости газов: CV – молярная теплоемкость в изохорном процессе (V = const) и Cp – молярная теплоемкость в изобарном процессе (p = const). Если нагревание происходит при постоянном объеме, тело не совершает работы над внешними телами и, следовательно, все тепло идет на приращение внутренней энергии тела: Отсюда следует, что теплоемкость любого тела при постоянном объеме равна:
Термодинамика. 11. 5 Следовательно, чтобы получить теплоемкость моля идеального газа при постоянном объеме, нужно продифференцировать по температуре выражение для моля внутренней энергии идеального газа. Произведя дифференцирование, получим: При изменении объема газа им совершается работа и, соответственно, подведенная теплота и изменение внутренней энергии становятся не равными другу. При расширении газа часть подведенной теплоты затрачивается на совершение им работы. Для процесса при постоянном давлении первый закон термодинамики дает:
Термодинамика. 11. 6 Отсюда следует: Отношение ΔV / ΔT может быть найдено из уравнения состояния идеального газа, записанного для 1 моля: При Р = const Таким образом, соотношение, выражающее связь между молярными теплоемкостями CР и CV, имеет вид (формула Майера):
Термодинамика. 11. 7 Молярная теплоемкость CР газа в процессе с постоянным давлением всегда больше молярной теплоемкости CV в процессе с постоянным объемом. Из этой теоремы следует, что молярные теплоемкости газа CР и CV и их отношение γ могут быть записаны в виде Существует зависимость количества учитываемых при расчете степеней свободы от температуры. Это приводит к тому, что при значительных изменениях температуры теплоемкость газа может существенно изменяться.
Термодинамика. 11. 8 Например, для молекул водорода, при температуре порядка 50 К вращательные степени свободы как бы "вымерзают" и его молярная теплоёмкость CV становится близкой к . А при температурах порядка 300 - 400 К вращательные степени свободы "включаются" и его теплоёмкость CV приобретает значение . При дальнейшем, значительном по сравнению с комнатной, повышении температуры начинают проявляться колебательные степени свободы. Для двухатомного газа, например водорода, это приводит к увеличению энергии его молекулы на величину k. T, и соответственно к возрастанию молярной теплоемкости на R. Поэтому при очень высоких температурах молярная теплоёмкость водорода стремится к значению .
Термодинамика. 11. 9 Пусть газ заключен в цилиндрический сосуд, закрытый плотно пригнанным легко скользящим поршнем. Если вследствие каких-либо причин газ станет расширяться, он будет перемещать поршень и совершать над ним работу. Элементарная работа, совершаемая газом при перемещении поршня на отрезок dh, равна d. A=fdh, где f – сила, с которой газ действует на поршень. Заменяя эту силу произведением давления газа P на площадь поршня S, получаем: Но Sdh представляет собой приращение объема газа d. V. Поэтому выражение для элементарной работы можно записать следующим образом:
Термодинамика. 11. 10 При сжатии газа направления перемещения dh и силы f, с которой газ действует на поршень, противоположны, вследствие чего элементарная работа d. A будет отрицательна. Приращение объема d. V в этом случае также будет отрицательным. Если при изменении объема давление не остается постоянным, работа должна вычисляться путем интегрирования: Если давление газа остается постоянным, работа, совершаемая при изменении объема от значения V 1 до значения V 2, будет равна
Лекция 12 Распределение молекул газа по скоростям. Функция распределения Максвелла. Наиболее вероятная, средняя и средне квадратичные скорости молекул. В сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое статистическое распределение молекул по скоростям, зависящее от абсолютной температуры T. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными (равновероятными), а величины скоростей подчиняются определенной закономерности. Распределение молекул газа по величине скоростей называется распределением Максвелла. Представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которой будем откладывать значения проекций vx, vy, vz отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора v.
Распределение Максвелла. 12. 2 Плотность точек может зависеть только от модуля скорости v. Предположим, что в газе содержится N молекул. Выделим в окрестности некоторой точки малый объем – dvxdvydvz. Относительное число точек (молекул) в этом объеме, или другими словами, вероятность d. P того, что скорость молекулы, т. е. конец вектора v, попадает в этот объем, можно записать так: где f(v) – имеет смысл объемной плотности вероятности. Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах (vx, vx+dvx), (vy, vy+dvy) и (vz, vz+dvz) являются статистически независимыми, поэтому в соответствии с теоремой об умножении вероятностей независимых событий можно записать:
Распределение Максвелла. 12. 3 где d. Рх – вероятность того, что молекула будет иметь проекции скорости в интервале (vx, vx+dvx), есть где φ(vx) – функция распределения по vx. С учетом, полученного соотношения, вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах (vx, vx+dvx), (vy, vy+dvy) и (vz, vz+dvz) будет иметь вид: Из соображений равноправия осей vx, vy и vz ясно, что функции φ должны одинаковым образом зависеть от соответствующих проекций скоростей. Таким образом, функция объемной плотности вероятности может быть представлена следующим образом:
Распределение Максвелла. 12. 4 В результате теоретических расчетов был получен аналитический вид функции распределения молекул газа по проекции скорости: Функция φ(vх) нормирована на единицу, т. е. площадь по кривой φ(vх)
Распределение Максвелла. 12. 5 Интегрирование в пределах от до не означает, что в газе есть молекулы с такими большими скоростями. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы. Аналогичный вид имеют функции φ(vy) и φ(vz). Тогда f(v) будет иметь вид: Довольно часто возникает вопрос сколько (какая относительная часть) молекул газа имеют скорость модуль в пределах от (v, v+dv). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами v и v+dv.
Распределение Максвелла. 12. 6 Объем этого слоя равен произведению этого слоя на его толщину, т. е. 4πv 2 dv, объемная плотность вероятности f(v) во всех точках слоя одинакова. Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, попадания в этот слой: Величина d. P/dv – характеризует вероятность молекуле иметь скорость в пределах от (v, v+dv): Данное соотношение представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. Эта функция тоже нормирована на единицу
Распределение Максвелла. 12. 7 Как и можно было ожидать, конкретный вид функции зависит от рода газа ( от массы молекул) и от параметра состояния (от температуры Т). Необходим отметить, что давление и объем газа на распределение молекул по скоростям не влияют. Скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения, будет, очевидно, наиболее вероятной. Действительно, если сравнить числа молекул ΔNv, скорости которых лежат в пределах различным образом выбранных, но равных по величине интервалов Δv, то наибольшим будет ΔNv, соответствующее интервалу, расположенному в окрестности максимума. Таким образом, найдя максимум функции распределения F(v), найдем наиболее вероятную скорость vвер.
Распределение Максвелла. 12. 8 Продифференцировав F(v) по v и приравняв полученное выражение нулю, будем иметь: Удовлетворяющие этому уравнению значения v=0 и v= соответствуют минимуму F(v). Значение v, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой vвер: Также можно найти, зная распределение молекул по скоростям, среднее значение скорости, и v 2.
Распределение Максвелла. 12. 9 Сопоставляя значения vвер, vср и vср. кв, можно заметить, что они одинаковым образом зависят от температуры и массы молекулы. Если принять vвер=1, vср=1. 13 и vср. кв=1. 22. Необходимо подчеркнуть, что закон распределения молекул газа по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии. Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение v 0, определяется выражением:
Распределение Максвелла. 12. 10 Относительное число молекул, скорость которых превышает некоторое значение v 0, сильно растет с температурой. В таблице приведены относительные количества молекул скорости которых лежат в определенных интервалов относительно наиболее вероятной скорости. 0 – 0. 5 8. 1 2– 3 4. 6 0. 5 – 1. 5 70. 7 >3 0. 04 1. 5 – 2 16. 6 >5 8 10 -9 Как видно из таблицы, более чем у 70% всех молекул скорость отличается от наиболее вероятной не больше чем на 50%. Скоростью, более чем в 3 раза превышающей vвер, обладает в среднем только 0. 04% молекул.
Лекция 13 Опыты Штерна и Ламмерта. Идеальный газ в поле силы тяжести, барометрическая формула. Распределения Больцмана. Первое экспериментальное определение скоростей молекул было проведено Штерном в 1920 г. Прибор, использованный для этой цели, состоял из двух коаксиальных цилиндров. По оси цилиндров была натянута платиновая нить, покрытая серебром. При нагревании нити электрическим током с ее поверхности испарялись атомы серебра. Покинув нить, атомы двигались по радиальным направлениям. Внутренний цилиндр имел узкую продольную щель, через которую проходил наружу узкий пучок атомов. Весь прибор был помещен в вакуум, за счет этого удавалось избавиться от рассеивания молекулярного(атомного) пучка. Если привести прибор во вращение то произойдет размытие полоски в результате того, что атомы обладают различными скоростями, вследствие чего будут преодолевать расстояние между цилиндрами за различное время.
Распределение Больцмана. 13. 2 Смещение относительно первоначального положение равно Δs = RΔφ R – радиус внешнего цилиндра. Δφ – угол на который повернутся цилиндры. В свою очередь Δφ связано с угловой скоростью относительного вращения цилиндров Δφ=ωt, где t – время за которое атом серебра пролетает зазор между цилиндрами. t =R/v. Радиус внутреннего цилиндра мал. Окончательно получаем: Измерив, смещение следа Δs и скорость вращения цилиндров, можно определить скорость атомов v. Исследование профиля следа позволяет составить примерное представление о распределении атомов серебра по скоростям. Результаты опыта Штерна подтвердили правильность оценки средней скорости атомов, которая вытекает из распределения Максвелла.
Распределение Больцмана. 13. 3 В опыте Ламмерта (1929 г. ) закон распределения был проверен более точно. Молекулярный пучок, выходящий из отверстия в сосуде, в котором находится газ в равновесном состоянии, проходил сквозь два вращающихся на одной оси диска. В дисках были щели вдоль радиусов. Если щели повернуты на угол φ относительно друга, то при угловой скорости ω диски повернутся на угол φ в течении промежутка времени t=φ/ω. Поэтому через обе щели расстояние между которыми l, пройдут только молекулы со скоростью: Меняя угловую скорость ω или угол φ между радиальными щелями, можно выделить из пучка молекулы разных скоростей. Улавливая детектором эти молекулы в течение одинакового времени, можно найти их относительной количество в пучке.
Распределение Больцмана. 13. 4 В отсутствии внешних сил концентрация молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем поле сил, например в поле силы тяжести, то ситуация становится иной. При отсутствии теплового движение все молекулы “упали” бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается равновесия, и концентрация молекул становится зависящей от высоты. При тепловом равновесии температура Т должна быть одинакова по всей толщине газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным, т. е. будет рассматриваться изотермическая атмосфера.
Распределение Больцмана. 13. 5 Атмосферное давление на какой-либо высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть Р давление газа на высоте h. Тогда давление на высоте h+dh, будет P+d. P, причем, если dh больше нуля, то d. P будет меньше нуля, так как вес вышележащих слоев атмосферы, а следовательно, и давление с высотой убывают. Разность давлений P и P+d. P равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра с площадью основания, равной единице, и высотой dh: где ρ – плотность газа на высоте h. Отсюда:
Распределение Больцмана. 13. 6 Плотность газа можно выразить, через давление и температуру, используя уравнение состояния. Так как при условиях близких к нормальным, атмосферные газы можно рассматривать как идеальные. Подставив это выражение в d. P, получим: откуда, Для случая, когда температура постоянна, интегрирование этого соотношения дает:
Распределение Больцмана. 13. 7 где С – постоянная. Произведя потенцирование этого выражения, получаем: Значение постоянной С, находим из того условия, что давление при h=0 нам известно и равно P 0. Подставив h=0, получим Р 0=С. Таким образом в случае изотермической атмосферы зависимость давления от высоты выражается формулой: Эта формула называется барометрической. Из анализа этого соотношения следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже температура.
Распределение Больцмана. 13. 8 Заменив в барометрической формуле P через nk. T, получим закон изменения концентрации газа с высотой: где n 0 – концентрация газа на высоте равной нулю. Полученное соотношение можно преобразовать, заменив μ/R равным ему отношением m/k, где m – масса одной молекулы, k – постоянная Больцмана Из этого выражение следует, что с уменьшением температуры концентрация газа на высотах отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при Т=0. При абсолютном нуле все молекулы воздуха расположились бы на земной поверхности. При больших температурах наоборот концентрация слабо уменьшается с высотой. Данный факт имеет простое физическое объяснение. Действительно распределение молекул газа получается в результате действия двух “конкурирующих” тенденций
Распределение Больцмана. 13. 9 1) притяжение молекул газа к земле под действием силы тяжести 2) тепловое движение, стремящееся распределить молекулы равномерно по всем высотам. На разной высоте молекула обладает разной потенциальной энергией: Следовательно, распределение молекул газа по высоте, является в то же время распределение их по значениям потенциальной энергии. Таким образом, получим: Данное выражение называется распределением Больцмана. Из этого соотношения следует, что молекулы располагаются с большей концентрацией (плотностью) там, где их потенциальная энергия меньше, и, наоборот, с меньшей плотностью в местах, где их потенциальная энергия больше.
Распределение Больцмана. 13. 10 Закон Максвелла дает распределение частиц по кинетической энергии (из распределения по v 2, просто получить распределение по кинетической энергии), распределение Больцмана зависимость от потенциальной энергии. Эти распределения можно объединить в один закон Максвелла-Больцмана, согласно которому содержащееся в единице объема количество молекул, скорость которых лежит между v и v+dv, равно: где n 0 – число молекул в единице объема в той точке, в которой Е П=0, а полная энергия молекулы Е. Интегрирование этого выражения в пределах от 0 до приводит к распределению Больцмана
Лекция 14 Основы термодинамики. Работа газа при различных процессах. Адиабатический процесс. Круговой процесс. Тепловые двигатели, их КПД Цикл Карно. КПД цикла Карно. Термодинамическая система может разными способами обмениваться энергией с окружающей средой, поглощая или отдавая количество теплоты и совершая работу. Количество теплоты, поступающее в систему, считается положительным (Q > 0). Если система отдает количество теплоты окружающей среде, то Q < 0. Если система совершает работу, то эта работа принимается положительной (А > 0). Если работа совершается внешними источниками над системой, то A < 0. Работа, совершаемая системой при переходе 1 в 2, зависит от пути, т. е. от конкретных деталей процесса, при этом совершаемая работа будет разной. Точно так же будут разными количества теплоты, поступающие в систему или отдаваемые системой при таком переходе
Основы термодинамики. 14. 2 Многочисленные эксперименты показывают, что разность Q - A не зависит от характера протекания процесса и определяется только начальным и конечным состояниями системы. Так как эти состояния обладают определенной внутренней энергией U, которая для идеального газа зависит только от температуры газа, то на основании закона сохранения энергии, обобщенного на случай тепловых явлений, можно записать: Q - A = d. U = U 2 - U 1. В тепловом процессе, в котором количество теплоты Q поступает в систему и сама система совершает работу A, полная энергия, переданная системе, равна изменению внутренней энергии системы d. U. – Первое начало термодинамики Если на РV-диаграмме отмечены две точки (два состояния) и с помощью любой комбинации тепловых процессов осуществлен переход из состояния 1 в состояние 2, то можно утверждать, что внутренняя энергия системы изменилась на величину U 2 - U 1.
Основы термодинамики. 14. 3 Для любого замкнутого цикла, в результате которого система возвращается в исходное состояние, изменение внутренней энергии равно нулю. Но это не означает, что в замкнутом цикле не совершается работа или не поглощается (выделяется) количество теплоты. В формуле, выражающей содержание первого закона, знаки A и Q могут быть разными в зависимости от характера процесса. Соответственно d. U может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Основы термодинамики. 14. 4 Другая формулировка первого закона (начала) термодинамики: количество тепла, сообщенное системе идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами: В изохорном процессе (V = const) газ работы не совершает, A = 0. Следовательно, Q = ΔU. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. При изохорном нагревании тепло поглощается газом (Q > 0), и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам (Q < 0).
Основы термодинамики. 14. 5 В изобарном процессе (Р = const) работа, совершаемая газом, выражается соотношением A = Р(V 2 – V 1) = РΔV. Первый закон термодинамики для изобарного процесса дает: Q = U(T 2) – U(T 1) + Р(V 2 – V 1) = ΔU + РΔV При изобарном расширении Q > 0 – тепло поглощается газом, и газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0 – тепло отдается внешним телам. В этом случае A < 0. Температура газа при изобарном сжатии уменьшается, T 2 < T 1; внутренняя энергия убывает, ΔU < 0.
Основы термодинамики. 14. 6 В изотермическом процессе температура газа не изменяется, следовательно, не изменяется и внутренняя энергия газа, ΔU = 0. Первый закон термодинамики для изотермического процесса выражается соотношением Q = A. Количество теплоты Q, полученной газом в процессе изотермического расширения, превращается в работу над внешними телами. При изотермическом сжатии работа внешних сил, произведенная над газом, превращается в тепло, которое передается окружающим телам.
Основы термодинамики. 14. 7 Наряду с изохорным, изобарным и изотермическим процессами в термодинамике часто рассматриваются процессы, протекающие в отсутствие теплообмена с окружающими телами. Сосуды с теплонепроницаемыми стенками называются адиабатическими оболочками, а процессы расширения или сжатия газа в таких сосудах называются адиабатическими. В адиабатическом процессе Q = 0; поэтому первый закон термодинамики принимает вид: A = –ΔU При адиабатическом расширении газ совершает положительную работу (A > 0); поэтому его внутренняя энергия уменьшается (ΔU < 0). Это приводит к понижению температуры газа. Вследствие этого давление газа при адиабатическом расширении убывает быстрее, чем при изотермическом расширении.
Основы термодинамики. 14. 8 В термодинамике выводится уравнение адиабатического процесса для идеального газа. В координатах (p, V) это уравнение имеет вид РVγ = const Это соотношение называют уравнением Пуассона. Здесь γ = Cp / CV – показатель адиабаты, Cp и CV – теплоемкости газа в процессах с постоянным давлением и с постоянным объемом. Работа газа в адиабатическом процессе просто выражается через температуры T 1 и T 2 начального и конечного состояний: A = CV(T 2 – T 1). Второе начало термодинамики, как и первое, может быть сформулировано несколькими способами. В наиболее очевидной формулировке второе начало гласит, что невозможен самопроизвольный переход тепла от тела менее нагретого, к телу, более нагретому. Более строго, невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход тепла от тела, менее нагретого, к телу более нагретому.
Основы термодинамики. 14. 9 Общее свойство всех круговых процессов состоит в том, что их невозможно провести, приводя рабочее тело в тепловой контакт только с одним тепловым резервуаром. Их нужно, по крайней мере, два. Тепловой резервуар с более высокой температурой называют нагревателем, а с более низкой – холодильником. Совершая круговой процесс, рабочее тело получает от нагревателя некоторое количество теплоты Q 1 > 0 и отдает холодильнику количество теплоты Q 2 < 0. Полное количество теплоты Q, полученное рабочим телом за цикл, равно: Q = Q 1 + Q 2 = Q 1 – |Q 2|. При обходе цикла рабочее тело возвращается в первоначальное состояние, следовательно, изменение его внутренней энергии равно нулю (ΔU = 0). Согласно первому закону термодинамики, ΔU = Q – A = 0 Отсюда следует: A = Q 1 – |Q 2|.
Основы термодинамики. 14. 10 Работа A, совершаемая рабочим телом за цикл, равна полученному за цикл количеству теплоты Q. Отношение работы A к количеству теплоты Q 1, полученному рабочим телом за цикл от нагревателя, называется коэффициентом полезного действия η тепловой машины В 1824 году французский инженер С. Карно рассмотрел круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Этот круговой процесс сыграл важную роль в развитии учения о тепловых процессах. Он называется циклом Карно.
Основы термодинамики. 14. 11 При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остается постоянной. Поэтому количество полученного газом тепла Q 1 равно работе А 12, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2 (изотермический процесс при большей температуре). Эта работа равна: Количество отдаваемого холодильнику тепла Q 2’ равно работе А 34’, затрачиваемой на сжатие газа при переводе его из состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна Для того чтобы цикл был замкнутым, нужно, чтобы состояния 4 и 1 лежали на одной и той же адиабате. Отсюда вытекает условие:
Основы термодинамики. 14. 12 Аналогично, поскольку состояния 2 и 3 лежат на одной и той же адиабате, выполняется условие: Деля последние два соотношения друг на друга, приходим к условию замкнутости цикла: Подставив в определение КПД полученные нами выражения для Q 1 и Q 2’ получим.
Лекция 15 Электрические заряды. Точечный заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей. Известно, что при определенных условиях тела приобретают электрический заряд – электризуются. Наличие электрического заряда проявляется в том, что заряженное тело взаимодействует с другими заряженными телами. Электрический заряд является неотъемлемым свойством некоторых элементарных частиц. Заряд всех элементарных частиц одинаков по абсолютной величине (если он не равен нулю). Обозначается он е. Поскольку всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, он является целым кратным e = 1, 602177· 10– 19 Кл ≈ 1, 6· 10– 19 Кл. : Совокупность всех известных экспериментальных фактов позволяет сделать следующие выводы о свойствах зарядов:
Скачать презентацию Общая физика 1 Механика молекулярная физика и термодинамика
Mekh-mol_fizika.ppt