Обратные и некорректные задачи в экспериментальной физике д

Обратные и некорректные задачи в экспериментальной физике д. ф. -м. н. Пикалов Валерий Владимирович, ИТПМ СО РАН, Новосибирск www. itam. nsc. ru/lab 17/ Избранные задачи томографии. Трехмерная рентгеновская эмиссионная томография. Томография рентгеновского и видимого диапазонов. Оптическая микротомография живых клеток крови человека. Томография в фазовом пространстве: спектро томография (двумерная спектроскопия), хроно томография (быстропротекающие процессы), доплеровская томография в пространстве скоростей. Локальная и глобальная томография: извлечение структур, изображения Вайнберга и Фаридани. Вычислительная томография: от анализа изображений к компьютерному видению. 1

www. itam. nsc. ru/lab 17 2

3

4

Медицинская томография The Visible Human Project CT Scans Prior to Freezing www. nlm. nih. gov/research/ visible/fresh_ct. html Specimen from the Visible Human Male - Head subset Thorax subset 5 Abdomen subset Pelvis subset Feet subset

Преобразование Радона: 6

Обратное преобразование Радона Обратное проецирование с фильтрацией (ОПФ) Фильтр Шеппа-Логана - аппроксимация обратного преобразования Фурье фильтра | |. 7

Некоторые проблемы экспериментальной физической томографии • малое число углов наблюдения (проекций) • малое число детекторов на проекцию • проблема ограниченного углового диапазона • отсеченные проекции • время сбора данных (приложения реального времени) • шумы (разной природы) • аппаратурные искажения • оптическая плотность объекта • непрозрачные включения. 8

Схема регистрации проекций в эмиссионной томографии 9

Examples of plasma tomography Tomographic reconstruction method of gas density distribution by fast electron beam attenuation measurements is developed. Measurements and reconstructions are done for symmetric and asymmetric blunted cones with rarefied hypersonic (Mach number = 21) air flows around it. 10

Выбор параметра : Метод статистической регуляризации: • ||Ag - f||2 = 2; • i+1 = n/(g i , g i); Другой итерационный метод ART: 11

Интегральное уравнение Абеля Норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802 1829) Обратное преобразование Абеля (одномерная томография) Обратное преобразование Радона (двумерный случай) 12

Список литературы [1] Сайт группы Вычислительной томографии, Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН : http: //www. itam. nsc. ru/lab 17/ [2] Пикалов В. В. , Преображенский Н. Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН. -1983. -Т. 141. No. 3. -С. 469 -498. [3] Пикалов В. В. , Мельникова Т. С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука. 1995. [4] Преображенский Н. Г. , Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. [5] Пикалов В. В. , Преображенский Н. Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987. [6] Vishnyakov G. N. , Levin G. G. , Minaev V. L. , Pickalov V. V. , Likhachev A. V. Tomographic interference microscopy of living cells. // Microscopy and Analysis (UK). 2004. Vol. 18. No. 1. P. 15 17. [7] Пикалов В. В. , Непомнящий А. В. Итерационный алгоритм с вэйвлет фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4. No. 2. С. 75 84. 13

Часть II Избранные задачи томографии. Трехмерная рентгеновская эмиссионная томография. Томография рентгеновского и видимого диапазонов. Оптическая микротомография живых клеток крови человека. 14

Преобразование Радона: 15

Интегральное уравнение первого рода: S(t) = K(t, s) F(s) ds Уравнение свертки – инвариантность к сдвигу: S(t) = K(t s) F(s) ds F(t) Прибор: Неизвестное воздействие линейная аппаратная функция S(t) Измеренный сигнал K(t) Более общая операторная связь: S = KF 16

Априорная информация: • условия совместности проекций (их моменты); • ограничения на томограмму и синограмму (положительность, оценка шума. . . ) 17

The number of iterations - 13. Error = 5. 05%. The number of iterations is 6. Error = 7. 20%. Small line is reconstructed unsatisfactory. 18

Parameters of this series of reconstruction (axis for wave length X is taken as [ 1, 1] range): K_width = 0. 25 (red line); Exact spectrum is a sum of three gaussians(green line): First Line from left: G_ampl = 0. 3; G_x 0 = 0. 4; G_width = 0. 1; Second Line: G_ampl = 1. 0; G_x 0 = 0. 1; G_width = 0. 2; Third Line: G_ampl = 0. 9; G_x 0 = 0. 2; G_width = 0. 3; . Blue line is a signal result of convolution between red and green lines. Black line is the result of solution of inverse problem by software package Topas Micro 19

Here the number of measurements is 3 times less, than the number of reconstructed points in spectrum (e. g. that is very underdetermined problem!). The number of iterations is 555. Error = 1. 05%. 20

Свертка с прямоугольным ядром (горизонтальный смаз), ширина ядра – 77 пикселей (15% диаметра области). Исходное изображение “Lena”(512 x 512 пикселей). Восстановление изображения методом ART, первые 276 строк (левое) и полное – 512 строк. Параметры: 150 итераций, =0. 15, положительность решения, 1 = 4 11%, без шума, время счета – 12 мин 55 сек (P IV – 1800 MHz). 21

Fig. 1. Schematic set-up of the plasma test – the reactor with a triangular test substrate for tomographic measurements 22

Томограммы простого фантома: осесимметричная гауссиана 23

Реконструкция гладких фантомов 3 6 12 24

25

26

27

Эллиптические изолинии порядка n Интегральное уравнение первого рода: его инверсия Данный подход обобщается и на изолинии произвольной формы 28

29

Двухракурсная томография: точное решение 30

One-projection tomography, 3 D object 2. Torus tangential view Balandin A. , Fuchs G. , Pickalov V. , Rapp J. , Soltwisch H. Vector tomography of plasmas using Faraday rotation. // Computerized tomography. -Utrecht: VSP, 1995. -P. 78 -81. 31

Three-dimensional emission tomography of tokomak plasmas with a single tangentially viewing camera Model and its projections 32

Rays traces for different transforms (1. 0, 1. 5, 2. 0): 33

Reconstruction (1. 5): 34

Tomographical spectroscopy. Numerical simulations: Variations of cameras' number Model of complicated impurities' distribution Reconstruction by MENT algorithm (from Topas-Micro software package), Tomogram 101 x 101, 101 detectors for each camera, noise level in projections = 3%; 12 iterations 35

6 views Reconstructed and exact tomograms: 36

Реконструкция трехмерных структур лимфоцитов и эритроцитов методами фазовой микроскопии видимого диапазона Томографический микро-интерферометр 37

Erythrocyte: Collection (D) of 18 projections for the reconstruction (Rotation around horizontal axis). Each frame is scaled to its own maximum (Frames are marked by relative angle, from 27 to 61 degree, with 2 degree step; ) 38

39

Topas-Micro (5) Изоповерхности лимфоцита Java анимация: http: //www. itam. nsc. ru/lab 17/res/vilev/limph 1. htm 40

Topas-Micro (6) Трехмерная оптическая микротомография клеток крови: лимфоцит (визуализация ИАи. Э, лаб. Долговесова Б. С. ) Вишняков Г. Н. , Левин Г. Г. , Лихачев А. В. , Пикалов В. В. Фазовая томография трехмерных биологических микрообъектов: численное моделирование и экспериментальные результаты. // Опт. спектр. -1999. -Т. 87. No. 3. -С. 448 -454. 41

Tomography reconstruction of erythrocyte Eighteen equatorial projections placed each 2 o in the interval[-18 o; 16 o] have been chosen for the tomography reconstruction of the erythrocyte (scheme 3). The algorithms ART, c. ART, and GP 3 Dm have been used for the reconstruction. Levin G. G. , Vishnyakov G. N. , Zakarian C. S. , Likhachov A. V. , Pickalov V. V. , Kozinets G. I. , Novoderzhkina J. K. , Streletskaya E. A. Three-dimensional limited-angle microtomography of blood cells: experimental results. // Three-Dimensional and Multidimensional Microscopy: Image Acquisition and Processing V. SPIE Proceedings, 1998, Vol. 3261, pp. 159 -164. 42

1200 R R R=100 mm L=1645 mm Exact model and its tomographic reconstruction from 3 projections (noise 5%, method c. ART, error=15. 5%). L Three 2 D projections of model emission object C C D Tree views scheme of emission measurements Real experiment: 3 D ultra violet emission tomography. Different time slices of 3 D reconstructions of flames structure (three views tomography). 43

Topas-Micro (8) 44

Список литературы [1] Сайт группы Вычислительной томографии, Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН : http: //www. itam. nsc. ru/lab 17/ [2] Пикалов В. В. , Преображенский Н. Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН. -1983. -Т. 141. No. 3. -С. 469 -498. [3] Пикалов В. В. , Мельникова Т. С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука. 1995. [4] Преображенский Н. Г. , Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. [5] Пикалов В. В. , Преображенский Н. Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987. [6] Vishnyakov G. N. , Levin G. G. , Minaev V. L. , Pickalov V. V. , Likhachev A. V. Tomographic interference microscopy of living cells. // Microscopy and Analysis (UK). 2004. Vol. 18. No. 1. P. 15 17. [7] Пикалов В. В. , Непомнящий А. В. Итерационный алгоритм с вэйвлет фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4. No. 2. С. 75 84. 45

Часть III Томография в фазовом пространстве: спектро томография (двумерная спектроскопия), хроно томография (быстропротекающие процессы), доплеровская томография в пространстве скоростей. Локальная и глобальная томография: извлечение структур, изображения Вайнберга и Фаридани. Вычислительная томография: от анализа изображений к компьютерному видению. 46

Levin G. G. , Vishnyakov G. N. On the possibilities of chronotomography of high speed processes. // Optics Communications. -1985. -Vol. 56. No. 4. -P. 231 -234. 47

Хронотомография Согласно рассматриваемой схеме излучение от изменяющегося во времени объекта 1, сформированное в квазипараллельный пучок объективом 2, направляют на мультиплицирующую систему, В данном случае ее роль играют два полупрозрачных зеркала 3, 4, которые разделяют пучок по трем каналам. В первом (I) канале излучение, пройдя глухое зеркало 5 и промежуточный объектив 6, поступает в регистратор 7, с помощью которого осуществляет взаимный сдвиг изображения объекта и регистрирующей среды, например, путем задания скорости вращения зеркала фотохронографа V 1. Таким образом получают про межуточные зображения объекта. Во втором и (II) канале излу чение а регистратор 9 направляют с помощью промежуточного объектива 8. Регистратором 9 осуществляют н сдвиг изображения, например, путем задания скорости вращения зеркала фотохронографа V 2. В третьем (III) канале излучение на регистратор 12 направляют с помощью глухого зеркала 10 и промежуточного объектива 11. В регистраторе 12 задается скорость вращения зеркала V 3. Различные режимы работы регистраторов 7, 9, 12 обеспечивают получение различных значений вектора сдвига изображений объекта относительно регистрирующей среды. В данной схеме возможно также получение различных значений вектора сдвига изображений объекта относительно регистрирующей среды и другими путями, например путем задания масштабов изображений или их поворотов, различающимися от канала к каналу. Левин Г. Г. , Вишняков Г. Н. Оптическая томография. М. : Радио и связь, 1989. 224 с. 48

хронотомографическая проекция: обобщение на спектротомографию … 49

z Doppler tomography y V 1 V 3 V 2 x трехмерное преобразование Радона Определение функции распределения ионов по скоростям с использованием проявления эффекта Доплера в их излучении. Poluektov N. P. , Efremov N. P. New tomographic approach for deconvolution of ion velocity and temperature profiles in a plasma centrifuge. // J. Phys. D: Appl. Phys. -1998. -Vol. 31. No. 8. -P. 988 -995. Инверсия: 50

Continuous Wavelet Transform Mexican Hat Wavelet necessary features: 1) Localization (in t- and k-spaces) 2) Zero moments 3) Admissibility condition Wavelet Power Spectrum The correspondence between frequency and wavelet scale: 51

Дискретное вэйвлет-преобразование модельного сигнала с помощью вэйвлета Хаара 52

Дискретное вэйвлет-преобразование модельного сигнала с помощью вэйвлета Добеши 53

Первые четыре масштабирующих функции (толстая линия) и соответствующие вэйвлеты (пунктир) из семейства Добеши. 54

Multiscale analysis of tomogram with wavelet transform of projection data Radon transform of the convolution (convolution theorem) Scale parameters of analyzing wavelet: 1=0. 25, 2=0. 15, 3= 0. 1, 4=0. 05, 5=0. 01, 6=0. 005 55

Test image Lena Projections 256 x 361, before CWT Reconstruction, CWT, MHAT 006 56

Projections, MHAT 0. 04, 0. 02 Supersonic jet flow 0. 003 Reconstruction, 0. 02 0. 006 0. 012 0. 04, positiveness 57

Дискретное вэйвлет-преобразование Кратномасштабный анализ есть о. н. б. в Быстрое вэйвлет-преобразование 58

59

Фантом (слой 32) ART-реконструкция Разложение реконструкции в базисе D 20 (A 1, D 1 -D 5) Фантом (слой 46) ART-реконструкция, σ=1% (Δ=17%) A 4 (Δ=15%) 60

Comparative description of some approaches in local 2 D-tomography Phantom itself and it’s interior region. Vainberg image Faridani image Continuous wavelet transform 61

Reconstructions from noiseless projections Vainberg image Local continuous wavelet coefficients (α=0. 002) Faridani image Reconstruction from filtered (D 7) projections (DWT/IDWT) 62

Reconstructions from noisy projections (σ=2%) Vainberg image Local continuous wavelet coefficients (α=0. 002) Faridani image Reconstruction from filtered (A 5) projections (DWT/IDWT) 63

Filtered projections (D 7) Reconstruction (D 7) Filtered projections (A 6) Reconstruction (A 6), Δ=15% 256*256=65536 201*256 = 51456 (201*256)/2=25728 64

2 D Tomographic Reconstruction Using Neumann Decomposition with Wavelet Filtering. exact tomogram, projection data, linear integral of along lines: wavelet filtering operator, approximate inverse Radon transform operator, relaxation parameter, reconstruction on i-th iteration, residual on i-th iteration Пикалов В. В. , Непомнящий А. В. Итерационный алгоритм с вэйвлет фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4. No. 2. С. 244 253. 65

Iterative tomogram reconstruction with wavelet filtering Model: Nx, Ny, N = 128, K = 7, without noise Reconstruction: (rms=137%) =0. 002, s 0=4, si=6. SL 2 rms=32% (300 th iter) Iterations : 66

Reconstructions of Model 1 from noisy projections (K=6). Noise level σ=10% (proportional). a) MENT, Ni=50, Δ=7%, b) GP, Ni=50, Δ=10%, c) FBP, Δ=16%, d) NDWF, Ni=50, Δ=7%. Reconstructions of Model 2 from noisy projections (K=6). Noise level σ=10% (range). a) MENT, Ni=100, Δ=81%, b) GP, Ni=50, Δ=92%, c) FBP, Δ=97%, d) NDWF, Ni=50, Δ=83%. 67

Dependence of reconstruction error on number of iteration for MENT, GP, NDWF (no noise, K=6): a) gaussian, b) ring 68

Модель 53 пакета Topas Micro, композиция из основных элементарных двумерных фантомов пакета. 69

Эллиптическая повернутая гауссиана Томограмма: Синограмма: 70

Парабола (1) с эллиптическим носителем Томограмма: Синограмма: 71

Парабола (1/2) с эллиптическим носителем Томограмма: Синограмма: 72

Парабола (3/2) с эллиптическим носителем Томограмма: Синограмма: 73

Ступенька с эллиптическим носителем Томограмма: Синограмма: 74

Конус с эллиптическим носителем Томограмма: Синограмма: 75

Model No. 53 and its gradient module. 76

Model No. 53 and its gradient module. 77

Список литературы [1] Сайт группы Вычислительной томографии, Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН : http: //www. itam. nsc. ru/lab 17/ [2] Пикалов В. В. , Преображенский Н. Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН. -1983. -Т. 141. No. 3. -С. 469 -498. [3] Пикалов В. В. , Мельникова Т. С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука. 1995. [4] Преображенский Н. Г. , Пикалов В. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. [5] Пикалов В. В. , Преображенский Н. Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987. [6] Vishnyakov G. N. , Levin G. G. , Minaev V. L. , Pickalov V. V. , Likhachev A. V. Tomographic interference microscopy of living cells. // Microscopy and Analysis (UK). 2004. Vol. 18. No. 1. P. 15 17. [7] Пикалов В. В. , Непомнящий А. В. Итерационный алгоритм с вэйвлет фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4. No. 2. С. 75 84. 78

79

Центральная теорема томографии: теорема о центральном сечении 80

81

82