Обратная матрица, решение СЛАУ матричным методом. Совместность СЛАУ. 1. Обратная матрица
Определение. Пусть А –квадратная матрица. Матрица А -1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие: А * A-1 = A-1 * A = E , где Е – единичная матрица. Теорема (об обратной матрице). Если определитель det. A квадратной матрицы A (n x n) не равен нулю, то у неё существует обратная матрица A-1, вычисляемая по формуле: (3) где алгебраическое дополнение к элементу аij матрицы А.
Док-во: Покажем, что матрица, заданная формулой (3), удовлетворяет определению обратной матрицы. Найдем произведение матриц А * А-1 , при det. A верно Аналогично проверяется А-1 * А = Е.
Убедимся, что условие det A необходимо для существования А-1. Имеем: det(A*A-1) = det. A * det. A-1 ; det E = 1. При det. A=0 получим 1=0, что неверно. Значит, det. A. Доказано. Замечание. Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной. Если определитель матрицы не равен нулю, то её называют невырожденной.
Пример. Задана матрица: Найти А-1, сделать проверку. Решение.
Проверка. А-1 * А = Е; A * A-1 =E.
Ответ: Замечание. Обратные матрицы выше 3 -го порядка находятся методом Жордана – Гаусса, аналогичным методу Гаусса для расширенных матриц СЛАУ. Схема: Решение СЛАУ матричным методом. Задана СЛАУ АХ=В. Найти Х. Пусть A-невырожденная матрица, тогда существует А-1. Имеем: А-1 АХ= А-1 В; EX=А-1 В; X= А-1 В - матричное решение СЛАУ
2. Ранг матрицы. Условие совместности СЛАУ. Определения. 1). Минором k-го порядка матрицы А( m x n) называется определитель, образованный элементами матрицы, стоящими на пересечении любых k строк и k столбцов. 2) Рангом r матрицы А называется наибольший порядок её минора, не равного нулю. Обозначение: r=r(A) – ранг матрицы А. 3) Всякий отличный от нуля минор r-го порядка называют базисным минором, также строки и столбцы, образующие этот минор – базисными. Пример.
Замечание. Не изменяют ранга матрицы следующие операции: 1) перестановка столбцов или строк; 2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля; 3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки), умноженного предварительно на некоторое число; 4) зачеркивание нулевого столбца (строки); 5) транспонирование. Пример. Найти ранг матрицы А.
Определение. СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если СЛАУ не имеет решений, то она называется несовместной. • Теорема Кронекера - Капелли. СЛАУ вида (4) совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы А равен рангу расширенной матрицы: (без доказательства).
Спасибо за внимание
Скачать презентацию Обратная матрица решение СЛАУ матричным методом Совместность СЛАУ
Алгебра_л4.ppt