Обратная матрица. Ранг матрицы ЛЕКЦИЯ 3 1
ПРИСОЕДИНЕННАЯ (СОЮЗНАЯ) МАТРИЦА Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка. 2
Заменим каждый элемент aij матрицы А его алгебраическим дополнением 3
Транспонируя последнюю матрицу, получим присоединенную матрицу для матрицы А: А П= 4
Матрица А и ее присоединенная матрица удовлетворяют следующему соотношению: , где Е – единичная матрица n-го порядка. 5
Действительно: 6
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Пусть А и Е квадратная и единичная матрицы порядка n. Определение 1: Обратной матрицей для матрицы А называется матрица n-го порядка, которая обозначается символом А-1 и определяется условием: АА-1=Е 7
Определение 2: Квадратная матрица А называется неособенной (невырожденной), если ее определитель отличен от нуля, т. е. det. А 0. Теорема: Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была неособенной. 8
Необходимость: Пусть А обладает обратной матрицей А-1, , удовлетворяющей соотношению (1). Тогда , или. Следовательно, det. А 0, то есть А – неособенная матрица. 9
Достаточность: Пусть А неособенная матрица, т. е. det. А 0, а АП – матрица присоединенная для А. Тогда Разделим соотношение на det. А 0, 10
Или Сравним с определением обратной матрицы. Вывод: при условии det. А 0, матрица А имеет обратную матрицу 11
Правило нахождения обратной матрицы: вычислить det. А, если det. А 0, то составить присоединенную матрицу АП, все элементы матрицы АП разделить на det. А. 12
ПРИМЕР существует ли матрица, обратная матрице если существует, найти ее. 13
РЕШЕНИЕ det. А=12, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А и составим АП. И так далее 14
Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений, составляем А П= 15
Тогда 16
Проверка: АА-1=Е. 17
РАНГ МАТРИЦЫ матрица размера mxn Выделим к строк и к столбцов. Элементы образуют квадратную матрицу к –того порядка, определитель - миноры. 18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ число r называется рангом матрицы А, если среди миноров (определителей) rтого порядка, порожденных матрицей А, хотя бы один отличен от нуля, а все подобные определители порядка более высокого, чем r, равны нулю. 19
Кратко: Ранг матрицы – это наивысший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Такой минор носит название базисного минора, Строки и столбцы, входящие в базисный минор, называются базисными. 20
ПРИМЕР Найти ранг матрицы Минор второго порядка отличен от нуля 21
Все миноры третьего порядка (4 определителя) – равны нулю. Ранг матрицы равен 2 22
Элементарные преобразования. 1. Транспонирование матриц. 2. Перемена местами любых двух строк (столбцов). 3. Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на число 0. 4. Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число. 23
ПРИМЕР Найти ранг матрицы 1. Умножаем элементы второго столбца матрицы на 2 и складываем с параллельными элементами первого столбца. 24
2. Умножаем элементы второго столбца матрицы на 3 , затем на – 2, затем на 4 и складываем с элементами третьего, четвертого и пятого столбцов. 25
3. Умножаем элементы первой строки на – 2 , затем на -1 и складываем с параллельными элементами второй и третьей строк. 26
4. Умножаем элементы второй строки на – 2 и складываем с параллельными элементами третьей строки. Ранг матрицы равен 2. RA =r. A =2 27
Скачать презентацию Обратная матрица Ранг матрицы ЛЕКЦИЯ 3 1
3 лекция Обратная матрица, ранг Презентация .ppt