Обратная матрица Матрица A-1 называется обратной к

Обратная матрица

Матрица A-1 называется обратной к матрице А, если АA-1=A-1 А=Е где Е – единичная матрица

1 Определяем, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.

2 Находим определитель матрицы. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.

3 Заменяем каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.

4 Полученную матрицу транспонируем.

5 Каждый элемент полученной матрицы делим на определитель исходной матрицы. Получаем матрицу, обратную к данной.

6 Делаем проверку. Для этого перемножаем полученную и исходную матрицы. Должна получиться единичная матрица.

Найти матрицу, обратную к матрице

Применяем алгоритм нахождения обратной матрицы. 1 Матрица квадратная, следовательно обратная матрица для нее существует. 2 Находим определитель:

3 Находим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы: Составляем матрицу: из полученных значений

4 Транспонируем ее: 5 Каждый элемент матрицы делим на определитель Δ=1 и получаем обратную матрицу:

6 Проверяем:

Найти матрицу, обратную к данной и сделать проверку

Применяем алгоритм нахождения обратной матрицы. 1 Матрица квадратная, следовательно обратная матрица для нее существует. 2 Находим определитель:

3 Находим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы:

Составляем матрицу: 4 из полученных Транспонируем ее: значений

5 Каждый элемент матрицы делим на определитель Δ=-49 и получаем обратную матрицу:

6 Проверяем:

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются: Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; n Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля; n Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число. n

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается: А~В. При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Такую матрицу называют канонической.

Например: каноническая матрица четвертого порядка

Пример: Привести матрицу к каноническому виду: ~ ~ Поменяем местами первый и третий столбцы ~ Прибавим ко второй строке первую и результат запишем на место второй строки

Умножим первую строку на -5 и прибавим к третьей строке, ~ результат запишем на место третьей строки ~ -2 : 5 -2 : 3 -3 ~ ~ ~

~ ~ ~ 3 -1 -1 ~

Ранг матрицы Рассмотрим матрицу А размером m x n: Выделим в ней k-строк и k-столбцов.

Из элементов, состоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Количество подобных миноров определяется по формуле где - число сочетаний из n элементов по k:

Например: Определим число миноров 3 -его порядка для матрицы размером 4 х 7: k=3; m=4; n=7

Ранг матрицы – наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Обозначается r, r(A) или rang(A). Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

Пример: Определить ранг матрицы:

Решение: Все миноры третьего порядка равны нулю. Есть минор второго порядка, отличный от нуля: Значит, r(A)=2. Базисный минор стоит на пересечении второй и третьей строки с первым и третьим столбцами.

Свойства ранга матрицы: При транспонировании ранг матрицы не меняется. n Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится. n Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. n

Теорема Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. Это один из способов определения ранга матрицы.

Пример: Определить ранг матрицы:

Решение: Приведем матрицу к каноническому виду: 2 ~ ~ ~ - ~ ~

… самостоятельно! В результате получим матрицу канонического вида: Таким образом, ранг матрицы равен 3.

Свойства рангов матрицы: n – число столбцов матрицы А или строк матрицы В

В матрице А обозначим ее строки следующим образом: Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: если

Строка е называется линейной комбинацией строк e 1, e 2, …, es матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа: e=λ 1 e 1 + λ 2 e 2+…+ λs es где λi - любые числа.

Строки матрицы e 1, e 2, …, eт называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ 1, λ 2, … λт, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: λ 1 e 1 + λ 2 e 2+…+ λт eт=0, где 0=(0 0 … 0).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Пусть λт 0, тогда eт= (-λ 1/ λт )e 1 + (-λ 2/ λт) e 2+…+(- λт-1/ λт)em-1

Теорема о ранге матрицы Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). Эта теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности при исследовании систем линейных уравнений.