ОБОБЩЁННАЯ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА N РАВНЫХ ЧАСТЕЙ. Работу подготовила Ученица 9 класса «В» ГБОУ гимназии № 1517 Горбач Екатерина
ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
a ФОРМУЛИРОВКА: Параллельные прямые, пересекающие две О другие прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки. С А b B D a b m 1 m 2 m 3
СЛУЧАЙ 1 Дано: a||b m 1||m 2||m 3 m 1 a = A m 1 b = D m 2 a = B m 2 b = E m 3 a = C m 3 b = F AB=BC m 1 m 2 A D Доказать: m 3 B C E AB DE a F = BC EF b
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1. Рассмотрим ABED: a||b (по усл) m 1||m 2 (по усл) m 1 m 2 A ABED – п/г (по опр) B m 3 C AB=DE (по св-ву п/г) D E a F b 2. BCFE – п/г (док-во аналогично п. 1) BC=EF (по св-ву п/г) 3. Из п. 1 и 2 AB DE = BC EF Что и требовалось доказать
СЛУЧАЙ 2 Дано: a O; AB || CD AB AB CD CD С a=A b=B a=C b=D Доказать: OB = AC OA BD А О B D b
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: a 1. Доп. построение: AC 1: A Є AC 1 и AС 1 || BD О BD CD=C 1 С С 1 А B D b
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: a 2. O= CAC 1 – как соотв. углы (при AB || CD и OA – секущей) OAB= C – как соотв. углы (при AB || CD и OС – секущей) С А О С 1 b B D
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Δ OAB a = Δ ACC 1 (по 2 углам) OA = OB AC AC 1 С ( по определению А С 1 подобных треугольников) 3. AC 1=BD, т. к BAC 1 D – п/г (по определению) OA = AC OB BD О B D Что и требовалось доказать b
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА N РАВНЫХ ЧАСТЕЙ
ДАНО: AB – ОТРЕЗОК РАЗДЕЛИТЬ ОТРЕЗОК AB НА 3 РАВНЫЕ ЧАСТИ
АНАЛИЗ ПОСТРОЕНИЯ: B B 1 BAC B 2 A 1 B 1 || A 2 B 2|| A 3 B A A 1 A 2 A 3 AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B C AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3
ПОСТРОЕНИЕ: 1. Отрезок AB 2. Луч AC; BAC 3. (A; R) AC=A 1 (A 1; R) AC=A 2 (A 2; R) AC=A 3 AA 1=A 1 A 2=A 2 A 3=R 4. BA 3 - прямая 5. Через точки A 1 и A 2 проводим m 1||m 2 ||BA 3 m 1 AB=B 1 m 2 AB=B 2 m 1 B B 2 B 1 A A 1 A 2 A 3 Таким образом, по теореме Фалеса: AB 1=B 1 B 2=B 2 B C
А как разделить отрезок на n равных частей?
ЗАДАЧИ НА РАЗМИНКУ: Задача № 1 Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O, B, D лежат на одной прямой, а также O, A, C лежат на одной прямой. Найдите длину CD, если AB=5, OB=3 и OD=12. Ответ: 20 Задача № 2 Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O, B, D лежат на одной прямой, а O, A, C лежат на другой прямой. Найдите длину ОC, если OA=2, OB=5 и OD=15. Ответ: 6
ЗАДАЧИ НА РАЗМИНКУ: Задача № 3 Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O, B, D лежат на одной прямой, и O, A, C лежат также на одной прямой. Определите длину OB, если OA=2, AC=4 и BD=6. Ответ: 3 Задача № 4 Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O, B, D лежат на одной прямой, но и O, A, C лежат на одной прямой. Определите длину BD, если AB=6, CD=8 и OB=12. Ответ: 4
ЗАДАЧА № 1 Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и K являются серединами боковых сторон. Докажите, что отрезок MK пересекает диагональ AC в ее середине.
ДАНО: ABCD – трапеция BC и AD – основания M Є AB; AM=MB K Є CD; CK=KD MK AC=O Доказать: AO=OC B C M K O A D
РЕШЕНИЕ: 1. AМ=MB (по усл) CK=KD (по усл) MK – средняя линия (по опр) MK || BC || AD (по св-ву средней линии) B C M K O A D
РЕШЕНИЕ: 2. По теореме Фалеса: B AO = AM OC MB AМ=MB (по усл) C M K O A D AO=OC Что и требовалось доказать
ЗАДАЧА № 2 Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 и 5.
ДАНО: ABCD – трапеция M Є AB; K Є AB BM=NK=KA N Є CD; P Є CD MN||KP||BC||AD BC=2; AD=5 Найти: MN и KP B M K A C N P D
РЕШЕНИЕ: 1. По теореме Фалеса CN=NP=PD 2. Рассмотрим KBCP – трапеция (по опр) BM=MK (по усл) CN=NP (по п. 1) MN – средняя линия (по опр) B M C N K P D A MN=½ (KP+BC)
РЕШЕНИЕ: 3. Рассмотрим AMND – трапеция (по опр) MK=KA (по усл) NP=PD (по п. 1) B M K C N P D A KP – средняя линия (по опр) KP=½ (MN+AD)
РЕШЕНИЕ: 4. Из п. 2 и п. 3 KP=½ (½ (BC+KP)+AD)= = ½ (½KP+6)=¼KP+3 ¾KP=3 KP=4 MN=3 Ответ: MN=3; KP=4 B M K A C N P D
ЗАДАЧА № 3 В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла; отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найдите углы треугольника.
ДАНО: Δ ACB – прямоугольный BE – медиана; AE=EC AD – биссектриса CAB OD BC Найти: A и B A E C O D B
РЕШЕНИЕ: EO OB 1) 1 2 = (по св-ву медиан) OD||EC , т. к. 2) CD AC = ACB=90 и OD BD AB CD BD = CD BD BC (по усл) AC AB = EO OB = 1 2 (по теореме Фалеса) A (по св-ву бис-сы) AC AB = 1 2 B=30 Ответ: 30; 60 sin B= ½ A=60 E C O D B
ЗАДАЧА № 4 Дана трапеция ABCD с основаниями AD=a и BC=b. Точки M и N лежат на сторонах AB и соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.
ДАНО: ABCD – трапеция AD и BC – основания AD=a; BC=b M AB; N CD MN||BC||AD AC MN=O SΔAMO=SΔCNO Найти: MN B M A C O N D
B РЕШЕНИЕ: M C O K N 1. BM/AM=CO/OC=CN/ND A H 2. Доп. построение: CH AD, CH MN=K 3. CK/KH=BM/AM=CO/OA=CN/ND 4. Пусть CK=h; KH=m, тогда, выражая отношение площадей равных треугольников через введенные величины, получаем: ON/MO=m/h 5. Т. к. ΔMAO ΔBAC (по двум углам) MO=(b AO)/AC 6. Т. к. ΔOCN ΔACD (по двум углам) ON=(a CO)/AC 7. AO/OC=m/h= 8. MO=b /( + ); ON=a /( + ) 9. MN=MO+ON= Ответ: D
Благодарю за внимание!
Скачать презентацию ОБОБЩЁННАЯ ТЕОРЕМА ФАЛЕСА ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА N РАВНЫХ
Теорема Фалеса.pptx