Обнаружение разладки временных рядов Ковалевский Артём Павлович кафедра высшей математики kovalevskiii@gmail. com 18 марта 2011
Природные, экономические и другие явления описываются последовательностями, называемыми временными рядами. Типичный график временного ряда приведен на рисунке. Для анализа и прогноза явления следует предложить математическую модель временного ряда, которая вынужденно оказывается стохастической, то есть зависящей от случая. 205000 Фьючерсы на индекс РТС 200000 195000 190000 185000 180000 175000 170000 20110304 20110305 20110309 20110310 20110314 20110315
Модель со стационарными возмущениями предполагает, что Здесь – наблюдаемые значения, i = 1, …, n. – элементы стационарной случайной последовательности с нулевым математическим ожиданием. Стационарность означает, что стохастические свойства последовательности не меняются при сдвиге. Функция f предполагается частично неизвестной (например, известной с точностью до одного или нескольких параметров). После оценивания параметров получаем оценку этой функции
Вектор составленный из величин называется вектором остатков модели. В наиболее простой постановке задачи вектор u состоит из независимых случайных величин. Это модель с трендом, и f называется функцией тренда. Кроме того, рассматриваются случаи, когда u имеет корреляционную функцию, убывающую по степенному закону. Это модель фрактального гауссовского шума, полезная для целого ряда приложений и активно изучаемая в последние годы. Разладкой называется ситуация, когда функция тренда скачком меняет свои значения в процессе наблюдений. Например, в модели выборки разладка происходит, если до некоторого момента T было выполнено f(t)=a, а начиная с этого момента f(t)=b.
Для обнаружения разладки будем использовать критерии, основанные на понятии эмпирического моста. Эмпирический мост – это случайная ломаная, построенная по центрированным и нормированным последовательным суммам значений. На приведенном ниже графике видны интервалы роста и падения, однако оказывается, что они объясняются случайными причинами – отклонения от горизонтальной оси слишком малы для того, чтобы означать тенденцию. На самом деле этот график – эмпирический мост, построенный по смоделированной случайной выборке.
Формальное определение эмпирического моста Эмпирический мост Z(t) – ломаная, построенная по точкам
Каждый конкретный рассматриваемый критерий проверки однородности (отсутствия разладки) основывается на функционале от эмпирического моста, то есть способе, с помощью которого траектория процесса преобразуется в число. Теоретическая часть исследования состоит в поиске наилучшего критерия. Для ряда моделей доказано, что наилучший в широком классе критерий основан на максимальном отклонении траектории эмпирического моста от горизонтальной оси. Гипотеза об однородности отвергается, если функционал принимает достаточно большие значения (выше некоторого уровня).
В качестве тем исследований для студентов предлагаются следующие применения методов обнаружения разладки: 1. Разладка в экономических моделях. 2. Анализ однородности текстов. 3. Разладка в моделях погодных явлений. 4. Анализ изображений. Для каждой области применения надо строить несколько моделей, а затем выявлять лучшую из них, то есть наименее подверженную разладке.
Для экономических данных – выявлять интервалы, соответствующие модели линейного тренда, моменты смены параметров тренда, частоту и среднюю длительность интервала между моментами разладки. На приведенном ниже графике, несмотря на внешнюю похожесть на график броуновского движения, математическими методами выявляются моменты разладки в конце 1994 и в начале 2001 годов. Курс евро к доллару в 1991 -2005
При анализе текстов – индикаторы появлений служебных слов. Анализ текстов позволяет выявлять разнородные части текста и идентифицировать их источники с помощью поисковой системы. Таким способом можно выявить вклад автора, то есть ту часть текста, которая написана им самим, а не скопирована из произведений других авторов. Ф. М. Достоевский, собрание сочинений
Анализ разладки в моделях погодных явлений позволяет, в частности, исследовать закономерности изменения климата. Здесь строятся трендовые модели, а потом анализируются их остатки на наличие разладки. Так, для приведенных ниже данных есть разладка в конце 2005 года – тенденция повышения мутности воды сменилась на противоположную. Логарифмы мутности воды на водозаборе в Екатеринбурге 3. 5 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 -1 08 16 /0 1/ 20 07 /0 1/ 20 06 16 16 /0 1/ 20 05 /0 1/ 20 04 16 /0 1/ 16 20 /0 1/ 20 03 02 16 /0 1/ 16 20 /0 1/ 20 01 00 16 /0 1/ 16 19 /0 1/ 20 99 98 16 16 /0 1/ 19 97 19 /0 1/ 16 19 /0 1/ -0. 5 16 16 /0 1/ 19 96 95 0
При компьютерном анализе размытых фотографий штрих-кодов главная трудность – очертить границы штрих-кода, с которого потом считывается информация. Здесь также помогают методы обнаружения разладки.
Спасибо за внимание! kovalevskiii@gmail. com
Скачать презентацию Обнаружение разладки временных рядов Ковалевский Артём Павлович кафедра
c42939009376900394283a09db89e378.ppt