Объем тела поперечного сечения Выполнила Саламова Ульяна гр. 231
Объем тела поперечного сечения Пусть в пространстве с декартовой системой координат Oxyz лежит , проектирующаяся на ось Ox в отрезок [a, b]. Предположим, что для каждого x [a, b] нам известна площадь S(x) сечения тела плоскостью, проходящей через точку x оси абсцисс перпендикулярно этой оси. Площадь S(x) будем называть площадью поперечного сечения тела .
![Объем тела поперечного сечения Для нахождения объёма тела возьмём размеченное разбиение отрезка [a, b],](https://present5.com/presentation/79222442_148711372/image-3.jpg "Объем тела поперечного сечения Для нахождения объёма тела возьмём размеченное разбиение отрезка [a, b],")
Объем тела поперечного сечения Для нахождения объёма тела возьмём размеченное разбиение отрезка [a, b], которое образуют точки деления x 0=a<x 1<…<xn 1<xn=b и отмеченные точки xi [xi-1; xi], i=1, …, n. Плоскости x=xi разбивают тело на слои i, объёмы которых мы вычислим приближённо, в соответствии с этим разбиением заменив объём слоя i на объём цилиндра, высота которого hi=xi-xi-1 та же, что у слоя , а основание совпадает с сечением тела плоскостью x=xi, проведённой где-то посередине между основаниями слоя i. Образующие этого цилиндра - отрезки прямых, проходящих параллельно оси Ox через точки границы сечения.
Объем тела поперечного сечения Объём цилиндра равен, очевидно, Vi=S(xi)hi, а подсчитанный приближённо с помощью данного разбиения объём всего тела - Последняя сумма - это интегральная сумма, построенная для функции S(x) по размеченному разбиению. При неограниченном измельчении разбиения (то есть при ) эта сумма стремится к значению определённого интеграла от S(x) по [a, b]. С другой стороны, задаваемый этой суммой объём будет стремиться к объёму тела V (этот предельный объём мы можем по определению считать равным объёму тела ). Итак, получаем формулу: V = S(x)dx
Пример 1 Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса R: , горизонтальной плоскостью z=0 и наклонной плоскостью z=2 y и лежащего выше горизонтальной плоскости z=0. Очевидно, что рассматриваемое тело проектируется на ось Ox в отрезок [-R, R] , а при x (-R, R) поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами y и z=2 y, где y можно выразить через x из уравнения цилиндра: y= Поэтому площадь S(x) поперечного сечения такова: Применяя формулу V = S(x)dx , находим объём тела :
Пример 2 Пусть тело ограничено поверхностью, полученной вращением в пространстве Oxyz линии y=f(x), лежащей в плоскости x. Oy и рассматриваемой при x [a, b], вокруг оси Ox, а также (с боков) плоскостями x=a и x=b. Поскольку поперечными сечениями такого тела вращения служат круги радиуса |y|=|f(x)|, площадь поперечного сечения будет в этом случае выражаться формулой: а объём тела вращения, как следствие формулы V = S(x)dx, равен: или, более кратко,
Пример 3 Пусть в плоскости x. Oy рассматривается линия y=cosx на отрезке . Эта линия вращается в пространстве вокруг оси Ox, и полученная поверхность вращения ограничивает некоторое тело вращения. Найдём объём V этого тела вращения. Согласно формуле , получаем:
Скачать презентацию Объем тела поперечного сечения Выполнила Саламова Ульяна гр
Матан.pptx