Объем и поверхность тел вращения Тела вращения

Объем и поверхность тел вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии. Круговой конус — конус, основание которого является кругом. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса). Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём). Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Примеры тел вращения Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его

Ко нус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

Объем кругового конуса равен Или: треть произведения площади основания на высоту.

Объём и площадь поверхности тел вращения можно узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа.

1 Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

2 Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами.

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r определяются формулами:

Цили ндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Цилиндрическая поверхность - поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей).

Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

Площадь боковой поверхности К вычислению площади боковой поверхности цилиндра Площадь боковой поверхности цилиндра равен длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, равной периметру основания. Следовательно площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: Sb = Ph В частности, для прямого кругового цилиндра: P = 2πR, и Sb = 2πRh

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований. Для прямого кругового цилиндра: Sp = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Объём цилиндра Объём цилиндра равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. Объём стоящего на плоскости цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания): где l — длина образующей, а — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l. Для кругового цилиндра: где d — диаметр основания.

Тор — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности. Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

Свойства… Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гульдина: S = 4π2 Rr. Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Гульдина: V = 2π2 Rr 2. При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей Вилларсо. Тор с вырезанным диском ( «проколотый» ) можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть рядом диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём ( «параллель» и «меридиан» ) поменяются местами.

Сфе ра — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы.

Площадь сферы Объем шара, ограниченного сферой

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252. 96 кв. градусов.

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Свойства объема Равные тела имеют равные объемы. Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме его частей. Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.