ОБЧИСЛЮВАНІСТЬ КВАЗІАРНИХ ФУНКЦІЙ НА N Розглядаємо спосіб задання

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

ОБЧИСЛЮВАНІСТЬ КВАЗІАРНИХ ФУНКЦІЙ НА N Розглядаємо спосіб задання обчислюваних функцій, який ґрунтується на породженні таких функцій за допомогою обчислюваних операцій (композицій) з певних базових функцій. Для випадку еквітонних V-квазіарних функцій на N основними обчислюваними операціями є параметричні операції: суперпозиції Sv 1, …, vn примітивної рекурсії Ry, z мінімізації My 1

Операція Ry, z двом V-квазіарним функціям g та h зіставляє V-квазіарну функцію f = Ry, z(g, h) таку: – при у іm(d) значення f(d) ; – при у іm(d) значення f(d) визначається рекурсивно f(d y 0) = g(d y 0 z 0); f(d y a+1) = h(d y a z f(d y a)) для всіх a<d(y). Для всіх d VN таких: d(y) = b, значення f(d) обчислюється так: f(d у 0) = g(d у 0 z 0); f(d у 1) = h(d у 0 z f(d у 0)); . . . . f(d) = f(d у b) = h(d у b– 1 z f(d у b– 1)). 2

Функція f = Ry, z(g, h) однозначно визначається за функціями g та h, причому z неістотне для функції f. Твердження 1. Функція Ry, z(g, h) алгоритмічно обчислювана відносно функцій g, h та відносно операції накладки і відносно V-ІМ над N як функцій. Твердження Функція Ry, z(g, h) алгоритмічно 2. обчислювана відносно V-фінарних функцій g та h. 3

Операція мінімізації My V-квазіарній функції g зіставляє V-квазіарну функцію f = My(g) таку: Для кожного d VN значення f(d) – це перше a N таке, що g(d y a) = 0 і для всіх k < a значення g(d y k) 0. Якщо таке a N не існує, то f(d). Для кожного d VN значення f(d) обчислюється так. Послідовно обчислюємо g(d y k) для k = 0, 1, 2, . . . Перше таке a N, що g(d y a) = 0 – шукане f(d). Для всіх k<a g(d y k) 0. 4

Процес знаходження My(g)(d) ніколи не закінчиться: – якщо g(d y 0) ; – якщо для всіх k N значення g(d y k) 0. – якщо для всіх k<a значення g(d y k) 0 та g(d y a). Функція f = Мy(g) однозначно визначається за g, причому y неістотне для f. Твердження Функція Мy(g) алгоритмічно обчислювана 3. відносно функції g, відносно і відносно V-ІМ над N як функцій. Твердження Функція Мy(g) алгоритмічно обчислювана 4. відносно V-фінарної функції g. Твердження Операції Ry, z та My зберігають 5. еквітонність V-квазіарних функцій, заданих на N. 5

Базові обчислювані функції для V-квазіарних функцій на N – це о, sх та 'v. о(d) = 0 для всіх d VN sх(d) = d(x)+1 'v(d) = d(v) Функцію, яку можна отримати з базових функцій о, sх, 'v за допомогою скінченної кількості застосувань операцій Sv 1, …, vn, Ry, z та My, назвемо V-квазіарною частково рекурсивною (V-КЧРФ). Обмежуючись V-фінарними функціями, отримуємо: Функцію, яку можна отримати з фінарних функцій о, sх, 'v за допомогою скінченної кількості застосувань операцій Sv 1, …, vn, Ry, z та My, назвемо V-фінарною частково рекурсивною (V-ФЧРФ). 6

Твердження 6. Кожна V-КЧРФ алгоритмічно обчислювана відносно операції та V-ІМ над N як функцій. Твердження 7. обчислювана. Кожна V-ФЧРФ алгоритмічно Твердження Кожна V-КЧРФ еквітонна. 8. Алгебра V-КЧРФ – це алгебра ( q; Ry, z, My, Sv 1, …, vn), носієм q якої є клас усіх V-КЧРФ, а операціями – Ry, z, My, Sv 1, …, vn. Алгебра V-ФЧРФ – це алгебра ( f; Ry, z, My, Sv 1, …, vn), носієм f якої є клас усіх V-ФЧРФ, а операціями – Ry, z, My, Sv 1, …, vn. 7

Операторні терми (ОТ) алгебри V-КЧРФ. Алфавіт мови алгебри V-КЧРФ: символи о, sx, 'v; Ry, z, My, Sv 1, …, vn, допоміжні символи "(", ")", ", ". Індуктивне визначення ОТ алгебри V-КЧРФ: 1) кожен символ базової функції є атомарним ОТ; 2) якщо t 0, t 1, . . . , tn – ОТ, то Sv 1, …, vn(t 0, t 1, . . . , tn) – ОТ; 3) якщо t 0 та t 1 – ОТ, то Ry, z(t 0, t 1) – ОТ; 4) якщо t – ОТ, то My (t) – ОТ. Інтерпретація на множині q: кожна V-КЧРФ є значенням деякого ОТ алгебри VКЧРФ. Інтерпретація на множині f: 8 кожна V-ФЧРФ є значенням деякого ОТ алгебри V-

Якщо f є значенням ОТ , то кажуть: – – ОТ функції f, – функція f задана ОТ . Неоднозначність допомогою ОТ: задання V-КЧРФ і V-ФЧРФ за о, Sх(о, sx), Sх(о, о) та Sх, у(о, о, sx) задають функцію о. Приклади. V-КЧРФ При обмеженні на V-ФЧРФ – це приклади V-ФЧРФ. Приклад . Функції-константи – V-КЧРФ. 1 Константи 0, 1, 2, . . . задаються ОТ о, Sx(sx, о), Sx(sx, о)), . . . ОТ для констант 1, 2, . . . , k, . . . позначимо 1, 2, . . . , k, . . . 9

Приклад 2. Параметрична функція +xy є V-КЧРФ. +xy(d) = 'x(d)+'y(d). Нехай x, y im(d). Тоді +xy(d y 0) ='x(d y 0 z 0) ='x(d); +xy(d y b+1) = sz(d у b z +xy(d y b)). Отже, +xy утворена з базових 'v та sz за допомогою Ry, z. ОТ функції +xy : Ry, z('x, sz). Позначимо його xy. Приклад 3. Параметрична функція множення xy є VКЧРФ. xy(d) = 'x(d) 'y(d). Нехай x, y im(d). Тоді xy(d y 0) = о(d y 0 z 0) = о(d) = 0; xy(d y b+1) =’x(d) (b+1) = +xz(d y b z xy(d y b)). Отже, xy утворена з о та +xz за допомогою Ry, z. ОТ функції xy : Ry, z(о, xz). Позначимо його xy. 10

Приклад Функція sgx задається так: sgx(d) = 0 при 4. ‘x(d) = 0, sgx(d) = 1 при ‘x(d) > 0, sgx(d) при x im(d). Така sgx є V-КЧРФ. sgx(d x 0) = о(d x 0 y 0) = о(d) = 0; sgx(d x b+1) = 1. Функція sgx утворена з о та 1 за допомогою Rx, y. ОТ функції sgx : Rx, y(о, 1). Такий терм позначимо sgx. Приклад . Функція nsgx задається так: nsgx(d) = 1 при 5 ‘x(d) = 0, nsgx(d) = 0 при ‘x(d) > 0, nsgx(d) при x im(d). Така nsgx є V-КЧРФ. nsgx(d x 0) = 1; nsgx(d x b+1) = 0. Функція nsgx утворена з 1 та о за допомогою Rx, y. ОТ функції nsgx : Rx, y(1, о). Позначимо його nsgx. 11

Приклад . Параметрична функція ÷xy задається так: 6 ÷xy(d) = ‘x(d) –‘y(d) при ‘x(d) ‘y(d), ÷xy(d) = 0 при ‘x(d) ‘y(d), ÷xy(d) при x im(d) або y im(d). Така ÷xy є V-КЧРФ. Спочатку покажемо: функція ÷x 1 є V-КЧРФ. Маємо ÷x 1(d x 0) = 0; ÷x 1(d x b+1) = b = 'x(d x b y ÷x 1(d x b)). ОТ функції ÷x 1 має вигляд Rx, y (о, 'x). Маємо ÷xy (d y 0) = 'x(d); ÷xy(d y b+1) = ÷x 1(d y b z ÷xy(d y b)). Отже, ÷xy утворена з 'x та ÷z 1 за допомогою Ry, z. ОТ функції ÷xy : Ry, z('x, Rz, y(о, 'z)). Позначимо його ÷xy. 12

Приклад 7. Параметрична функція |-|ху є V-КЧРФ. |-|ху(d) = |'x(d) – 'y(d)| ОТ функції |-|ху : Sx, y( xy, ÷yx). Позначимо його |–|xy. ÷ Приклад 8. Параметрична функція –ху є V-КЧРФ. –ху(d) = 'x(d) – 'y(d) Якщо a = m–n, то a – це перше, починаючи з 0, таке число, що m = n+a, тобто |(n+a)–m| = 0. ОТ функції –ху має вигляд Mz(Sv(|–|vx, yz)). Приклад . Функція [x/y] є V-КЧРФ. 9 [x/y] = z(y (z+1) > x). ОТ функції [x/y] має вигляд Mz(Su, v(÷uv, sx, Sv( yv, sz)). Приклад 10. Функція є V-КЧРФ. = y((y+1) > x). ОТ функції має вигляд My(Su, v(÷uv, sx, Su, v( uv, sy)). 13

Обчислюваність n-арних функцій на. N. Примітивно-рекурсивні, частково рекурсивні та рекурсивні функції Основні обчислювані операції для n-арних функцій на N: – суперпозиції Sn+1 – примітивної рекурсії R – мінімізації M. Операція Sn+1 n-арній g(x 1, . . . , xn) та n функціям g 1(x 1, . . . , xm), . . . , gn(x 1, . . . , xm) однакової арності зіставляє функцію f = Sn+1(g, g 1, . . . , gn): f(x 1, . . . , xm) = g(g 1(x 1, . . . , xm), . . . , gn(x 1, . . . , xm)). Арність f збігається з арністю функцій g 1, . . . , gn. 14

Fn – клас усіх функцій на N фіксованої арності n, тобто Nn N. F – клас усіх n-арних функцій на N – об’єднання усіх Fn. Операцію Sn+1 можна розглядати як: – тотальну функцію Fn (Fm)n Fm, – часткову (n+1)-арну функцію на F. Твердження Якщо функції g, g 1, . . . , gn тотальні та 1. АОФ, то Sn+1(g, g 1, . . . , gn) тотальна та АОФ. 15

Операція R n-арній функції g та (n+2)-арній h зіставляє (n + 1)-арну f = R(g, h), що задається рекурсивним визначенням f(x 1, . . . , xn, 0) = g(x 1, . . . , xn) f(x 1, . . . , xn, y + 1) = h(x 1, . . . , xn, y, f(x 1, . . . , xn, y)). Для всіх a 1, . . . , an, b значення f(a 1, . . . , an, b) обчислюється так: f(a 1, . . . , an, 0) = g(a 1, . . . , an) f(a 1, . . . , an, 1) = h(a 1, . . . , an, 0, f(a 1, . . . , an, 0)) . . . . f(a 1, . . . , an, b) = h(a 1, . . . , an, b– 1, f(a 1, . . . , an, b– 1)). Функція f однозначно визначається за функціями g та h. 16

Якщо f(a 1, . . . , an, b) , то f(a 1, . . . , an, t) для всіх t b. При n = 0 за визначенням функція g – це 1 -арна константа. Твердження Якщо функції g та h тотальні та 2. АОФ, то R(g, h) тотальна та АОФ. Операцію примітивної розглядати як: рекурсії R можна – тотальну функцію Fn Fm+2 Fn+1 (при n = 0 – F 1 F 2 F 1), – часткову бінарну функцію на F. 17

Операція M кожній (n + 1)-арній функції g зіставляє nарну функцію f = M(g), що задається співвідношенням f (x 1, . . . , xn) = y(g(x 1, . . . , xn, y) = 0). Для всіх значень x 1, . . . , xn значення f(x 1, . . . , xn) обчислюється так. Послідовно обчислюємо g(x 1, . . . , xn, y) для y = 0, 1, 2, . . . Перше таке значення y, для якого g(x 1, . . . , xn, y) = 0 – шукане значення f(x 1, . . . , xn). t < y необхідно g(x 1, . . . , xn, t) 0. Операцію мінімізації M можна розглядати як: – тотальну функцію Fn+1 Fn (при n = 0 – із F 1 ) – часткову 1 -арну функцію на F. Процес знаходження y(g(x 1, . . . , xn, y) = 0) ніколи не закінчиться: – якщо g(x 1, . . . , xn, 0) – якщо для всіх значень y значення g(x 1, . . . , xn, y) 0 18 – якщо для всіх t<y g(x 1, . . . , xn, t) 0 та g(x 1, . . . , xn, y).

Не завжди найменше значення y таке, що g(x 1, . . . , xn, y) = 0, збігається з y(g(x 1, . . . , xn, y) = 0). Для довільного значення x існує єдине значення y = x+1 таке, що y–(x+1) = 0. Однак функція y(y–(x+1) = 0) усюди невизначена, тому що 0–(x+1) завжди невизначене. Твердження Якщо функція g АОФ, то M(g) теж АОФ. 3. Функція g може бути тотальною, а M(g) – навіть f. Наприклад, f(x) = y(x+y+1 = 0). Базові обчислювані n-арні функції: о(x) = 0, s(x) = x + 1 та Imn(x 1, . . . , xn) = xm, де n m 1. Вони тотальні й алгоритмічно обчислювані. 19

Функцію, яку можна отримати з базових за допомогою скінченної кількості застосувань операцій суперпозиції та примітивної рекурсії, назвемо примітивно-рекурсивною (ПРФ). Функцію, яку можна отримати з базових за допомогою скінченної кількості застосувань операцій суперпозиції, примітивної рекурсії, мінімізації, назвемо частково рекурсивною (ЧРФ). Тотальну ЧРФ називають рекурсивною функцією (РФ). 1) кожна ПРФ – тотальна АОФ 2) кожна ЧРФ – АОФ 3) кожна РФ – тотальна АОФ. ПРФ ЧРФ 20

Алгебра ЧРФ (алгебра Чорча) – це алгебра ( ; R, M, S 2, S 3, . . . ) носій – клас усіх ЧРФ, операції – R, M, Sn+1, де n 1. Алгебра ПРФ – це алгебра ( p. R; R, S 2, S 3, . . . ) носій p. R – клас усіх ПРФ, операції – R, Sn+1, де n 1. Операторні терми алгебри ЧРФ та алгебри ПРФ. Алфавіт мови алгебри ЧРФ: символи о, s, Imn, де n m 1; R, M, Sn+1, де n 1; допоміжні символи "(", ")", ", ". Індуктивне визначення ОТ алгебри ЧРФ: 1) кожен символ базової функції є атомарним ОТ; 2) якщо t 0, t 1, . . . , tn – ОТ, то Sn+1(t 0, t 1, . . . , tn) – ОТ; 3) якщо t 1 та t 2 – ОТ, то R(t 1, t 2) – ОТ; 4) якщо t – ОТ, то M(t) – ОТ. 21

Індуктивне визначення ОТ алгебри ПРФ: пп. 1, 2 та 3. Кожна ЧРФ є значенням деякого ОТ алгебри ЧРФ. Через порушення умов арності не кожен ОТ алгебри ЧРФ має певне значення: напр, R(o, I 24), S 3(I 12, I 23, I 22) Якщо f є значенням ОТ , то кажуть: – – ОТ функції f, – функція f задана ОТ . Неоднозначність задання ЧРФ за допомогою ОТ: о, S 2(s), S 2(о, о), S 3(о, S 2(о, s)) задають функцію о(x). 22

Приклади ПРФЧРФ та РФ , Приклад 1. Функції-константи – ПРФ. n-арна оn(x 1, . . . , xn) = 0 задається ОТ S 2(о, I 1 n); n-арна kn(x 1, . . . , xn) = k задається ОТ S 2(s, . . . , S 2(о, I 1 n). . . ). Приклад 2. Функція f(x 1, x 2) = x 1+x 2 – ПРФ. f(x 1, 0) = x 1 = I 11(x 1); f(x 1, x 2+1) = x 1+ (x 2+1) = (x 1+x 2)+1 = s(x 1+x 2) = s(f(x 1, x 2)). x 1+x 2 утворена примітивною рекурсією з функцій g(x 1) = I(x 1) та h(x 1, x 2, x 3) = x 3+1 = s(x 3) = S 2(s, I 33)(x 1, x 2, x 3). ОТ функції x 1+x 2: R(I 11, S 2(s, I 33)). Позначимо його . 23

Приклад . Функція f(x 1, x 2) = x 1 x 2 – ПРФ. 3 f(x 1, 0) = 0 = о(x 1); f(x 1, x 2+1) = x 1 (x 2+1) = x 1 x 2 + x 1 = f(x 1, x 2) + x 1 x 2 утворена R з функцій g(x 1) = о(x 1) та h(x 1, x 2, x 3) = x 3+x 1. ОТ функції x 1 x 2: R(о, S 3( , I 33, I 13)). Приклад . 1 -арна функція sg задається так: 4 sg(x) = 0 при x = 0, sg(x) = 1 при x 1. Така sg(x) є ПРФ. sg(0) = 0 = о(x); sg(x+1) = 1. ОТ функції sg(x): R(о, S 2(s, S 2(о, I 12))). Приклад . 1 -арна функція nsg задається так: 5 nsg(x) = 1 при x = 0, nsg(x) = 0 при x 1. Така nsg є ПРФ. ОТ функції nsg(x): R(S 2(s, о), S 2(о, I 12)). 24

Приклад . Функція f(x 1, x 2) = x 1 ÷ x 2 задається так: 6 x 1 ÷ x 2 = x 1–x 2 при x 1 x 2, x 1 ÷ x 2 = 0. при x 1 x 2, Така x 1 ÷ x 2 є ПРФ. Спочатку покажемо, що функція x 1 ÷ 1 – ПРФ. 0 ÷ 1 = 0 = о(x 1); (x 1+1) ÷ 1 = x 1 = I 12(x 1, x 2). ОТ функції x 1 ÷ 1: R(о, I 12). Тепер покажемо, що f(x 1, x 2) = x 1 ÷ x 2 – ПРФ. Маємо f(x 1, 0) = x 1 ÷ 0 = I 11(x 1); f(x 1, x 2+1) = (x 1 ÷ x 2) ÷ 1 = f(x 1, x 2))÷ 1. x 1 ÷ x 2 утворена примітивною рекурсією з функцій g(x 1) = I 11(x 1) та h(x 1, x 2, x 3) = x 3 ÷ 1. ОТ функції x 1 ÷ x 2: R(I 11, S 2 (R(о, I 12), I 33)). 25

Приклад . Функція 7 f(x 1, x 2) = |x 1 – x 2| = (x 1 ÷ x 2) + (x 2 ÷ x 1) – ПРФ. Приклад 8. Функція f(x 1, x 2) = x 1 – x 2 – ЧРФ. x 1 – x 2 = x 3(x 1 = x 2+x 3) = x 3(|x 1– (x 2+x 3)| = 0). Приклад 9. Функція f(x 1, x 2) = [x 1/x 2] – ЧРФ. [x 1/x 2] = x 3(x 2 (x 3+1) > x 1) = x 3(nsg(x 2 (x 3+1) ÷ x 1) = 0). Приклад 10. Функція f(x 1) = – РФ. = x 2((x 2+1) > x 1) = x 2(nsg((x 2+1) ÷ x 1) = 0). Приклад 11. Усюди невизначена функція f – ЧРФ. f (x 1) = x 2(x 1+1 = 0), тому f – значення ОТ М(s). 26

Властивості ПРФ і РФ. Позначаємо xn+1 та xn+2 як y та z. При z<y вважаємо = 0. Теорема Нехай (n+1)-арна функція g є ПРФ. Тоді (n+1) 1. арна функція f(x 1, . . . , xn, y) = f(x 1, . . . , xn, – ПРФ. 0) = g(x 1, . . . , xn, 0); f(x 1, . . . , xn, t+1) = f(x 1, . . . , xn, t) + g(x 1, . . . , xn, t+1). Функція f утворена примітивною рекурсією з g(x 1, . . . , xn, 0) та h(x 1, . . . , xn, y, z) = z + g(x 1, . . . , xn, y+1) 27

Тeорeма 2. Нехай (n+1)-арна функція g є ПРФ. Тодi (n+2)арна – ПРФ. Теорема . Нехай (n+1)-арна функція g та n-арні p та q – 3 ПРФ. Тоді n-арна функція h(x 1, . . . , xn) = – ПРФ. h(x 1, . . . , xn) = f(x 1, . . . , xn, p(x 1, . . . , xn), q(x 1, . . . , xn)), де f – із теореми 2 Теореми 1– 3 – теореми про підсумовування. Замінивши в них символ на , одержимо теореми про мультиплікацію. 28

Приклад 12. Довизначимо f(x 1, x 2) = [x 1/x 2] так: [x 1/0] = x 1. Тоді функція [x 1/x 2] є ПРФ. Значення [a/b] рівне кількості нулів у послідовності 1 b ÷ a, 2 b ÷ a, . . . , a b ÷ a. Тому Приклад 3. Функція mod(x 1, x 2) є ЧРФ. 1 mod(x 1, x 2) = x 1÷ (x 2 [x 1/x 2]). Беручи довизначену [x 1/x 2], дістанемо довизначену функцію mod(x 1, x 2): mod(x 1, 0) = 0. Довизначена mod(x 1, x 2) є ПРФ. 29

(n+1)-арна функція f отримується з (n+1)-арної функції g за допомогою операції обмеженої мінімізації, якщо f задається умовою: f(x 1, . . . , xn, у) – це перше, починаючи з 0 значення z таке, що z у та g(x 1, . . . , xn, у) = 0, якщо таке значення z існує, інакше f(x 1, . . . , xn, у) = у. Це позначаємо так: f(x 1, . . . , xn, y) = x y((g(x 1, . . . , xn, z) = 0). Теорема (про обмeжeну мінімізацію). Нехай (n+1)-арна 4 функція g є ПРФ. Тоді (n+1)-арна f(x 1, . . . , xn, y) = z y((g(x 1, . . . , xn, z) = 0) є ПРФ. Функцію позначимо q(x 1, . . . , xn, z). Зафіксуємо значення x 1, . . . , xn, y. Нехай z y((g(x 1, . . . , xn, z) = 0) = b. Тоді q(x 1, . . . , xn, z) рівне 1 при z b та 0 при z b. Звідси. Наслідок Нехай g(x 1, . . . , xn, y) та h(x 1, . . . , xn) є ПРФ. Тоді функція 30.

Приклад 2. Функція f(x) = 1 є ПРФ. = x y((nsg((y+1) ÷ x) = 0). Приклад 13. Довизначимо f(x 1, x 2) = [x 1/x 2] так: [x 1/0] = x 1. Тоді функція [x 1/x 2] є ПРФ. Значення [a/b] рівне кількості нулів у послідовності 1 b ÷ a, 2 b ÷ a, . . . , a b ÷ a. Тому Приклад 14. Функція mod(x 1, x 2) є ЧРФ. mod(x 1, x 2) = x 1÷ (x 2 [x 1/x 2]). Беручи довизначену [x 1/x 2], дістанемо довизначену функцію mod(x 1, x 2): mod(x 1, 0) = 0. Довизначена mod(x 1, x 2) є ПРФ. 31

Скачать презентацию ОБЧИСЛЮВАНІСТЬ КВАЗІАРНИХ ФУНКЦІЙ НА N Розглядаємо спосіб задання

ta_lect2.ppt

Количество слайдов: 31