О законах распределения дискретных случайных величин

О законах распределения дискретных случайных величин Ахмеджанова Т. Д.

Биномиальное распределение Пусть производится n независимых испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р , а непоявления - Какова вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдет m раз?

Пусть событие А наступило в первых m испытаниях m раз и не наступило в n-m испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения: Общее число сложных событий, когда m раз наступает событие А, равно числу сочетаний из n по m элементов: .

Испытания независимы в совокупности и Р(А) = р, , вероятность каждого сложного события равна pmqn-m. В силу их несовместности вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, вероятность появления события А m раз в n испытаниях: (формула Бернулли).

Задача В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. Наудачу по одной извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины - числа исправных батареек среди извлеченных, построить графики, найти её основные числовые характеристики (рассмотреть оба случая).

Решение (батарейки возвращаются в коробку после проверки) Пусть Х- дискретная случайная величина - число исправных батареек. Вероятность для каждой батарейки быть исправной (неисправной) определяем по формуле классической вероятности. Проводится n = 3 испытания Бернулли, в каждом из которых

По формуле Бернулли

X 0 1 2 3 p 0. 012 0. 123 0. 410 0. 455 Проверка: 0. 012 + 0. 123 + 0. 410 + 0. 455 = 1 M(X) = 0. 123 + 0. 82 + 1. 365 = 2. 308 D(X) = 0. 123 + 1. 64 + 4. 095 - 5. 3269 = 0. 5312. Mo = 3 Me = 2

Полигон Гистограмма

Решение (батарейки не возвращаются в коробку после проверки) Х- дискретная случайная величина - число исправных батареек. Вероятность для каждой батарейки быть исправной (неисправной) определяем с учётом зависимости рассматриваемых событий. X 0 1 2 3 p

Рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через Х случайную величину, равную числу появлений события А в n испытаниях. Возможными значениями величины Х будут числа 0, 1, 2, . . . , n -1, n.

По формуле Бернулли найдем вероятности этих значений, а полученные данные запишем в виде таблицы распределения. Построенный закон дискретной случайной величины Х называется законом биномиального распределения. X 0 1 . . . m . . . n p … …

Пусть Хi - число появлений события А в каждом испытании - случайная величина с распределением следующего вида: Xi 0 1 pi q p М(Хi) = 0 q + 1 p = p, но так как Х = X 1 + X 2 +. . . +Xn, то M(X) = np. D(Xi) = p - p 2 = p(1 - p) = pq. В силу независимости величин Х 1, Х 2, . . . , Xn, D(X) = D(X 1) + D(X 2) +. . . + D(Xn) = npq.

Задача Симпатичная студентка Люся Копейкина со своим приятелем Петей Чернышевым катаются на лыжах. Люся - первоклассная лыжница. Ей ничего не стоит съехать с длинной крутой горы, на которой нужно к тому же сделать пять поворотов. Что касается Пети, то его шансы упасть или не упасть на каждом повороте равны. Какова вероятность того, что Петя съедет с горы, упав не больше двух раз?

Задача Фасовщица Клава развешивает пряники в пакеты - по 1 кг в пакет. Пакеты Клава складывает в коробки - по 20 штук в коробку. Каждый из 10 пакетов Клава недовешивает. Контролер ОТК Иван Кузьмич подозревает Клаву в нечестности. Из 10 произвольных коробок он берет по одному пакету на проверку. Какова вероятность того, что у Ивана Кузьмича в руках окажется 3 недовешенных пакета?

Задача Самый правдивый человек на свете барон Мюнхгаузен иногда все же любит несколько приукрасить действительность и в одном случае из пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех рассказанных им историй - про чудесную штопку коня, разрубленного пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя, подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на шомполе, - хотя бы две абсолютно правдивые?

Задача Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против приятельского сломанного будильника, что при подбрасывании 6 монет выпадет 3 решки. Том считает, что шансы получить или не получить загаданный результат равны. Прав ли он?

Распределение Пуассона. Это распределение играет важную роль в ряде вопросов теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т. д. - в тех случаях, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т. п. )

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения: 0, 1, 2, . . . , m, . . . (бесконечное, но счётное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой (k = 0, 1, 2, . . . ).

Распределение Пуассона дает хорошую аппроксимацию биномиального распределения для больших значений n и малых значений р. Это распределение называют также законом редких явлений.

Закон Пуассона зависит от одного параметра , смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

Доказательство. М(Х) = Аналогично можно вычислить дисперсию случайной величины Х.

На рисунках показаны значения вероятностей для различных значений k и

При большом n и малом р действует приближенное соотношение: где = np

Этот факт можно сформулировать в виде предельного утверждения: при любом k, (k = 0, 1, 2, . . . ) если существует

Сумма n независимых случайных величин, имеющих пуассоновские распределения с параметрами , , . . . , соответственно, имеет также распределение Пуассона с параметром

Рассмотрим следующую задачу. Пусть на оси времени возникают точки - моменты появления каких- то однородных событий (например, приходов посетителей в магазин, поступлений вызовов на АТС etc. ). Последовательность таких моментов обычно называют потоком событий. Предположим, что он обладает следующими свойствами:

• Стационарность. Это свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длины зависит только от его длины, а не от местоположения на оси. Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно. Обозначим его а и назовем интенсивностью потока. • Ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению вероятностью попадания на него одного события. • Отсутствие последействия: вероятность попадания того или другого числа событий на заданный участок оси 0 t не зависит от того, сколько событий попало на любой другой непересекающийся с ним участок.

• Поток событий, обладающий этими тремя свойствами, называется простейшим или стационарным пуассоновским потоком. • NB! Условие стационарности потока не является обязательным для того, чтобы число событий, попадающих на участок длины , распределялось по закону Пуассона (достаточно, чтобы выполнялись условия 2 и 3).

Задача На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью а = 0. 8 (вызов/мин). Найти вероятность того, что за две минуты: • а) не придет ни одного вызова; • б) придет ровно один вызов; • в) придет хотя бы один вызов.

Решение Пусть Х - случайная величина - число вызовов за 2 минуты - распределена по закону Пуассона с параметром

Задача Известно, что на 100 булочек с изюмом попадается одна, в которой изюма нет вообще. Ученик 6 б класса Костя Сидоров ставит одну жвачку Dirol против одной приятельской, что из купленной в школьном буфете булочки он выковыряет хотя бы 4 изюминки. Справедливо ли такое пари? (Указание: найти вероятность того, что в купленной булочке будет по крайней мере 4 изюминки, считая, что число изюминок в булочке подчиняется закону Пуассона. )

Задача В дневнике ученика 6 б класса Кости Сидорова 60 страниц, и только одна из них без единого замечания, что является чистой случайностью. Сколько в дневнике страниц с тремя замечаниями? (Указание: найти вероятность того, что на произвольной странице имеется 3 замечания, считая, что число замечаний на странице подчиняется закону Пуассона. )

Классическое определение вероятности

Для ряда распределения

Спасибо за внимание!