o Многогранником называют поверхность составленную из многоугольников

o Многогранником называют поверхность составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело.

додекаэдр икосаэдр (двенадцатигра (двадцатигранник) гексаэдр правильный тетраэдр октаэдр (шестигранник) (четырёхгранник) (восьмигранник) или куб

o Многогранник называется выпуклым, если он расположен по выпуклым одну сторону от плоскости каждой его грани. o Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней.

o Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями

Определение правильного многогранника o Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны

Характеристики правильных многогранников Число граней, Число Многогранник сторон сходящихся граней ребер вершин грани в каждой (Г) (Р) (В) вершине Тетраэдр 3 4 6 4 Гексаэдр 4 3 6 12 8 Октаэдр 3 4 8 12 6 Икосаэдр 3 5 20 30 12 Додекаэдр 5 3 12 30 20

Правильный Тип Правильный многогранни тетраэдр к Площадь поверхности Объём Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Угол наклона грани Угол наклона ребра Двойственный Тетраэ многогранник др

Куб Тип Правильны й многогранн ик Площадь поверхности Объём Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Угол наклона грани Угол наклона ребра Двойственный многогранник Окта эдр

Призма Многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов называется призмой. Параллелограммы A 1 B 2 A 2 называются боковыми гранями призмы, многоугольники A 1 A 2 A 3 …An– ее основаниями, отрезки A 1 B 1, A 2 B 2, , …Аn Вn называются боковыми ребрами призмы.

Высота Диагональ перпендикуляр отрезок, соединяющий две проведенная из какой – вершины не принадлежащие нибудь точки одного одной грани. основания к плоскости другого основания

Виды призмы Прямая призма Наклонная призма боковые грани прямоугольники боковые грани или боковое ребро параллелограммы или перпендикулярно плоскости боковое ребро наклонено к АВС. плоскости АВС. В основании лежит правильный многоугольник

Свойства призмы. 1. Основания призмы являются равными многоугольниками. 2. Боковые грани призмы являются параллелограммами. 3. Боковые ребра призмы равны. 4. Противоположные ребра параллельны и равны. 5. Все боковые ребра равны и параллельны. 6. Противоположные боковые грани равны и параллельны. 7. Высота перпендикулярна каждому основанию. 8. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Нахождение площади • Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Sбок = Pосн · h P - периметр h – высота призмы • Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней. Sпол = Sбок + 2 S осн

Таблица вычисления площадей Правильная Sбок Sосн Sпол призма Треугольная 3 аh (a 2√ 3)/2 a(3 h+a√ 3) призма Четырехугольная 4 ah а 2 2 a(h+a) призма Шестиугольная 6 ah 3 a(2 h+√ 3 a) призма (3√ 3 а 2)/2

Эйлер Леонард 1707 -1783 гг. Теорема Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий учёный, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. (428 – 348 г. до н. э. )

Пространственная теорема Пифагора o Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра –прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.